Иера́рхия а́лефов в теории множеств и в математике вообще представляет собой упорядоченную систему обобщённых («кардинальных») чисел, используемых для представления мощности (количества элементов) бесконечных вполне упорядоченных множеств[1]. Мощность конечного множества есть количество его элементов, поэтому иерархия кардинальных чисел включает обычные натуральные числа, упорядоченные традиционным способом. Далее в иерархии идут бесконечные вполне упорядоченные множества, мощность (кардинальное число) которых обозначается с помощью буквы алеф (ℵ) еврейского алфавита с индексами, причём индекс сам может быть бесконечным порядковым числом. Множествам большей мощности соответствует большее значение индекса.
Первым из алефов выступает мощность множества натуральных чисел («счётная»), которая обозначается символом (читается: «алеф-ноль»), далее следует (алеф-один) и так далее.
Иерархия алефов была описана немецким математиком Георгом Кантором в статье «К обоснованию учения о трансфинитных множествах» (в двух частях, 1895—1897 годы)[2].
Обозначения алефов не следует путать с символом бесконечности Валлиса (), который часто встречается в математическом анализе и других разделах математики. Символ Валлиса обозначает либо неограниченное возрастание ( означает неограниченное убывание) функции, либо особую («бесконечно удалённую») точку на расширенной числовой прямой или комплексной плоскости, в то время как алеф есть мера мощности множеств.
Общее определение и свойства
правитьКак сказано выше, символ обозначает счётную мощность натурального ряда. Пусть — некоторое порядковое число; рассмотрим соответствующий ему ординал Тогда символ обозначает[1] мощность множества всех порядковых чисел, меньших
Некоторые свойства[3].
- Все алефы сравнимы между собой, из двух алефов больше тот, у которого больше индекс.
- Каждое кардинальное число совпадает с одним из алефов (для доказательства необходима аксиома выбора).
- Предположение: известно как континуум-гипотеза.
- Множество всех алефов, меньших заданного вполне упорядочено, и его порядковый тип равен
- Кардинальное число непосредственно следует за никаких промежуточных мощностей между ними нет.
- Наибольшего элемента среди алефов нет. Иерархия алефов не образует множества в смысле аксиоматики Цермело-Френкеля.
Примеры
правитьАлеф-ноль
править(алеф-ноль) — это мощность множества натуральных чисел первый бесконечный кардинал. Множество всех конечных ординалов обозначается строчной греческой буквой (омега), или оно имеет мощность
Множество имеет мощность тогда и только тогда, когда оно счётно, то есть существует взаимно-однозначное соответствие между ним и множеством натуральных чисел . Примеры множеств мощности :
- множество всех квадратных чисел, множество всех кубических чисел;
- множество всех чётных чисел, множество всех нечётных чисел;
- множество всех простых чисел, множество всех составных чисел;
- множество всех целых чисел;
- множество всех рациональных чисел;
- совокупность всех геометрических величин, которые можно построить циркулем и линейкой;
- множество всех алгебраических чисел,
- множество всех вычислимых чисел,
- множество всех определимых чисел[англ.];
- множество всех двоичных строк конечной длины;
- множество всех конечных подмножеств заданного счётного множества.
Бесконечные ординалы:
все относятся к счётным множествам[4]. Например, следующая последовательность (с ординалом ω·2), содержащая сначала все положительные нечётные числа, а за ними все положительные чётные числа:
- {1, 3, 5, 7, 9, ..., 2, 4, 6, 8, 10, ...}
описывает некоторый порядок на множестве целых положительных чисел мощности .
Если выполняется аксиома выбора или, по крайней мере, аксиома счетного выбора (более слабая), то меньше, чем любой другой бесконечный кардинал.
Алеф-один
править(алеф-один) — это мощность множества всех счётных порядковых чисел, которое обозначается (иногда ). Ординал больше, чем все счётные ординалы, и соответствует несчётным множествам. Следовательно, не совпадает с и больше его.
Если принята аксиоматика Цермело — Френкеля (даже без аксиомы выбора), то между и нет никаких других кардинальных чисел. С помощью аксиомы выбора мы можем показать одно из самых полезных свойств множества любое счётное подмножество имеет верхнюю границу в (это следует из того, что счётное объединение счётных множеств счётно). Этот факт аналогичен ситуации в : каждое конечное множество натуральных чисел имеет максимальный элемент, который также является натуральным числом, и конечное объединение конечных множеств конечно.
Если принять континуум-гипотезу, то с аксиомой выбора совпадает с мощностью поля вещественных чисел (континуум). Если же континуум-гипотеза неверна, то с аксиомой выбора континуум соответствует одному из более далёких алефов. Без аксиомы выбора континуум может как быть алефом, так и нет.
Арифметика алефов
правитьГеорг Кантор определил для любых кардинальных чисел операции, аналогичные обычным арифметическим. Свойства их, однако, во многом отличаются от обычных и часто требуют применения аксиомы выбора. Примеры[5]:
- Сумма любого алефа с самим собой даёт тот же алеф: .
- Конечная степень любого алефа даёт тот же алеф: .
- Сумма и произведение разных алефов даёт наибольший из них: .
См. также
правитьПримечания
править- ↑ 1 2 Математическая энциклопедия, 1977.
- ↑ Joseph Warren Dauben; Joseph Warren Dauben. Georg Cantor: His Mathematics and Philosophy of the Infinite (англ.). — ISBN 9780691024479.
- ↑ Куратовский, Мостовский, 1970, с. 283—284.
- ↑ Jech, Thomas (2003), Set Theory, Springer Monographs in Mathematics, Berlin, New York: Springer-Verlag
- ↑ Куратовский, Мостовский, 1970, с. 284—286.
Литература
править- Ефимов Б. А. Алефы // Математическая энциклопедия (в 5 томах). — М.: Советская Энциклопедия, 1977. — Т. 1. — С. 235.
- Куратовский К., Мостовский А. Теория множеств / Перевод с английского М. И. Кратко под редакцией А. Д. Тайманова. — М.: Мир, 1970. — 416 с.