Примечание: всюду в данной статье, где используется знак
∫
{\displaystyle \int }
имеется в виду (кратный) интеграл Римана
(
R
)
∫
{\displaystyle \left(R\right)\int }
, если не оговорено обратное;
всюду в данной статье, где говорится об измеримости множества, имеется в виду измеримость по Жордану , если не оговорено обратное.
Пусть
A
{\displaystyle A}
- измеримое (по Жордану) множество. Разбиение
T
{\displaystyle T}
множества
A
{\displaystyle A}
- это любой набор
{
A
i
}
i
=
1
m
{\displaystyle \left\{A_{i}\right\}_{i=1}^{m}}
измеримых множеств, пересекающихся лишь по границам и
⋃
1
m
A
i
=
A
{\displaystyle \bigcup _{1}^{m}A_{i}=A}
. Выберем точки
ξ
i
∈
A
i
,
i
=
1
,
…
,
m
,
ξ
=
{
ξ
i
}
i
=
1
m
{\displaystyle \xi _{i}\in A_{i},\ i=1,\ldots ,m,\ \xi =\left\{\xi _{i}\right\}_{i=1}^{m}}
- получили
(
T
,
ξ
)
=
{
A
i
,
ξ
i
}
i
=
1
m
{\displaystyle (T,\xi )=\left\{A_{i},\xi _{i}\right\}_{i=1}^{m}}
- разбиение с отмеченными точками .
Пусть функция
f
{\displaystyle f}
определена на
A
{\displaystyle A}
, тогда интегральной суммой называется
σ
(
f
,
T
,
ξ
)
=
∑
k
=
1
m
f
(
ξ
k
)
μ
A
k
{\displaystyle \sigma (f,T,\xi )=\sum _{k=1}^{m}f(\xi _{k})\mu A_{k}}
.
Функция
f
{\displaystyle f}
интегрируема по Риману в кратном смысле на
A
{\displaystyle A}
и
I
{\displaystyle I}
- её интеграл, если
∀
ε
>
0
∃
δ
>
0
{\displaystyle \forall \varepsilon >0\ \exists \delta >0}
: для любого отмеченного разбиения
(
T
,
ξ
)
{\displaystyle (T,\xi )}
с
ξ
i
∈
A
i
{\displaystyle \xi _{i}\in {}A_{i}}
и диаметром
d
A
i
=
sup
x
,
y
∈
A
i
ρ
(
x
,
y
)
<
δ
{\displaystyle dA_{i}=\sup \limits _{x,\,y\in A_{i}}\rho (x,y)<\delta }
выполняется неравенство
|
σ
(
f
,
T
,
ξ
)
−
I
|
<
ε
{\displaystyle \left|\sigma (f,T,\xi )-I\right|<\varepsilon }
. Обозначается интеграл от функции
f
{\displaystyle f}
на измеримом множестве
A
{\displaystyle A}
:
∫
A
f
d
x
→
{\displaystyle \int \limits _{A}f\,d{\vec {x}}}
.
Некоторые свойства кратного интеграла Римана
править
Если функция
f
{\displaystyle f}
интегрируема по Риману на измеримом множестве
A
{\displaystyle A}
, то
∃
δ
>
0
{\displaystyle \exists \delta >0}
, что функция
f
{\displaystyle f}
ограничена на множестве
A
δ
=
{
x
∈
A
:
ρ
(
x
,
int
A
)
<
δ
}
{\displaystyle A_{\delta }=\left\{x\in A:\ \rho (x,{\mbox{int}}A)<\delta \right\}}
, где
int
A
{\displaystyle {\mbox{int}}A}
- внутренность
A
{\displaystyle A}
. (См. Связь интегрируемости по Риману и ограниченности ).
Если функция
f
{\displaystyle f}
интегрируема по Риману на измеримом множестве
A
{\displaystyle A}
, функция
g
{\displaystyle g}
определена на
A
{\displaystyle A}
и
g
(
x
)
=
f
(
x
)
{\displaystyle g(x)=f(x)}
на
A
δ
{\displaystyle A_{\delta }}
для некоторого
δ
>
0
{\displaystyle \delta >0}
, то
g
{\displaystyle g}
интегрируема по Риману на
A
{\displaystyle A}
и
∫
A
g
d
x
→
=
∫
A
f
d
x
→
{\displaystyle \int \limits _{A}g\,d{\vec {x}}=\int \limits _{A}f\,d{\vec {x}}}
.
