Разложение Шура

Разложение Шура — разложение матрицы на унитарную, верхнюю треугольную и обратную унитарную матрицы, названное именем Исая Шура.

УтверждениеПравить

Если   является квадратной матрицей порядка   с комплексными элементами, то её можно представить в виде[1][2]:

 

где   — унитарная матрица (так что её обратная   является эрмитово-сопряжённой   матрицы  ), а   — верхняя треугольная матрица, которая называется формой Шура матрицы  . Поскольку   подобна матрице  , она имеет то же мультимножество собственных значений, а поскольку она треугольна, эти собственные значения совпадают с диагональными элементами матрицы  .

Из разложения Шура следует, что существует вложенная последовательность  -инвариантных подпространств   и упорядоченный ортогональный базис, такие что линейная комбинация первых   базисных векторов даёт   для всех   в последовательности. Иными словами, первая часть говорит, что линейное отображение   на комплексном конечномерном векторном пространстве стабилизирует весь флаг  .

ДоказательствоПравить

Конструктивное доказательство разложения Шура следующее: любой оператор   в комплексном конечномерном векторном пространстве имеет собственное значение  , соответствующее собственному пространству  . Пусть   — ортонормальное дополнение. При таком ортогональном разложении   имеет матричное представление (можно выбрать любые ортонормальные базисы   и   для натянутых на них пространств   и   соответственно):

 ,

где   — тождественный оператор на  . Полученная матрица треугольна за исключением блока  . Но точно ту же процедуру можно совершить для подматрицы  , которая рассматривается как оператор на   и её подматрицы. Продолжив процедуру   раз, пространство   будет исчерпано и построение даст желаемый результат.

ОсобенностиПравить

Хотя любая квадратная матрица имеет разложение Шура, в общем случае такое разложение не единственно. Например, собственное пространство   может иметь размерность более 1, и в этом случае любой ортонормальный базис для   даст желаемый результат.

Треугольная матрица   может быть представлена в виде суммы диагональной   и строго верхней треугольной  :  . Строго верхняя треугольная матрица нильпотентна. Диагональная матрица   содержит собственные значения матрицы   в случайном порядке. Нильпотентная часть   в общем случае также не уникальна, но её норма Фробениуса единственным образом определяется матрицей  , так как норма Фробениуса матрицы   равна норме Фробениуса матрицы  .

Если   является нормальной, то её форма Шура   диагональна, а столбцы матрицы   разложения   будут собственными векторами матрицы  . Таким образом, разложение Шура обобщает спектральное разложение. В частности, если   является положительно определённой, её разложение Шура, её спектральное разложение и её сингулярное разложение совпадают.

Коммутативное семейство матриц   может быть приведено к треугольному виду одновременно, то есть существует унитарная матрица  , такая что для любой   из данного семейства выполнено   является верхней треугольной. Конечное утверждение доказывается индукцией. Как следствие, любое коммутативное семейство нормальных матриц может быть приведено к диагональному виду[3].

В бесконечномерном случае не всякий ограниченный оператор в банаховом пространстве имеет инвариантное подпространство. Однако приведение к треугольному виду произвольной квадратной матрицы обобщается для компактных операторов. Любой компактный оператор в банаховом пространстве имеет гнездо замкнутых инвариантных подпространств.

ВычислениеПравить

Декомпозиция Шура заданной матрицы выполняется QR-алгоритмом или его вариантами. С использованием таких алгоритмов для разложения Шура нет необходимости заранее вычислять корни характеристического многочлена, соответствующего матрице. И наоборот, QR-алгоритм можно использовать для вычисления корней любого заданного характеристического многочлена путём нахождения разложения Шура его сопровождающей матрицы. Таким же образом QR-алгоритм используется для вычисления собственных значений любой заданной матрицы, которые являются диагональными элементами верхней треугольной матрицы разложения Шура. Все необходимые алгоритмы реализованы, в частности, в библиотеке Lapack[4].

ПриложенияПравить

Из разложения Шура следуют некоторые важные результаты теории Ли[en], в частности:

Обобщённое разложение ШураПравить

Обобщённое разложение Шура двух квадратных матриц   и   — согласованная пара разложений обеих матриц   и  , где   и   — унитарны, а   и   — треугольные. Обобщённое разложение Шура иногда называется также QZ-разложением.

Обобщённые собственные значения  , решающие задачу обобщённых значений   (где   — неизвестный ненулевой вектор), могут быть вычислены как отношение диагональных элементов   к соответствующит элементам  . То есть,  -е обобщённое собственное значение   удовлетворяет равенству  .

ПримечанияПравить

  1. R. A. Horn, C. R. Johnson. Matrix Analysis. — Cambridge University Press, 1985. — ISBN 0-521-38632-2.)
  2. G. H. Golub, C. F. Van Loan. Matrix Computations. — 3rd. — Johns Hopkins University Press, 1996. — ISBN 0-8018-5414-8.
  3. Schur decomposition (англ.) // Wikipedia. — 2020-03-17.
  4. E. Anderson. LAPACK Users' Guide. — Third. — Philadelphia, PA: Society for Industrial and Applied Mathematics, 1999. — ISBN 0-89871-447-8.

ЛитератураПравить

  • В. В. Прасолов. Задачи и теоремы линейной алгебры. — 2-е. — Москва, 2008. — С. 226-227 (3.7.1. Разложение Шура), 498 (9.3.5. Разложение Шура).