Критерий согласия Колмогорова

Критерий согласия Колмогорова предназначен для проверки гипотезы о принадлежности выборки некоторому закону распределения, то есть проверки того, что эмпирическое распределение соответствует предполагаемой модели.

Критерий однородности Смирнова используется для проверки гипотезы о принадлежности двух независимых выборок одному закону распределения, то есть о том, что два эмпирических распределения соответствуют одному и тому же закону.

Эти критерии носят имена математиков Андрея Николаевича Колмогорова и Николая Васильевича Смирнова.

Критерий Смирнова о проверке гипотезы об однородности двух эмпирических законов распределения является одним из наиболее часто используемых непараметрических критериев.

ОписаниеПравить

Если в критерии   сопоставляются частоты двух распределений отдельно по каждому разряду, то здесь сопоставляются сначала частоты по первому разряду, потом по сумме первого и второго разрядов, потом по сумме первого, второго и третьего разрядов и т. д. Таким образом, каждый раз сопоставляются накопленные к данному разряду частоты.

Если различия между двумя распределениями существенны, то в какой-то момент разность накопленных частот достигнет критического значения, и различия можно будет признать статистически достоверными. В формулу критерия    включается эта разность. Чем больше эмпирическое значение  , тем более существенными являются различия.

Статистика критерия КолмогороваПравить

Пусть эмпирическая функция распределения (ЭФР)  , построенная по выборке  , имеет вид:

 

где   указывает, попало ли наблюдение   в область  :

 

Выполняется проверка того, является ли выборка порождённой случайной величиной   с функцией распределения  . Статистика критерия для эмпирической функции распределения   определяется следующим образом:

 

где под   понимается супремум функции  .

Распределение статистики КолмогороваПравить

Обозначим нулевую гипотезу  , как гипотезу о том, что выборка подчиняется распределению  . Тогда по теореме Колмогорова для введённой статистики справедливо:

 

Учтём, что критерий имеет правостороннюю критическую область.

  Принятие решения по критерию Колмогорова.
Если статистика   превышает процентную точку распределения Колмогорова   заданного уровня значимости  , то нулевая гипотеза   (о соответствии закону  ) отвергается. Иначе гипотеза принимается на уровне  .

Если   достаточно близко к 1, то   можно приблизительно рассчитать по формуле:

 

Асимптотическая мощность критерия равна 1.


Обозначим теперь за нулевую гипотезу   гипотезу о том, что две исследуемые выборки подчиняются одному распределению случайной величины  .

  Теорема Смирнова.
Пусть   — эмпирические функции распределения, построенные по независимым выборкам объёмом   и   случайной величины  . Тогда, если  , то  , где  .

Теорема Смирнова позволяет построить критерий для проверки двух выборок на однородность.

  Принятие решения по критерию Смирнова.
Если статистика   превышает квантиль распределения Колмогорова   для заданного уровня значимости  , то нулевая гипотеза   (об однородности выборок) отвергается. Иначе гипотеза принимается на уровне  .

См. такжеПравить

Примечание 1Править

В критерии Колмогорова предпочтительней использование статистики с поправкой Большева в следующем виде  . Распределение данной статистики уже не так сильно зависит от объема выборки. Зависимостью её распределения от объема выборки   можно пренебречь при  .

Примечание 2Править

Классический критерий Колмогорова предназначен для проверки простых гипотез. Если проверяется гипотеза о согласии наблюдаемой выборки с законом, все параметры которого известны, то критерий Колмогорова является свободным от распределения: неважно, с каким законом проверяется согласие. Если проверяемая гипотеза справедлива, предельным распределением статистики Колмогорова является распределение Колмогорова  .

Всё меняется при проверке сложных гипотез, когда по анализируемой выборке оцениваются параметры теоретического закона, согласие с которым проверяется. При проверке сложных гипотез свобода от распределения теряется. При проверке сложных гипотез и справедливости проверяемой гипотезы распределения статистик непараметрических критериев согласия (и критерия Колмогорова) зависят от ряда факторов: от вида наблюдаемого закона, соответствующего проверяемой гипотезе; от типа оцениваемого параметра и числа оцениваемых параметров; в некоторых случаях от конкретного значения параметра (например, в случае семейств гамма- и бета-распределений); от метода оценивания параметров. Различия в предельных распределениях той же самой статистики при проверке простых и сложных гипотез настолько существенны, что пренебрегать этим ни в коем случае нельзя.

О применении критерия Колмогорова при проверке сложных гипотезПравить

СсылкиПравить