Логнормальное распределение

Логнорма́льное распределе́ние (логарифмически-нормальное) в теории вероятностей — это двухпараметрическое семейство абсолютно непрерывных распределений. Если случайная величина имеет логнормальное распределение, то её логарифм имеет нормальное распределение.

Логнормальное
График плотности
μ=0Плотность вероятности
График функции распределения
μ=0Функция распределения
Обозначение ,
Параметры
Носитель
Плотность вероятности
Функция распределения
Математическое ожидание
Медиана
Мода
Дисперсия
Коэффициент асимметрии
Коэффициент эксцесса
Дифференциальная энтропия
Производящая функция моментов
Характеристическая функция

Определение править

Пусть распределение случайной величины   задаётся плотностью вероятности, имеющей вид[1]:

 

где  . Тогда говорят, что   имеет логнормальное распределение с параметрами   и  [1]. Пишут:  .

Моменты править

Формула для  -го момента логнормальной случайной величины   имеет вид[1]:

 

откуда, в частности[1]:

  •  математическое ожидание,
  •  дисперсия,
  • Асимметрия всегда положительна.

Любые нецентральные моменты n-мерного совместного логнормального распределения могут быть вычислены по простой формуле[источник не указан 59 дней]:

 , где   и   — параметры многомерного совместного распределения.   — вектор, компоненты которого задают порядок момента. (Например, в двухмерном случае,   — второй нецентральный момент первой компоненты,   — смешанный второй момент). Круглые скобки обозначают скалярное произведение.

Свойства логнормального распределения править

  • Если   — независимые логнормальные случайные величины, такие что  , то их произведение также логнормально[1]:
     .

Связь с другими распределениями править

  • Если  , то  .

И наоборот, если  , то  .

Моделирование логнормальных случайных величин править

Для моделирования обычно используется связь с нормальным распределением. Поэтому, достаточно сгенерировать нормально распределённую случайную величину, например, используя преобразование Бокса — Мюллера, и вычислить её экспоненту[источник не указан 59 дней].

Вариации и обобщения править

Одним из возможных обобщений является усечённое логнормальное распределение, описываемое плотностью вероятности[2]:

 

где  .

Приложения править

Логнормальное распределение часто возникает в природе и широко используется для описания разных параметров в различных дисциплинах. Например, в медицине его могут применять для инкубационных периодов случаев какого-либо заболевания, в геологии — для концентрации редких элементов в горных породах, в лингвистике — для количества слов в предложениях. Распределение частиц по размерам в разных системах также часто оказывается близко к логнормальному[1][3]. Однако здесь есть исключения, например, распределение астероидов по размерам в Солнечной системе подчиняется степенному закону[4].

Примечания править

  1. 1 2 3 4 5 6 ЛОГАРИФМИЧЕСКИ-НОРМАЛЬНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ • Большая российская энциклопедия - электронная версия. old.bigenc.ru. Дата обращения: 10 февраля 2024.
  2. Sílvio M. Duarte Queirós. On generalisations of the log-Normal distribution by means of a new product definition in the Kapteyn process // Physica A: Statistical Mechanics and its Applications. — 2012-07-01. — Т. 391, вып. 13. — С. 3594–3606. — ISSN 0378-4371. — doi:10.1016/j.physa.2012.01.050.
  3. Limpert, E; Stahel, W; Abbt, M. Lognormal distributions across the sciences: keys and clues (англ.) // BioScience  (англ.) : journal. — 2001. — Vol. 51, no. 5. — P. 341—352. — doi:10.1641/0006-3568(2001)051[0341:LNDATS]2.0.CO;2.
  4. J. Peña, C. Fuentes, F. Förster, J. Martínez-Palomera, G. Cabrera-Vives, J. C. Maureira, P. Huijse, P. A. Estévez, L. Galbany, S. González-Gaitán, Th. de Jaeger. Asteroids' Size Distribution and Colors from HITS // The Astronomical Journal. — 2020-04-01. — Т. 159. — С. 148. — ISSN 0004-6256. — doi:10.3847/1538-3881/ab7338.

Литература править

  • Crow, Edwin L.; Shimizu, Kunio (1988), Lognormal Distributions, Theory and Applications, Statistics: Textbooks and Monographs, vol. 88, New York: Marcel Dekker, Inc., pp. xvi+387, ISBN 0-8247-7803-0, MR 0939191, Zbl 0644.62014
  • Aitchison, J. and Brown, J.A.C. (1957) The Lognormal Distribution, Cambridge University Press.
  • Eric W. Weisstein et al. Log Normal Distribution at MathWorld. Electronic document, retrieved October 26, 2006.
  • Holgate, P. The lognormal characteristic function (неопр.) // Communications in Statistics - Theory and Methods. — 1989. — Т. 18, № 12. — С. 4539—4548. — doi:10.1080/03610928908830173.
  • Brooks, Robert; Corson, Jon; Donal, Wales  (англ.). The Pricing of Index Options When the Underlying Assets All Follow a Lognormal Diffusion (англ.) // Advances in Futures and Options Research : journal. — 1994. — Vol. 7.