Открыть главное меню

В геометрии шаром называют пространство, ограниченное множеством точек, равноудаленных от данной. В математике часто используются понятие многомерного шара — шара, находящегося в многомерном пространстве. Формула для вычисления объёма n-мерного шара является очень важной[почему?] и часто встречающейся в математике.

ФормулаПравить

ОбъёмПравить

Объём n-мерного шара радиуса R в n-мерном евклидовом пространстве:[1]

 

где Γ — это эйлеровская гамма-функция (которая является расширением факториала на поле нецелых действительных и комплексных чисел). Используя частные представления гамма-функции для целых и полуцелых значений, можно получить формулы объёма n-мерного шара, которые не требуют гамма-функции:

 ,
 .

В формуле для пространства с нечётным количеством размерностей двойной факториал (2k + 1)!! определён для нечётных чисел 2k + 1 в виде произведения: (2k + 1)!! = 1 · 3 · 5 · … · (2k − 1) · (2k + 1).

Обратная функция для выражения зависимости радиуса от объёма:

 .

Эта формула также может быть разделена на две: для пространств с чётным и нечётным количеством размерностей, используя факториал и двойной факториал вместо гамма-функции:

 ,
 .

РекурсияПравить

Формулу объёма также можно выразить в виде нескольких рекурсивной функций. Эти формулы могут быть доказаны непосредственно или выведены из основной формулы, представленной выше. Проще всего выразить объём n-мерного шара через объём шара размерности   (при условии, что они имеют одинаковый радиус):

 .

Также существует формула объёма n-мерного шара в зависимости от объёма (n−1)-мерного шара того же радиуса:

 .

То же без гамма-функции:

 

Пространства младших размерностейПравить

Формулы объёма для некоторых пространств младших размерностей:

Кол-во измерений Объём шара радиуса R Радиус шара объёма V
0   (все 0-шары имеют единичный объём)
1    
2    
3    
4    
5    
6    
7    
8    
9    
10    

Пространства старших размерностейПравить

 
Объём гипершара размерности n единичного радиуса в зависимости от n.

При стремлении количества размерностей к бесконечности объём шара единичного радиуса стремится к нулю. Это может быть выведено из рекурсивного представления формулы объёма.

См. такжеПравить

ПримечанияПравить

  1. Equation 5.19.4, NIST Digital Library of Mathematical Functions. http://dlmf.nist.gov/, Release 1.0.6 of 2013-05-06.

СсылкиПравить