Текущая версия страницы пока не проверялась опытными участниками и может значительно отличаться от версии, проверенной 14 марта 2023 года; проверки требует 1 правка.
Текущая версия страницы пока не проверялась опытными участниками и может значительно отличаться от версии, проверенной 14 марта 2023 года; проверки требует 1 правка.
Пусть — счётно-аддитивная мера на полукольце с единицей . Для произвольного подмножества назовём покрытиями системы из конечного или счётного числа множеств , объединение которых содержит множество . Так как сумма мер множеств, составляющих любое покрытие, есть величина неотрицательная, она ограничена снизу, и, значит, множество сумм мер всех покрытий имеет точную нижнюю грань. Эта грань, зависящая только от множества , и называется внешней мерой:
Выберем произвольное . Рассмотрим такие покрытия множеств элементами , что
и (такие существуют по определению инфимума).
Тогда
— покрытие множества элементами , то есть для внешней меры как для инфимума мер покрытий:
В силу произвольного выбора , отсюда вытекает доказываемое.
(монотонность) Необходимо в качестве взять . Из полуаддитивности последует требуемое.
где — симметрическая разность множеств и . Достаточно лишь заметить, что и Из полуаддитивности получим желаемую систему неравенств.
, где лежит в порождённом кольце . Действительно, достаточно в качестве взять объединение множеств, составляющих покрытие , такое что . Существование такого покрытия следует из определения точной нижней грани.
Если множество ограничено, то внутренней мерой множества называется разность между мерой содержащего элемента порождённого кольца и внешней мерой дополнения в этом элементе:
Для неограниченных множеств, определяется как точная верхняя грань по всем элементам кольца.
Множество называется измеримым по Лебегу, если для любого существует такое , лежащее в порождённом кольце , что Система всех измеримых множеств обозначается
Для измеримого мера Лебега по определению равна и обозначается , , , или .
Критерий измеримости по Лебегу. Множество измеримо по Лебегу тогда и только тогда, когда его внешняя и внутренняя меры равны, то есть:
Любой элемент порождённого кольца измерим, и его мера Лебега равна стандартной:
Доказательство
Достаточно взять Тогда
Пусть Значит, по определениям продолжения меры на кольцо и внешней меры С другой стороны, если , то из-за счётной монотонности стандартной меры , то есть, переходя к нижней грани, Следовательно,
— сигма-алгебра, а мера Лебега — счётно-аддитивная мера на ней.
Доказательство
1. Докажем, что — алгебра. Пусть Тогда по определению существуют такие, что Заметим, что , что благодаря полуаддитивности означает , но по свойству кольца, поэтому Также и, откуда, Наконец, , значит, — алгебра.
2. Докажем, что — мера на ней. Неотрицательность меры Лебега очевидна. Покажем ее аддитивность. Так как — кольцо, то достаточно рассмотреть случай двух множеств Так как и не пересекаются, Тогда из указанного, свойств внешней меры и соотношения имеем:
из третьего свойства внешней меры;
из монотонности в соотношении , верном, поскольку и не пересекаются;
из третьего свойства и монотонности.
Поскольку — мера на , Так как и для множеств кольца , получаем: , то есть в силу произвольности , Совместно с неравенством (полуаддитивность внешней меры) получаем
3. Докажем, что счётно-аддитивна. Если дан конечный набор непересекающихся множеств , которые вложены в произвольное множество , то найдутся такие множества , что Тогда по свойству меры Случай счётного набора множеств получается предельным переходом. В то же время, неравенство следует из полуаддитивности внешней меры. Значит, для верно
4. Докажем, что — сигма-алгебра. Пусть , где . Так как мы уже знаем, что — кольцо, то без ограничения общности можно считать, что попарно не пересекаются (иначе перейдем к ). Так как — мера на , то в силу полуаддитивности при каждом выполнено неравенство
В частности ряд сходится Пусть теперь задано . Выберем такое , что Положим Тогда из полуаддитивности внешней меры следует
Множество измеримо, так как — кольцо. По определению найдется такое такое, что Замечая, что , получаем Следовательно,
Если у множества нулевая мера, любое его подмножество измеримо, то есть: Согласно монотонности внешней меры, , откуда Теперь достаточно взять Тогда для любого .
