Неравенство Коши — Буняковского

(перенаправлено с «Неравенство Коши-Буняковского»)

Неравенство Коши́ — Буняко́вского связывает норму и скалярное произведение векторов в евклидовом или гильбертовом пространстве. Это неравенство эквивалентно неравенству треугольника для нормы. Частный случай неравенства Гёльдера и неравенства Йенсена[1].

Неравенство Коши — Буняковского иногда, особенно в иностранной литературе, называют неравенством Шварца и неравенством Коши — Буняковского — Шварца, хотя работы Шварца на эту тему появились только спустя 25 лет после работ Буняковского[2]. Конечномерный случай этого неравенства называется неравенством Коши и был доказан Коши в 1821 году.

ФормулировкаПравить

Пусть дано линейное пространство   со скалярным произведением  . Пусть   — норма, порождённая скалярным произведением, то есть  . Тогда для любых   имеем:

 

причём равенство достигается тогда и только тогда, когда векторы   и   линейно зависимы (коллинеарны, или среди них есть нулевой).

ПримерыПравить

  • Важным частным случаем, часто использующимся в теории чисел, является случай, когда один из векторов полностью состоит из единиц:
 
 

где   обозначает комплексное сопряжение  .

 
  • В пространстве случайных величин с конечным вторым моментом   неравенство Коши — Буняковского имеет вид:
     
где   обозначает ковариацию, а   — дисперсию.
  • Для двух независимых случайных величин   и   неравенство Коши — Буняковского имеет вид:
     

Способы доказательстваПравить

Существует лишь несколько сущностно различных подходов к доказательству неравенства. Однако, ввиду его универсальности, одни и те же приводящие к нему формальные операции можно описывать в разных терминах. Из-за этого некоторые авторы представляют неравенство как имеющее чрезвычайно много доказательств.[3]

Для удобства изложения в данном разделе, когда не указано иное, описываются доказательства только для пространства конечной размерности над  , то есть для конечных последовательностей  ,  .

Комбинаторный (через перестановочное неравенство)Править

 
Схема доказательства неравенства для одной последовательности через перестановочное неравенство.

Случай с вектором из единицПравить

Пусть  . Раскрывая квадрат и делая замену  , квадрат суммы можно разбить на блоки следующим образом:

 

где обозначения   соответствуют  . Из перестановочного неравенства для двух копий последовательности   и перестановок

 

следует, что каждая из внутренних сумм не превышает  .

Общий случайПравить

Если все   – целые, то, раскрывая произведения   и применяя уже доказанный частный случай для получившихся   слагаемых, получим

 

Делением обоих частей на целые числа можно получить то же неравенство для рациональных  , а из непрерывности сложения и умножения следует и обобщение для произвольных вещественных  . Это утверждение в точности соответствует неравенству Коши-Буняковского для последовательностей

 
 .

Поэтому неравенство для произвольных  ,   следует из возможности обратной замены

 
 .

Вероятностный (через суммирование квадратов)Править

Идея (на примере дисперсии)Править

Самая известная реализация этого метода – рассмотрение дисперсии случайной величины. Очевидно, что если величина принимает неотрицательные значения, то её математическое ожидание также будет неотрицательно, поэтому

 

для любой случайной величины  . Благодаря линейности математического ожидания из этого следует, что

 

Пусть все   и  . Для случайной величины  , которая принимает значение   с вероятностью  , это неравенство означает, что

 

то есть

 

Отсюда неравенство Коши-Буняковского можно получить той же заменой переменных, что и в случае с применением перестановочного неравенства.

Интерпретация и альтернативные формыПравить

После замены переменных математическое ожидание описанной выше величины будет иметь вид

 

Поэтому вероятностное доказательство, в сущности рассматривает сумму

 

Из очевидной (ввиду возведения скобки в квадрат) неотрицательности этой суммы выводится соотношение между слагаемыми, получающимися при раскрытии скобки – двое из трёх таких слагаемых сокращаются в одно (различаются лишь на константу) за счёт структуры формулы. Изменяя нормировку (деление на суммы) с помощью внесения множителей под скобки и домножения константы, легко увидеть, что такой подход аналогичен использованию более наглядной суммы

 

Неравенства с такими суммами, записанные без привязки к вероятностным определениям, остаются корректным и без условия   из предыдущего раздела. В частности, для произвольного гильбертова пространства при   можно рассмотреть неравенство

 

а при   достаточно домножить   на комплексное число вида   чтобы свести всё к первому случаю.

Аналогичным способом можно использовать другую, симметричную, сумму, где после раскрытия скобки сокращаются два крайних слагаемых (полученные возведением в квадрат), а не крайнее с центральным:

 

или, что то же самое,

 

Кроме вероятностной интерпретации, использование таких сумм может быть описано через оценку дискриминанта квадратного уравнения или неравенство между средним геометрическим и средним арифметическим.[4]

Прямой (через группировку множителей)Править

Ещё одна (впрочем, нуждающаяся в инструментарии двух предыдущих) идея состоит в представлении неравенства в виде

 

Такую форму можно доказать двумя способами:

  • сравнивав все слагаемые за один шаг, применив перестановочное неравенство для двух копий набора   и перестановки  [5];

Применение случая n=2 к суммамПравить

Неравенство можно получить с помощью индукции, шагом которой для перехода от   к  -ому слагаемому будет применение того же неравенства для двух слагаемых. Предположение индукции для последовательностей  ,   даёт неравенство

 

А из случая   для последовательностей  ,   легко видеть, что

 

Таким образом неравенство доказывается для произвольного   индукцией с базой  . Базу можно доказать любым из остальных способов (например, через неравенство  ).[7] Также для   существуют наглядные геометрические доказательства.[8][9]

ЛитератураПравить

ПримечанияПравить

  1. См. доказательство 11 в Wu, 2009
  2. Bounjakowsky W. «Mémoires de l’Académie des sciences de St-Pétersbourg. 7 série», 1859, t. 1, № 9.
  3. Wu, 2009.
  4. См. доказательства 2 (при  ), 5 в Wu, 2009 для первой суммы и доказательства 3, 4, 8 там же для второй.
  5. См. доказательство 7 в Wu, 2009.
  6. См. доказательства 1, 6 (для случая  ) и 12 (после раскрытия индукции, то есть суммирования различных  ) в Wu, 2009.
  7. См. доказательство 6 в Wu, 2009.
  8. Обзор доказательств неравенства Коши-Буняковского Архивная копия от 25 августа 2021 на Wayback Machine, (см. геометрические доказательства для   на с. 15-18)
  9. Интерактивная демонстрация геометрического доказательства. Дата обращения: 25 августа 2021. Архивировано 25 августа 2021 года.