Поверхность Гурвица

Поверхность Гурвица — компактная риманова поверхность, имеющая в точности

Любая поверхность Гурвица имеет триангуляцию как факторпространство треугольной мозаики порядка 7, причём автоморфизмы этой триангуляции совпадают с римановыми и алгебраическими автоморфизмами поверхности.

84(g − 1)

автоморфизмов, где g — род поверхности. Их также называют кривыми Гурвица, понимая их при этом как комплексные алгебраические кривые (комплексная размерность 1 соответствует вещественной размерности 2).

Названа в честь немецкого математика Адольфа Гурвица.

Свойства

• Это число, 84(g − 1), в силу теоремы Гурвица об автоморфизмах , является максимальным.

• Фуксова группа поверхности Гурвица является нормальной подгруппой конечного индекса в (обычной) треугольной группе (2,3,7), а также не имеет кручения. Конечная факторгруппа является в точности группой автоморфизмов.

• Автоморфизмы комплексной алгебраической кривой являются сохраняющими ориентацию автоморфизмами подлежащей вещественной поверхности. Если рассматривать также обращающие ориентацию изометрии, то получится вдвое большая группа, имеющая порядок 168(g − 1), которая иногда представляет интерес.

Замечания

• Здесь под «треугольной группой (2,3,7)» чаще всего понимается не полная треугольная группа Δ(2,3,7) (группа Коксетера с треугольником Шварца (2,3,7), или реализованная как гиперболическая группа отражений), а скорее обычная треугольная группа (группа фон Дика) D(2,3,7) сохраняющих ориентацию отображений, имеющая индекс 2. Группа комплексных автоморфизмов является факторгруппой обычной треугольной группы, в то время как группа изометрий (с возможным изменением ориентации) является факторгруппой полной треугольной группы.

Примеры

Поверхность Гурвица минимального рода — это квартика Клейна рода 3, с группой автоморфизмов PSL(2,7) (проективная специальная линейная группа), имеющая порядок 84(3−1) = 168 = 2²•3•7 и являющаяся простой группой. Следующий допустимый род равен семи и его имеет поверхность Макбита с группой автоморфизмов PSL(2,8), которая является простой группой порядка 84(7−1) = 504 = 2²•3²•7. Если рассматривать также меняюющие ориентацию изометрии, порядок группы будет равен 1008.

Интересный феномен наблюдается на следующем возможном значении рода, а именно на 14. Здесь есть тройка различных римановых поверхностей с идентичными группами автоморфизмов (порядка 84(14−1) = 1092 = 2²•3•7•13). Объяснение этого феномена арифметическое. А именно, в кольце целых подходящего числового поля рациональное простое 13 разлагается на произведение трёх различных простых идеалов. Главные конгруэнц-группы, определённые тройкой простых идеалов, дают фуксовы группы, соответствующие первой тройке Гурвица.

См. также

• Порядок кватернионов Гурвица

Литература

• N. Elkies . Shimura curve computations. Algorithmic number theory. — Berlin: Springer, 1998. — Т. 1423. — (Lecture Notes in Computer Science).

• A. Hurwitz. Über algebraische Gebilde mit Eindeutigen Transformationen in sich // Mathematische Annalen. — 1893. — Т. 41, вып. 3. — doi:10.1007/BF01443420.

• M. Katz, M. Schaps, U. Vishne. Logarithmic growth of systole of arithmetic Riemann surfaces along congruence subgroups // J. Differential Geom. — 2007. — Т. 76, вып. 3. — С. 399-422.

• David Singerman, Robert I. Syddall. The Riemann Surface of a Uniform Dessin // Beiträge zur Algebra und Geometrie (Contributions to Algebra and Geometry). — 2003. — Т. 44, вып. 2. — С. 413–430.