Меру Лебега можно определить для любого . Достаточно рассмотреть систему -мерных открытых интервалов (-мерных параллелепипедов), содержащую . Эта система очевидно замкнута относительно пересечения; третье условие существования непересекающихся множеств, дополняющих данное подмножество до исходного также нетрудно доказать. Так что система интервалов является полукольцом. Мерой в этом кольце является -мерный объём, который счётно-аддитивен.
Одним из самых распространённых частных случаев является мера Лебега на прямой, построенной на основе кольца открытыхпромежутков с длиной в качестве меры.
Пример неизмеримого по Лебегу множества на прямой построил Дж. Витали в 1905 году. Рассмотрим следующее отношение эквивалентности на отрезке : если разность рациональна.
Далее, из каждого класса эквивалентности выберем по одному представителю — одной точке (здесь мы пользуемся аксиомой выбора).
Тогда полученное множество представителей будет неизмеримым.
Действительно, если сдвинуть счётное число раз на все рациональные числа в интервале , то объединение будет содержать весь отрезок , но при этом оно будет содержаться в отрезке .
При этом «сдвинутые копии» множества не будут пересекаться друг с другом, что непосредственно следует из построения и .
Следовательно, с учётом счётной аддитивности меры Лебега,
Однако, если построенное множество измеримо, это невозможно: все в силу свойства инвариантности меры Лебега (мера множества не меняется при сдвиге), а значит, сумма ряда
либо бесконечна (если ), либо равна нулю (если ); третьего не дано.
В обоих случаях получаем противоречие, и значит множество неизмеримо; то есть функция меры на не распространяется.
Заметим, что построение этого, как и любого другого примера неизмеримого множества на отрезке, было бы невозможно без принятия аксиомы выбора (нельзя было бы выбрать по представителю в каждом классе эквивалентности).
В своих «Лекциях об интегрировании и отыскании примитивных функций» (1904 год) Анри Лебег заявил, что его целью было найти (неотрицательную) меру на вещественной прямой, которая существовала бы для всех ограниченных множеств и удовлетворяла бы трём условиям:
Конгруэнтные множества имеют равную меру (то есть мера инвариантна относительно операций переноса и симметрий).
Конструкция Лебега охватывала обширный класс множеств вещественных чисел и определяла множество измеримых функций, более широкое, чем множество аналитических функций. При этом всякая измеримая функция допускала применение многих аналитических методов. К этому времени уже существовала общая теория меры, разработанная Э. Борелем (1898), и первые работы Лебега опирались на борелевскую теорию. Однако в диссертации Лебега (1902) теория меры была существенно обобщена до «меры Лебега». Лебег определил понятия ограниченных измеримых функций и интегралов для них, доказал, что все «обычные» ограниченные функции, исследуемые в анализе, измеримы, и что класс измеримых функций замкнут относительно основных аналитических операций, включая операцию предельного перехода. В 1904 году Лебег обобщил свою теорию, сняв условие ограниченности функции.
Уже в следующем году (1905) Дж. Витали показал, что мера, удовлетворяющая трём приведенным выше условиям, не охватывает всех ограниченных вещественных множеств: он построил множество, не имеющее меры с указанными свойствами. Более того, в 1914 году Хаусдорф доказал, что даже заменив требование счётной аддитивности на более слабое условие конечной аддитивности, мы всё равно обнаружим в трёхмерном пространстве ограниченные неизмеримые множества. Для прямой, как обнаружил Банах в 1923 году, универсальная конечно-аддитивная мера существует и даже не единственна[2].
Труды Лебега имели ещё одно важное концептуальное значение: они были полностью основаны на спорной в те годы канторовскойтеории множеств, и плодотворность лебеговской теории послужила веским аргументом для принятия теории множеств как фундамента математики.