Иера́рхия а́лефов в теории множеств и в математике вообще представляет собой упорядоченную систему обобщённых («кардинальных») чисел, используемых для представления мощности (количества элементов) бесконечных вполне упорядоченных множеств[1]. Мощность конечного множества есть количество его элементов, поэтому иерархия кардинальных чисел включает обычные натуральные числа, упорядоченные традиционным способом. Далее в иерархии идут бесконечные вполне упорядоченные множества, мощность (кардинальное число) которых обозначается с помощью буквы алеф (ℵ) еврейского алфавита с индексами, причём индекс сам может быть бесконечным порядковым числом. Множествам большей мощности соответствует большее значение индекса.

Алеф-ноль, наименьшее бесконечное кардинальное число

Первым из алефов выступает мощность множества натуральных чисел («счётная»), которая обозначается символом (читается: «алеф-ноль»), далее следует (алеф-один) и так далее.

Иерархия алефов была описана немецким математиком Георгом Кантором в статье «К обоснованию учения о трансфинитных множествах» (в двух частях, 1895—1897 годы)[2].

Обозначения алефов не следует путать с символом бесконечности Валлиса (), который часто встречается в математическом анализе и других разделах математики. Символ Валлиса обозначает либо неограниченное возрастание ( означает неограниченное убывание) функции, либо особую («бесконечно удалённую») точку на расширенной числовой прямой или комплексной плоскости, в то время как алеф есть мера мощности множеств.

Общее определение и свойства

править

Как сказано выше, символ   обозначает счётную мощность натурального ряда. Пусть   — некоторое порядковое число; рассмотрим соответствующий ему ординал   Тогда символ   обозначает[1] мощность множества всех порядковых чисел, меньших  

Некоторые свойства[3].

  • Все алефы сравнимы между собой, из двух алефов больше тот, у которого больше индекс.
  • Каждое кардинальное число совпадает с одним из алефов (для доказательства необходима аксиома выбора).
  • Предположение:   известно как континуум-гипотеза.
  • Множество всех алефов, меньших заданного   вполне упорядочено, и его порядковый тип равен  
  • Кардинальное число   непосредственно следует за   никаких промежуточных мощностей между ними нет.
  • Наибольшего элемента среди алефов нет. Иерархия алефов не образует множества в смысле аксиоматики Цермело-Френкеля.

Примеры

править

Алеф-ноль

править

  (алеф-ноль) — это мощность множества натуральных чисел   первый бесконечный кардинал. Множество всех конечных ординалов обозначается строчной греческой буквой   (омега), или   оно имеет мощность  

Множество имеет мощность   тогда и только тогда, когда оно счётно, то есть существует взаимно-однозначное соответствие между ним и множеством натуральных чисел  . Примеры множеств мощности  :

Бесконечные ординалы:

 

все относятся к счётным множествам[4]. Например, следующая последовательность (с ординалом ω·2), содержащая сначала все положительные нечётные числа, а за ними все положительные чётные числа:

{1, 3, 5, 7, 9, ..., 2, 4, 6, 8, 10, ...}

описывает некоторый порядок на множестве целых положительных чисел мощности  .

Если выполняется аксиома выбора или, по крайней мере, аксиома счетного выбора (более слабая), то   меньше, чем любой другой бесконечный кардинал.

Алеф-один

править

  (алеф-один) — это мощность множества всех счётных порядковых чисел, которое обозначается   (иногда  ). Ординал   больше, чем все счётные ординалы, и соответствует несчётным множествам. Следовательно,   не совпадает с   и больше его.

Если принята аксиоматика Цермело — Френкеля (даже без аксиомы выбора), то между   и   нет никаких других кардинальных чисел. С помощью аксиомы выбора мы можем показать одно из самых полезных свойств множества   любое счётное подмножество   имеет верхнюю границу в   (это следует из того, что счётное объединение счётных множеств счётно). Этот факт аналогичен ситуации в  : каждое конечное множество натуральных чисел имеет максимальный элемент, который также является натуральным числом, и конечное объединение конечных множеств конечно.

Если принять континуум-гипотезу, то с аксиомой выбора   совпадает с мощностью поля вещественных чисел (континуум). Если же континуум-гипотеза неверна, то с аксиомой выбора континуум соответствует одному из более далёких алефов. Без аксиомы выбора континуум может как быть алефом, так и нет.

Арифметика алефов

править

Георг Кантор определил для любых кардинальных чисел операции, аналогичные обычным арифметическим. Свойства их, однако, во многом отличаются от обычных и часто требуют применения аксиомы выбора. Примеры[5]:

  • Сумма любого алефа с самим собой даёт тот же алеф:  .
  • Конечная степень любого алефа даёт тот же алеф:  .
  • Сумма и произведение разных алефов даёт наибольший из них:  .

См. также

править

Примечания

править
  1. 1 2 Математическая энциклопедия, 1977.
  2. Joseph Warren Dauben; Joseph Warren Dauben. Georg Cantor: His Mathematics and Philosophy of the Infinite (англ.). — ISBN 9780691024479.
  3. Куратовский, Мостовский, 1970, с. 283—284.
  4. Jech, Thomas (2003), Set Theory, Springer Monographs in Mathematics, Berlin, New York: Springer-Verlag
  5. Куратовский, Мостовский, 1970, с. 284—286.

Литература

править

Ссылки

править