Отношение (теория множеств)

Отноше́ние — математическая структура, которая формально определяет свойства различных объектов и их взаимосвязи. Распространёнными примерами отношений в математике являются равенство (=), делимость, подобие, параллельность и многие другие.

Понятие отношения как подмножества декартова произведения формализовано в теории множеств и получило широкое распространение в языке математики во всех её ветвях. Теоретико-множественный взгляд на отношение характеризует его с точки зрения объёма — какими комбинациями элементов оно наполнено; содержательный подход рассматривается в математической логике, где отношение — пропозициональная функция, то есть выражение с неопределёнными переменными, подстановка конкретных значений для которых делает его истинным или ложным. Важную роль отношения играют в универсальной алгебре, где базовый объект изучения раздела — множество с произвольным набором операций и отношений. Одно из самых ярких применений техники математических отношений в приложениях — реляционные системы управления базами данных, методологически основанные на формальной алгебре отношений.

Отношения обычно классифицируются по количеству связываемых объектов (арность) и собственным свойствам, таким как симметричность, транзитивность, рефлексивность.

Формальные определения и обозначения

$n$ -местным ( $n$ -арным) отношением $R$ , заданным на множествах $M_{1},M_{2},\ldots ,M_{n}$ , называется подмножество декартова произведения этих множеств: $R\subseteq M_{1}\times M_{2}\times \dots M_{n}$ . Факт связи $n$ -ки элементов $\langle m_{1}\in M_{1},m_{2}\in M_{2},\dots m_{n}\in M_{n}\rangle$ отношением $R$ обозначается $R(m_{1},m_{2},\dots ,m_{n})$ или $(m_{1},m_{2},\dots ,m_{n})\in R$ .

Факт связи объектов $m_{1}\in M_{1}$ и $m_{2}\in M_{2}$ бинарным отношением $R\subset M_{1}\times M_{2}$ обычно обозначают с помощью инфиксной записи: $m_{1}\,R\,m_{2}$ . Одноместные (унарные) отношения соответствуют свойствам или атрибутам, как правило, для таких случаев терминология отношений не используется. Иногда используются трёхместные отношения (тернарные), четырёхместные отношения (кватернарные); об отношениях неопределённо высокой арности говорят как о мультиарных («многоместных»).

Универсальное отношение — это отношение, связывающее все элементы заданных множеств, то есть, совпадающее с декартовым произведением: $R=M_{1}\times M_{2}\times \dots M_{n}$ .

Нуль-отношение — отношение, не связывающее никакие элементы, то есть пустое множество: $R=\varnothing \subset M_{1}\times M_{2}\times \dots M_{n}$ .

Функциональное отношение — отношение, образующее функцию: $R\subseteq M_{1}\times M_{2}\times \dots M_{n}\dots M_{n+1}$ является функциональным, если из выполнения $R(m_{1},\dots ,m_{n},x)$ и $R(m_{1},\dots ,m_{n},y)$ следует, что $x=y$ (обеспечивается единственность значения функции).

Общие свойства и виды бинарных отношений

Наиболее распространённые в языке математики отношения — бинарные над одним множеством ( $R\subseteq M^{2}$ ), наиболее часто используются обладающие некоторыми общими свойствами^[1]:

симметричностью ( $a\,R\,b\Rightarrow b\,R\,a$ ) или антисимметричностью ( $a\,R\,b\,\wedge \,b\,R\,a\Rightarrow a\,=\,b$ ),
рефлексивностью ( $a\,R\,a$ ) или антирефлексивностью $\neg \,(a\,R\,a)$ ,
транзитивностью ( $a\,R\,b\land b\,R\,c\Rightarrow a\,R\,c$ ) или антитранзитивностью ( $a\,R\,b\land b\,R\,c\Rightarrow \neg \,a\,R\,c$ ),
связностью ( $a\neq b\Rightarrow a\,R\,b\lor b\,R\,a$ ).

В зависимости от набора свойств бинарных отношений формируются некоторые широко используемые их виды:

отношение эквивалентности — всякое рефлексивное, транзитивное и симметричное отношение;
отношение предпорядка — рефлексивное и транзитивное;
отношение частичного порядка — рефлексивное, транзитивное и антисимметричное;
отношение строгого порядка — антирефлексивное, транзитивное, антисимметричное;
отношение линейного порядка — связное, рефлексивное, антисимметричное.

Важную роль играет отношение равенства — отношение эквивалентности, выполненное только для двух совпадающих элементов.

Могут быть и другие комбинации свойств отношений, например, транзитивно и рефлексивно, но не обладает другими простыми свойствами, отношение делимости на множестве натуральных чисел, обычно обозначаемое символом $|$ , оно состоит из пар вида $\langle x,y\rangle$ , где $x$ делит $y$ нацело. Пример тернарного отношения — образование пифагоровой тройки тремя числами, нахождение в отношении пифагоровой четвёрки — пример кватернарного отношения.

Более свободный набор свойств бинарных отношений применяется в теории графов: неориентированный граф может быть определён как множество вершин с симметричным бинарным отношением над ним, а ориентированный граф — как множество вершин с произвольным бинарным отношением над ним.

Алгебры отношений

Все $n$ -арные отношения над декартовым произведением $M_{1}\times \dots \times M_{n}$ образуют булеву алгебру относительно теоретико-множественных операций объединения, пересечения и дополнения.

Реляционная алгебра — замкнутая система операций над отношениями в реляционной модели данных.

Примечания

↑ В формулах опущены кванторы всеобщности

Литература

Отношение — статья из Математической энциклопедии. Д. М. Смирнов
Колмогоров А. Н., Драгалин А. Г. Введение в математическую логику. — М.: Издательство Московского университета, 1982. — 120 с. — 29 500 экз.

[1] В формулах опущены кванторы всеобщности

[1]