Линейность. Если
f
∈
R
(
A
)
{\displaystyle f\in R(A)}
(ограничена и интегрируема по Риману на
A
{\displaystyle A}
), то
∀
α
∈
R
{\displaystyle \forall \alpha \in \mathbb {R} }
функция
α
f
∈
R
(
A
)
{\displaystyle \alpha {}f\in R(A)}
и
∫
A
α
f
d
x
→
=
α
∫
A
f
d
x
→
{\displaystyle \int \limits _{A}\alpha f\,d{\vec {x}}=\alpha \int \limits _{A}f\,d{\vec {x}}}
. Если
f
,
g
∈
R
(
A
)
{\displaystyle f,g\in R(A)}
, то
f
±
g
∈
R
(
A
)
{\displaystyle f\pm g\in R(A)}
и
∫
A
(
f
±
g
)
d
x
→
=
∫
A
f
d
x
→
±
∫
A
g
d
x
→
{\displaystyle \int \limits _{A}(f\pm g)\,d{\vec {x}}=\int \limits _{A}f\,d{\vec {x}}\pm \int \limits _{A}g\,d{\vec {x}}}
. Следует из свойств интеграла как предела по базе .
Аддитивность по множествам. Если
f
∈
R
(
A
)
{\displaystyle f\in R(A)}
и
f
∈
R
(
B
)
{\displaystyle f\in R(B)}
, то
f
∈
R
(
A
∪
B
)
{\displaystyle f\in R(A\cup B)}
и, если
μ
(
A
∩
B
)
=
0
{\displaystyle \mu (A\cap B)=0}
, то
∫
A
∪
B
f
d
x
→
=
∫
A
f
d
x
→
+
∫
B
f
d
x
→
{\displaystyle \int \limits _{A\cup B}f\,d{\vec {x}}=\int \limits _{A}f\,d{\vec {x}}+\int \limits _{B}f\,d{\vec {x}}}
. Первая часть следует из критерия Лебега .
Интегрируемость по подмножеству. Если
f
∈
R
(
A
)
{\displaystyle f\in R(A)}
,
B
{\displaystyle B}
- измеримое по Жордану подмножество
A
{\displaystyle A}
, то
f
∈
R
(
B
)
{\displaystyle f\in R(B)}
. Следует из критерия Лебега .
Если
f
,
g
∈
R
(
A
)
{\displaystyle f,g\in R(A)}
, то
f
∗
g
∈
R
(
A
)
{\displaystyle f*g\in R(A)}
. Следует из критерия Лебега .
Если
f
∈
R
(
A
)
{\displaystyle f\in R(A)}
, функция
φ
{\displaystyle \varphi }
непрерывна на отрезке
[
α
,
β
]
⊃
f
(
A
)
⇒
φ
(
f
)
∈
R
(
A
)
{\displaystyle [\alpha ,\beta ]\supset f(A)\Rightarrow \varphi (f)\in R(A)}
. Следует из критерия Лебега .
Если
f
∈
R
(
A
)
{\displaystyle f\in R(A)}
, и
f
{\displaystyle f}
изменить на множестве
B
⊂
A
,
μ
B
=
0
{\displaystyle B\subset A,\ \mu B=0}
, то измененная функция
f
~
{\displaystyle {\tilde {f}}}
, при условии её ограниченности на
A
{\displaystyle A}
, также интегрируема по Риману на
A
{\displaystyle A}
и
∫
A
f
~
d
x
→
=
∫
A
f
d
x
→
{\displaystyle \int \limits _{A}{\tilde {f}}\,d{\vec {x}}=\int \limits _{A}f\,d{\vec {x}}}
.
