Разложение Шура

Разложение Шура — разложение матрицы на унитарную, верхнюю треугольную и обратную унитарную матрицы, названное именем Исая Шура.

Утверждение

Если $A$ является квадратной матрицей порядка $n$ с комплексными элементами, то её можно представить в виде:

$A=QUQ^{-1}$

где $Q$ — унитарная матрица (так что её обратная $Q^{-1}$ является эрмитово-сопряжённой $Q^{*}$ матрицы $Q$), а $U$ — верхняя треугольная матрица, которая называется формой Шура матрицы $A$. Поскольку $U$ подобна матрице $A$, она имеет то же мультимножество собственных значений, а поскольку она треугольна, эти собственные значения совпадают с диагональными элементами матрицы $U$.

Из разложения Шура следует, что существует вложенная последовательность $A$-инвариантных подпространств $\{0\}=V_{0}\subset V_{1}\subset \dots \subset V_{n}=\mathbb {C} ^{n}$ и упорядоченный ортогональный базис, такие что линейная комбинация первых $i$ базисных векторов даёт $V_{i}$ для всех $i$ в последовательности. Иными словами, первая часть говорит, что линейное отображение $J$ на комплексном конечномерном векторном пространстве стабилизирует весь флаг $V_{1},\dots V_{n}$.

Доказательство

Конструктивное доказательство разложения Шура следующее: любой оператор $A$ в комплексном конечномерном векторном пространстве имеет собственное значение $\lambda$, соответствующее собственному пространству $V_{\lambda }$. Пусть $V_{\lambda }^{\perp }$ — ортонормальное дополнение. При таком ортогональном разложении $A$ имеет матричное представление (можно выбрать любые ортонормальные базисы $\mathbb {Z} _{1}$ и $\mathbb {Z} _{2}$ для натянутых на них пространств $V_{\lambda }$ и $V_{\lambda }^{\perp }$ соответственно):

${\begin{bmatrix}Z_{1}&Z_{2}\end{bmatrix}}^{*}A{\begin{bmatrix}Z_{1}&Z_{2}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\lambda \,I_{\lambda }&A_{12}\\0&A_{22}\end{bmatrix}}:{\begin{matrix}V_{\lambda }\\\oplus \\V_{\lambda }^{\perp }\end{matrix}}\rightarrow {\begin{matrix}V_{\lambda }\\\oplus \\V_{\lambda }^{\perp }\end{matrix}}$,

где $I_{\lambda }$ — тождественный оператор на $V_{\lambda }$. Полученная матрица треугольна за исключением блока $A_{2\,2}$. Но точно ту же процедуру можно совершить для подматрицы $A_{2\,2}$, которая рассматривается как оператор на $V_{\lambda }^{\perp }$ и её подматрицы. Продолжив процедуру $n$ раз, пространство $\mathbb {C} ^{n}$ будет исчерпано и построение даст желаемый результат.

Особенности

Хотя любая квадратная матрица имеет разложение Шура, в общем случае такое разложение не единственно. Например, собственное пространство $V_{\lambda }$ может иметь размерность более 1, и в этом случае любой ортонормальный базис для $V_{\lambda }$ даст желаемый результат.

Треугольная матрица $U$ может быть представлена в виде суммы диагональной $D$ и строго верхней треугольной $N$: $U=D+N$. Строго верхняя треугольная матрица нильпотентна. Диагональная матрица $D$ содержит собственные значения матрицы $A$ в случайном порядке. Нильпотентная часть $N$ в общем случае также не уникальна, но её норма Фробениуса единственным образом определяется матрицей $A$, так как норма Фробениуса матрицы $A$ равна норме Фробениуса матрицы $U=D+N$.

Если $A$ является нормальной, то её форма Шура $U$ диагональна, а столбцы матрицы $Q$ разложения $QUQ^{-1}$ будут собственными векторами матрицы $A$. Таким образом, разложение Шура обобщает спектральное разложение. В частности, если $A$ является положительно определённой, её разложение Шура, её спектральное разложение и её сингулярное разложение совпадают.

Коммутативное семейство матриц $\{A_{i}\}$ может быть приведено к треугольному виду одновременно, то есть существует унитарная матрица $Q$, такая что для любой $A_{i}$ из данного семейства выполнено $QA_{i}Q^{*}$ является верхней треугольной. Конечное утверждение доказывается индукцией. Как следствие, любое коммутативное семейство нормальных матриц может быть приведено к диагональному виду.

В бесконечномерном случае не всякий ограниченный оператор в банаховом пространстве имеет инвариантное подпространство. Однако приведение к треугольному виду произвольной квадратной матрицы обобщается для компактных операторов. Любой компактный оператор в банаховом пространстве имеет гнездо замкнутых инвариантных подпространств.

Вычисление

Декомпозиция Шура заданной матрицы выполняется QR-алгоритмом или его вариантами. С использованием таких алгоритмов для разложения Шура нет необходимости заранее вычислять корни характеристического многочлена, соответствующего матрице. И наоборот, QR-алгоритм можно использовать для вычисления корней любого заданного характеристического многочлена путём нахождения разложения Шура его сопровождающей матрицы. Таким же образом QR-алгоритм используется для вычисления собственных значений любой заданной матрицы, которые являются диагональными элементами верхней треугольной матрицы разложения Шура. Все необходимые алгоритмы реализованы, в частности, в библиотеке Lapack.

Приложения

Из разложения Шура следуют некоторые важные результаты теории Ли, в частности:

• любой обратимый оператор содержится в подгруппе Бореля,
• любой оператор фиксирует точку в многообразии флагов.

Обобщённое разложение Шура

Обобщённое разложение Шура двух квадратных матриц $A$ и $B$ — согласованная пара разложений обеих матриц $A=QSZ^{*}$ и $B=QTZ^{*}$, где $Q$ и $Z$ — унитарны, а $S$ и $T$ — треугольные. Обобщённое разложение Шура иногда называется также QZ-разложением.

Обобщённые собственные значения $\lambda$, решающие задачу обобщённых значений $Ax=\lambda Bx$ (где $x$ — неизвестный ненулевой вектор), могут быть вычислены как отношение диагональных элементов $S$ к соответствующит элементам $T$. То есть, $i$-е обобщённое собственное значение $\lambda _{i}$ удовлетворяет равенству $\lambda _{i}=S_{ii}/T_{ii}$.

Литература

• В. В. Прасолов. Задачи и теоремы линейной алгебры. — 2-е. — Москва, 2008. — С. 226-227 (3.7.1. Разложение Шура), 498 (9.3.5. Разложение Шура).