Идемпотентная матрица

Идемпотентная матрица — матрица, идемпотентная относительно умножения матриц, то есть, матрица , для которой выполняется условие .

ПримерыПравить

Примеры идемпотентных матриц:

      

Вещественные матрицы порядка 2Править

Если матрица   идемпотентна, то

  •  
  •   откуда  , поэтому либо  , либо  
  •   откуда  , поэтому либо  , либо  
  •  

Таким образом, необходимым условием идемпотентности матрицы порядка 2 является её диагональность либо равенство её следа единице. У диагональных идемпотентных матриц   и   могут равняться только нулю или единице.

При   матрица   будет идемпотентной при  , то есть если   является решением квадратного уравнения

  или  

которое представляет собой уравнение окружности радиуса 1/2 с центром в точке (1/2, 0).

Однако, равенство   не является необходимым условием: любая матрица вида

  при   будет идемпотентной.

СвойстваПравить

Если матрица   идемпотентна, то матрица   также идемпотентна, так как

 

Используя метод математической индукции, нетрудно показать, что если матрица   идемпотентна, то для любого натурального   выполняется  .

Если матрица   идемпотентна, то матрица   инволютивна, и, наоборот, если матрица   инволютивна, то матрица   идемпотентна[1].

ОбратимостьПравить

Единственная невырожденная идемпотентная матрица — единичная. В самом деле, пусть для идемпотентной матрицы   существует  . Тогда  .

Собственные значенияПравить

Любая идемпотентная матрица всегда диагонализуема и её собственные числа равны нулю и единице[2].

СледПравить

След идемпотентной матрицы равен её рангу. Это позволяет вычислять след матрицы, элементы которой не заданы в явном виде, что бывает полезно, например, в статистике при установлении степени отклонения выборочной дисперсии от теоретической дисперсии.

ПриложенияПравить

Линейная регрессияПравить

При решении задачи линейной регрессии методом наименьших квадратов необходимо найти оценивающий вектор  , минимизирующий сумму квадратов отклонений  , которая в матричной форме записывается как

 

где   — вектор наблюдений зависимой переменной,   — матрица, столбцы которой представляют собой наблюдения независимых переменных. Решением является вектор

 

а соответствующий вектор отклонений равен[3]

 

Здесь   и   — идемпотентные и симметричные матрицы, что позволяет упростить вычисление суммы квадратов отклонений:

 

Идемпотентность   также используется при других вычислениях, например, при определении дисперсии оценивающего вектора  .

Пусть   — матрица, полученная из   удалением некоторых столбцов, и пусть  . Нетрудно убедиться, что и  , и   идемпотентны и, более того,  . Это следует из того, что   или, иными словами, отклонения при регрессии столбцов   на   равны нулю, так как   может быть идеально проинтерполирован как подмножество   (прямой подстановкой можно также легко показать, что  ). Отсюда следует, что матрица   симметрична и идемпотентна и что  , то есть   ортогональна  . Эти результаты играют ключевую роль, например, при выводе F-теста.

Оператор проекцииПравить

Идемпотентный линейный оператор   является оператором проекции на образ   вдоль ядра  . Оператор   выполняет ортогональную проекцию тогда и только тогда, когда он идемпотентен и симметричен.

См. такжеПравить

ПримечанияПравить

ЛитератураПравить

  • Мальцев А. И. Основы линейной алгебры. — М.: Наука, 1975. — 400 с.
  • Horn, R. A., Johnson, C. R. Matrix analysis (англ.). — Cambridge University Press, 1990. — ISBN 0521386322.
  • Greene, W. H. Econometric Analysis (англ.). — 5th edition. — Upper Saddle River, NJ: Prentice Hall, 2003. — ISBN 0130661899.