Если
f
,
g
∈
R
(
A
)
{\displaystyle f,g\in R(A)}
и
f
(
x
)
⩽
g
(
x
)
{\displaystyle f(x)\leqslant g(x)}
на
A
{\displaystyle A}
, то
∫
A
f
d
x
→
⩽
∫
A
g
d
x
→
{\displaystyle \int \limits _{A}f\,d{\vec {x}}\leqslant \int \limits _{A}g\,d{\vec {x}}}
. Следует из свойств интеграла как предела по базе .
Если
f
∈
R
(
A
)
{\displaystyle f\in R(A)}
, то
|
f
|
∈
R
(
A
)
{\displaystyle \left|f\right|\in R(A)}
и
|
∫
A
f
d
x
→
|
⩽
∫
A
|
f
|
d
x
→
{\displaystyle \left|\int \limits _{A}f\,d{\vec {x}}\right|\leqslant \int \limits _{A}\left|f\right|\,d{\vec {x}}}
.
Если
f
∈
R
(
A
)
{\displaystyle f\in R(A)}
,
f
(
x
)
⩾
0
{\displaystyle f(x)\geqslant 0}
на
A
{\displaystyle A}
и
f
(
x
0
)
>
0
,
x
0
{\displaystyle f(x_{0})>0,\ x_{0}}
- внутренняя точка
A
{\displaystyle A}
и точка непрерывности
f
{\displaystyle f}
, то
∫
A
f
d
x
→
>
0
{\displaystyle \int \limits _{A}f\,d{\vec {x}}>0}
.
Ограниченная функция
f
{\displaystyle f}
на измеримом множестве
A
{\displaystyle A}
интегрируема по Риману
⇔
I
∗
(
f
)
=
I
∗
(
f
)
{\displaystyle \Leftrightarrow \ I_{*}(f)=I^{*}(f)}
, и в случае равенства:
I
∗
(
f
)
=
I
∗
(
f
)
=
∫
A
f
d
x
→
{\displaystyle I_{*}(f)=I^{*}(f)=\int \limits _{A}f\,d{\vec {x}}}
, где
I
∗
{\displaystyle I_{*}}
и
I
∗
{\displaystyle I^{*}}
- соответственно нижний и верхний интегралы Дарбу .
Ограниченная
f
{\displaystyle f}
на измеримом множестве
A
{\displaystyle A}
интегрируема по Риману
⇔
f
{\displaystyle \Leftrightarrow \ f}
непрерывна почти всюду на
A
{\displaystyle A}
.
Теоремы о связи интеграла Римана и меры Жордана .
Теорема 1. Пусть
A
{\displaystyle A}
- измеримое множество в
R
n
,
E
⊂
A
{\displaystyle \mathbb {R} ^{n},\ E\subset A}
. Тогда измеримость по Жордану множества
E
⇔
{\displaystyle E\ \Leftrightarrow }
характеристическая функция
χ
E
{\displaystyle \chi _{E}}
интегрируема по Риману на
A
{\displaystyle A}
, и в случае измеримости
E
{\displaystyle E}
выполняется равенство:
μ
E
=
∫
A
χ
E
d
x
→
{\displaystyle \mu E=\int \limits _{A}\chi _{E}\,d{\vec {x}}}
.
Теорема 2. Пусть
A
{\displaystyle A}
- измеримое множество в
R
n
{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}
, функция
f
(
x
→
)
⩾
0
{\displaystyle f({\vec {x}})\geqslant 0}
на
A
{\displaystyle A}
. Пусть множество
A
f
=
{
(
x
→
,
y
)
∈
R
n
+
1
:
x
→
∈
A
,
0
⩽
y
⩽
f
(
x
→
)
}
{\displaystyle A_{f}=\left\{({\vec {x}},y)\in \mathbb {R} ^{n+1}:\ {\vec {x}}\in A,\ 0\leqslant y\leqslant f({\vec {x}})\right\}}
. Тогда интегрируемость по Риману ограниченной функции
f
{\displaystyle f}
на множестве
A
⇔
{\displaystyle A\ \Leftrightarrow }
множество
A
f
{\displaystyle A_{f}}
измеримо по Жордану в
R
n
+
1
{\displaystyle \mathbb {R} ^{n+1}}
. При этом в случае измеримости
A
f
{\displaystyle A_{f}}
выполняется равенство:
μ
n
+
1
A
f
=
∫
A
f
d
x
→
{\displaystyle \mu ^{n+1}A_{f}=\int \limits _{A}\,fd{\vec {x}}}
.
