Кратный интеграл Римана

Примечание: всюду в данной статье, где используется знак имеется в виду (кратный) интеграл Римана , если не оговорено обратное;
всюду в данной статье, где говорится об измеримости множества, имеется в виду измеримость по Жордану, если не оговорено обратное.

Определение

править

Пусть   - измеримое (по Жордану) множество. Разбиение   множества   - это любой набор   измеримых множеств, пересекающихся лишь по границам и  . Выберем точки   - получили   - разбиение с отмеченными точками.

Пусть функция   определена на  , тогда интегральной суммой называется  .

Функция   интегрируема по Риману в кратном смысле на   и   - её интеграл, если  : для любого отмеченного разбиения   с   и диаметром   выполняется неравенство  . Обозначается интеграл от функции   на измеримом множестве  :  .

Некоторые свойства кратного интеграла Римана

править
  1. Если функция   интегрируема по Риману на измеримом множестве  , то  , что функция   ограничена на множестве  , где   - внутренность  . (См. Связь интегрируемости по Риману и ограниченности).
  2. Если функция   интегрируема по Риману на измеримом множестве  , функция   определена на   и   на   для некоторого  , то   интегрируема по Риману на   и  .
  3. Линейность. Если   (ограничена и интегрируема по Риману на  ), то   функция   и  . Если  , то   и  . Следует из свойств интеграла как предела по базе.
  4. Аддитивность по множествам. Если   и  , то   и, если  , то  . Первая часть следует из критерия Лебега.
  5. Интегрируемость по подмножеству. Если  ,   - измеримое по Жордану подмножество  , то  . Следует из критерия Лебега.
  6. Если  , то  . Следует из критерия Лебега.
  7. Если  , функция   непрерывна на отрезке  . Следует из критерия Лебега.
  8. Если  , и   изменить на множестве  , то измененная функция  , при условии её ограниченности на  , также интегрируема по Риману на   и  .
  9. Если   и   на  , то  . Следует из свойств интеграла как предела по базе.
  10. Если  , то   и  .
  11. Если  ,   на   и   - внутренняя точка   и точка непрерывности  , то  .

Теоремы

править

Ограниченная функция   на измеримом множестве   интегрируема по Риману  , и в случае равенства:  , где   и   - соответственно нижний и верхний интегралы Дарбу.

Ограниченная   на измеримом множестве   интегрируема по Риману   непрерывна почти всюду на  .

  • Теоремы о связи интеграла Римана и меры Жордана.
    • Теорема 1. Пусть   - измеримое множество в  . Тогда измеримость по Жордану множества   характеристическая функция   интегрируема по Риману на  , и в случае измеримости   выполняется равенство:  .
    • Теорема 2. Пусть   - измеримое множество в  , функция   на  . Пусть множество  . Тогда интегрируемость по Риману ограниченной функции   на множестве   множество   измеримо по Жордану в  . При этом в случае измеримости   выполняется равенство:  .
    • Следствие. Ограниченная на измеримом множестве   функция   интегрируема по Риману на   множества   и   измеримы по Жордану в  . И в случае их измеримости выполняется равенство:  .
  • Теоремы о сведении кратных интегралов Римана в повторным.
    • Теорема. Пусть функция  , где   - брус, являющийся произведением промежутков:  . Пусть  , для каждого  , обозначим через   и   нижний и верхний интегралы Дарбу от   по   на  . Тогда   и   интегрируемы по Риману на   и  .
    • Следствие 1. Пусть  , где   - брус, являющийся произведением промежутков:  . Пусть  , такая функция на  , что  , где   и   - соответственно нижний и верхний интегралы Дарбу от   при фиксированном   по   на  . Тогда функция   интегрируема по Риману на   и  .
    • Следствие 2. Пусть  , где   - брус, являющийся произведением промежутков:  . Если  , функция   интегрируема по Риману на  , то её интеграл   интегрируем по Риману на   и  
    • Следствие 3. Пусть  . Обозначим через   - проекцию множества   на   что  . Для   обозначим через   - сечение множества  . Предположим, что   и все   - измеримые по Жордану множества в   и   соответственно, причём для каждого   функция  . Тогда   интегрируем на   и  .

См. также

править