Континуум (теория множеств)

(перенаправлено с «Мощность континуума»)

Конти́нуум в теории множеств — мощность (или кардинальное число) множества всех вещественных чисел.[1] Обозначается строчной латинской буквой c во фрактурном начертании: . Множество, имеющее мощность континуум, называется континуа́льным[2] множеством.

Также термин «континуум» может обозначать само множество вещественных чисел, или даже любое континуальное множество.

СвойстваПравить

  • Континуум есть мощность булеана счётного множества.
  • Как мощность булеана счётного множества, континуум является бесконечной мощностью[3], превосходящей счётную. В теории множеств с аксиомой выбора континуум, как и любая бесконечная мощность, является алефом, и, при обозначении ординального номера континуума в ряду алефов буквой   ( ), выполняется  , то есть  .
  • В ряду бесконечных булеанов  [4] континуум  .
  • Предположение, что не существует мощностей, промежуточных между счётной и континуумом, называется континуум-гипотезой. В теории множеств с аксиомой выбора она формулируется, как   или   или  , где   — ранее введённый номер континуума в ряду алефов. Обобщённая континуум-гипотеза формулируется, как   для любого ординала  .
  • Счётная декартова степень континуума — континуум:  , и, следовательно, любая ненулевая конечная[5] декартова степень континуума — так же континуум:  .
  • В теории множеств с аксиомой выбора мощность объединения не более чем континуального семейства множеств, каждое из которых само не более чем континуально, не превосходит континуума, то есть   регулярен.
  • Мощность объединения не более чем счётного семейства не более чем счётных множеств не более чем счётна, то есть сечение[6] класса мощностей (как большого[7] частичного порядка), нижний класс которого есть не более чем счётные мощности, непреодолимо «по Пифагору»[8], то есть в теории множеств с аксиомой выбора   регулярен. Как следствие, континуум (как и  ) недостижим «по Пифагору» от не более чем счётных мощностей — не может быть получен объединением не более чем счётного числа не более чем счётных.
  • При разбиении континуального множества на конечное или счётное число частей хотя бы одна из частей будет иметь мощность континуум. Как следствие, в теории множеств с аксиомой выбора конфинальность континуума — несчётна.

Происхождение терминаПравить

Изначально континуумами были названы более чем одноточечные непрерывные («континуальные») порядки, то есть порядки со связной естественной топологией. В терминах собственно порядка это означает, что любое его сечение является дедекиндовым.

Континуум как целое может как иметь, так и не иметь минимального и максимального элементов, то есть его концы могут быть как «открыты», так и «замкнуты».

Минимальным (то есть содержащимся в любом континууме) континуумом является вещественная прямая (как с открытыми, так и с замкнутыми концами).

Любой порядок может быть пополнен до континуума, из чего следует, что континуумы могут иметь неограниченно большие мощности. В кардинальном ряду они обозначаются  , где   — ординальный номер континуума.

Минимальное пополнение порядка до континуума строится заполнением щелей дополнительными точками, а скачков — отрезками (0, 1) без концов.

В последующем термин «континуум», выйдя за пределы специфических порядковых рассмотрений, в теории множеств (а вслед за ней — и в остальной математике) сузился до собственно вещественной прямой, а «мощность континуума»  , стала, соответственно, её мощностью. В дальнейшем «континуумом» стали называть уже саму мощность континуума  . В топологии этот термин, напротив, расширился до любой связной компактной хаусдорфовой топологии (связного компакта), безотносительно к тому, имеет ли данная топология порядковое происхождение, при этом некоторые континуумы в старом смысле (например, вещественная прямая с открытыми концами) перестали считаться таковыми из-за потери компактности. В настоящее время использование термина «континуум» в исходном смысле встречается в основном лишь в сравнительно старой литературе.

ПримерыПравить

Примеры множеств, имеющих мощность континуум:

  • Все точки вещественной прямой   (множество вещественных чисел  ).
  • Все точки отрезка  .
  • Все точки плоскости   (или  ‑мерного пространства  ,  ).
  • Множество всех иррациональных чисел.
  • Множество всех трансцендентных чисел.
  • Множество всех подмножеств счётного множества.
  • Множество всех частичных порядков на счётном множестве.
  • Множество всех счётных множеств натуральных чисел.
  • Множество всех счётных множеств вещественных чисел.
  • Множество всех непрерывных функций  .
  • Множество всех открытых подмножеств плоскости   (или  ).
  • Множество всех замкнутых подмножеств плоскости   (или  ).
  • Множество всех борелевских подмножеств плоскости   (или  ).
  • Канторово множество

ПримечанияПравить

  1. Хинчин А. Я. Восемь лекций по математическому анализу. — М.-Л., Гостехиздат, 1948. — с. 11
  2. Математика справочник Куринной Г. Ч.
  3. См. бесконечное множество.
  4. Ряд бесконечных булеанов определяется, как  ;  ;  .
  5. См. конечное множество.
  6. Разбиение секомого предпорядка на два дизъюнктных класса: верхний и нижний. Любой элемент, меньше либо равный какому-либо из нижнего, сам находится в нижнем, больше либо равный какому-либо из верхнего, сам находится в верхнем. Если какой-либо из классов пуст — сечение несобственное.
  7. предполагается использование какого-либо способа разрешения формальных сложностей, связанных с большими объектами: теории с классами, погружение в универсальное множество и т. п.
  8. Сам сказал: единица порождает существование, двоица — неопределённое множество.