Следствие. Ограниченная на измеримом множестве
A
⊂
R
n
{\displaystyle A\subset \mathbb {R} ^{n}}
функция
f
{\displaystyle f}
интегрируема по Риману на
A
⇔
{\displaystyle A\ \Leftrightarrow }
множества
A
f
+
=
{
(
x
→
,
y
)
∈
R
n
+
1
:
x
→
∈
A
,
0
⩽
y
⩽
f
(
x
→
)
}
{\displaystyle A_{f}^{+}=\left\{({\vec {x}},y)\in \mathbb {R} ^{n+1}:\ {\vec {x}}\in A,\ 0\leqslant y\leqslant f({\vec {x}})\right\}}
и
A
f
−
=
{
(
x
→
,
y
)
∈
R
n
+
1
:
x
→
∈
A
,
f
(
x
→
)
⩽
y
⩽
0
}
{\displaystyle A_{f}^{-}=\left\{({\vec {x}},y)\in \mathbb {R} ^{n+1}:\ {\vec {x}}\in A,\ f({\vec {x}})\leqslant y\leqslant 0\right\}}
измеримы по Жордану в
R
n
+
1
{\displaystyle \mathbb {R} ^{n+1}}
. И в случае их измеримости выполняется равенство:
∫
A
f
d
x
→
=
μ
(
n
+
1
)
A
f
+
−
μ
(
n
+
1
)
A
f
−
{\displaystyle \int \limits _{A}f\,d{\vec {x}}=\mu ^{(n+1)}A_{f}^{+}-\mu ^{(n+1)}A_{f}^{-}}
.
Теоремы о сведении кратных интегралов Римана в повторным .
Теорема. Пусть функция
f
∈
R
(
Π
)
{\displaystyle f\in R(\Pi )}
, где
Π
{\displaystyle \Pi }
- брус , являющийся произведением промежутков :
Π
=
∏
k
=
1
n
[
a
k
,
b
k
]
⊂
R
n
{\displaystyle \Pi =\prod _{k=1}^{n}[a_{k},b_{k}]\subset \mathbb {R} ^{n}}
. Пусть
1
⩽
m
<
n
{\displaystyle 1\leqslant m<n}
, для каждого
ξ
→
∈
Π
″
=
∏
k
=
m
+
1
n
[
a
k
,
b
k
]
⊂
R
n
−
m
{\displaystyle {\vec {\xi }}\in \Pi ^{''}=\prod _{k=m+1}^{n}[a_{k},b_{k}]\subset \mathbb {R} ^{n-m}}
, обозначим через
I
∗
(
ξ
→
)
{\displaystyle I_{*}({\vec {\xi }})}
и
I
∗
(
ξ
→
)
{\displaystyle I^{*}({\vec {\xi }})}
нижний и верхний интегралы Дарбу от
f
(
x
→
′
,
ξ
→
)
{\displaystyle f({\vec {x}}\,',{\vec {\xi }})}
по
ξ
→
′
∈
R
m
{\displaystyle {\vec {\xi }}\,'\in \mathbb {R} ^{m}}
на
Π
′
=
∏
k
=
1
m
[
a
k
,
b
k
]
⊂
R
m
{\displaystyle \Pi ^{'}=\prod _{k=1}^{m}[a_{k},b_{k}]\subset \mathbb {R} ^{m}}
. Тогда
I
∗
(
ξ
→
)
{\displaystyle I_{*}({\vec {\xi }})}
и
I
∗
(
ξ
→
)
{\displaystyle I^{*}({\vec {\xi }})}
интегрируемы по Риману на
Π
″
{\displaystyle \Pi ^{''}}
и
∫
Π
″
I
∗
(
ξ
→
)
d
ξ
→
=
∫
Π
″
I
∗
(
ξ
→
)
d
ξ
→
=
∫
Π
f
(
x
→
)
d
x
→
{\displaystyle \int \limits _{\Pi ^{''}}I_{*}({\vec {\xi }})\,d{\vec {\xi }}=\int \limits _{\Pi ^{''}}I^{*}({\vec {\xi }})\,d{\vec {\xi }}=\int \limits _{\Pi }f({\vec {x}})\,d{\vec {x}}}
.
