Абсолютная величина

(перенаправлено с «Модуль числа»)

Абсолю́тная величина́, или мо́дуль, числа математике) — неотрицательное число, которое, неформально говоря, обозначает расстояние между 0 и x. Обозначается:

График вещественной функции
Модуль и другие характеристики комплексного числа

В случае вещественного  абсолютная величина есть непрерывная кусочно-линейная функция, определённая следующим образом:

При отрицательном x число −x как раз и получается положительным. Обобщением этого понятия является модуль, или абсолютная величина[1], комплексного числа Это число определяется по формуле:

Основные свойстваПравить

С геометрической точки зрения, модуль вещественного или комплексного числа есть расстояние между числом и началом координат. В математике широко используется тот факт, что геометрически величина   означает расстояние между точками   и   и, таким образом, может быть использована как мера близости одной (вещественной или комплексной) величины к другой — например, в определении предела по Коши или медианы[2].

Вещественные числаПравить

Комплексные числаПравить

Алгебраические свойстваПравить

Для любых вещественных чисел   имеют место следующие соотношения:

  •   (sgn — функция знака);
  •  
  •  
  • квадрат модуля числа равен квадрату этого числа:  

Как для вещественных, так и для комплексных   имеют место соотношения:

  • модуль любого числа равен либо больше нуля:  , причём   тогда и только тогда, когда  
  • модули противоположных чисел равны:  
  • модуль произведения двух (и более) чисел равен произведению их модулей:  
    • в частности, постоянный положительный множитель можно выносить за знак модуля:  
  • модуль частного от деления двух чисел равен частному от деления модулей этих двух чисел:  
  •   (неравенство треугольника);
  •  
  •  
  •  
  •   если   существует.

ИсторияПравить

Считают, что термин предложил использовать Котс, ученик Ньютона. Лейбниц тоже использовал эту функцию, которую называл модулем и обозначал: mol. Общепринятое обозначение абсолютной величины введено в 1841 году Вейерштрассом. Для комплексных чисел это понятие ввели Коши и Арган в начале XIX века.

В языках программированияПравить

Поскольку эта функция вычисляется достаточно просто (а именно с помощью сравнений и присваиваний), то обычно она входит в стандартный список функций во все языки программирования. Например, в Pascal есть функция abs(x), а в C fabs(x) для вещественного типа. В программе Wolfram Mathematica: Abs[x].

ОбобщениеПравить

Понятие абсолютной величины можно ввести в произвольном упорядоченном кольце или упорядоченном поле, и свойства её будут аналогичны приведённым выше.

Обобщением понятия модуля можно считать норму элемента многомерного векторного пространства, обозначаемую  . Норма вектора в евклидовом пространстве иногда тоже называется модулем. По аналогии с модулем разности чисел, норма разности двух векторов является мерой близости между ними. В отличие от модуля числа, норма вектора может определяться различными способами, однако в случае одномерного пространства норма вектора пропорциональна (часто и равна) модулю его единственной координаты.

См. такжеПравить

ПримечанияПравить