Следствие 1. Пусть
f
∈
R
(
Π
)
{\displaystyle f\in R(\Pi )}
, где
Π
{\displaystyle \Pi }
- брус , являющийся произведением промежутков :
Π
=
∏
k
=
1
n
[
a
k
,
b
k
]
⊂
R
n
,
1
⩽
m
<
n
.
Π
″
=
∏
k
=
m
+
1
n
[
a
k
,
b
k
]
{\displaystyle \Pi =\prod _{k=1}^{n}[a_{k},b_{k}]\subset \mathbb {R} ^{n},\ 1\leqslant m<n.\ \Pi ^{''}=\prod _{k=m+1}^{n}[a_{k},b_{k}]}
. Пусть
I
(
x
→
″
)
,
x
→
″
∈
Π
″
{\displaystyle I({\vec {x}}\,''),\ {\vec {x}}\,''\in \Pi ^{''}}
, такая функция на
Π
″
{\displaystyle \Pi ^{''}}
, что
I
∗
(
x
→
″
)
⩽
I
(
x
→
″
)
⩽
I
∗
(
x
→
″
)
⩽
{\displaystyle I_{*}({\vec {x}}\,'')\leqslant I({\vec {x}}\,'')\leqslant I^{*}({\vec {x}}\,'')\leqslant }
, где
I
∗
(
x
→
″
)
{\displaystyle I_{*}({\vec {x}}\,'')}
и
I
∗
(
x
→
″
)
{\displaystyle I^{*}({\vec {x}}\,'')}
- соответственно нижний и верхний интегралы Дарбу от
f
(
x
→
′
,
x
→
″
)
{\displaystyle f({\vec {x}}\,',{\vec {x}}\,'')}
при фиксированном
x
→
″
{\displaystyle {\vec {x}}\,''}
по
x
→
′
{\displaystyle {\vec {x}}\,'}
на
Π
′
=
∏
k
=
1
m
[
a
k
,
b
k
]
{\displaystyle \Pi ^{'}=\prod _{k=1}^{m}[a_{k},b_{k}]}
. Тогда функция
I
(
x
→
″
)
{\displaystyle I({\vec {x}}\,'')}
интегрируема по Риману на
Π
″
{\displaystyle \Pi ^{''}}
и
∫
Π
″
I
(
x
→
′
)
d
x
→
″
=
∫
Π
f
(
x
→
)
d
x
→
{\displaystyle \int \limits _{\Pi ^{''}}I({\vec {x}}\,')\,d{\vec {x}}\,''=\int \limits _{\Pi }f({\vec {x}})\,d{\vec {x}}}
.
Следствие 2. Пусть
f
∈
R
(
Π
)
{\displaystyle f\in R(\Pi )}
, где
Π
{\displaystyle \Pi }
- брус , являющийся произведением промежутков :
Π
=
∏
k
=
1
n
[
a
k
,
b
k
]
⊂
R
n
,
1
⩽
m
<
n
{\displaystyle \Pi =\prod _{k=1}^{n}[a_{k},b_{k}]\subset \mathbb {R} ^{n},\ 1\leqslant m<n}
. Если
∀
x
→
″
∈
Π
″
=
∏
k
=
m
+
1
n
[
a
k
,
b
k
]
⊂
R
n
−
m
{\displaystyle \forall {\vec {x}}\,''\in \Pi ^{''}=\prod _{k=m+1}^{n}[a_{k},b_{k}]\subset \mathbb {R} ^{n-m}}
, функция
f
(
x
→
′
,
x
→
″
)
{\displaystyle f({\vec {x}}\,',{\vec {x}}\,'')}
интегрируема по Риману на
Π
′
=
∏
k
=
1
m
[
a
k
,
b
k
]
⊂
R
m
{\displaystyle \Pi ^{'}=\prod _{k=1}^{m}[a_{k},b_{k}]\subset \mathbb {R} ^{m}}
, то её интеграл
∫
Π
′
f
(
x
→
′
,
x
→
″
)
d
x
→
′
{\displaystyle \int \limits _{\Pi ^{'}}f({\vec {x}}\,',{\vec {x}}\,'')\,d{\vec {x}}\,'}
интегрируем по Риману на
Π
″
{\displaystyle \Pi ^{''}}
и
∫
Π
″
∫
Π
′
f
(
x
→
′
,
x
→
″
)
d
x
→
′
d
x
→
″
=
∫
Π
f
(
x
→
)
d
x
→
{\displaystyle \int \limits _{\Pi ^{''}}{\int \limits _{\Pi ^{'}}f({\vec {x}}\,',{\vec {x}}\,'')\,d{\vec {x}}\,'}\,d{\vec {x}}\,''=\int \limits _{\Pi }f({\vec {x}})\,d{\vec {x}}}
Следствие 3 . Пусть
f
∈
R
(
A
)
{\displaystyle f\in R(A)}
. Обозначим через
A
″
{\displaystyle A^{''}}
- проекцию множества
A
{\displaystyle A}
на
R
n
−
m
,
A
″
=
{
x
→
″
∈
R
n
−
m
:
∃
x
→
′
∈
R
m
,
{\displaystyle \mathbb {R} ^{n-m},\ A^{''}=\left\{{\vec {x}}\,''\in \mathbb {R} ^{n-m}:\ \exists {\vec {x}}\,'\in \mathbb {R} ^{m},\right.}
что
(
x
→
′
,
x
→
″
)
∈
A
}
,
1
⩽
m
<
n
{\displaystyle \left.({\vec {x}}\,',{\vec {x}}\,'')\in A\right\},\ 1\leqslant m<n}
. Для
x
→
″
∈
A
{\displaystyle {\vec {x}}\,''\in A}
обозначим через
A
′
{\displaystyle A^{'}}
- сечение множества
A
,
A
′
(
x
→
″
=
{
x
→
′
∈
R
m
:
(
x
→
′
,
x
→
″
)
∈
A
}
{\displaystyle A,\ A^{'}({\vec {x}}\,''=\left\{{\vec {x}}\,'\in \mathbb {R} ^{m}:\ ({\vec {x}}\,',{\vec {x}}\,'')\in A\right\}}
. Предположим, что
A
″
{\displaystyle A^{''}}
и все
A
′
{\displaystyle A^{'}}
- измеримые по Жордану множества в
R
n
−
m
{\displaystyle \mathbb {R} ^{n-m}}
и
R
m
{\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}
соответственно, причём для каждого
x
→
″
∈
A
″
{\displaystyle {\vec {x}}\,''\in A^{''}}
функция
f
(
x
→
′
,
x
→
″
)
∈
R
(
A
′
(
x
→
″
)
)
{\displaystyle f({\vec {x}}\,',{\vec {x}}\,'')\in R(A^{'}({\vec {x}}\,''))}
. Тогда
∫
A
′
(
x
→
″
)
f
(
x
→
′
,
x
→
″
)
d
x
→
′
{\displaystyle \int \limits _{A^{'}({\vec {x}}\,'')}f({\vec {x}}\,',{\vec {x}}\,'')\,d{\vec {x}}\,'}
интегрируем на
A
″
{\displaystyle A^{''}}
и
∫
A
″
∫
A
′
(
x
→
″
)
f
(
x
→
′
,
x
→
″
)
d
x
→
′
d
x
→
″
=
∫
A
f
(
x
→
)
d
x
→
{\displaystyle \int \limits _{A^{''}}{\int \limits _{A^{'}({\vec {x}}\,'')}f({\vec {x}}\,',{\vec {x}}\,'')\,d{\vec {x}}\,'}\,d{\vec {x}}\,''=\int \limits _{A}f({\vec {x}})\,d{\vec {x}}}
.