PSL(2,7)

В математике проективная специальная линейная группа PSL(2, 7) (изоморфная GL(3, 2)) — это конечная простая группа, имеющая важные приложения в алгебре, геометрии и теории чисел. Она является группой автоморфизмов квартики Клейна, а также группой симметрии плоскости Фано. Имея 168 элементов, PSL(2, 7) является второй по величине из самых маленьких неабелевых простых групп (первой является знакопеременная группа A₅ на пяти буквах и имеющая 60 элементов — группа вращений икосаэдральной симметрии) .

Определение

Полная линейная группа GL(2, 7) состоит из всех обратимых 2×2 матриц над F₇, конечным полем из семи элементов, то есть имеющих ненулевые определители. Подгруппа SL(2, 7) состоит из всех матриц с единичным определителем. Таким образом, PSL(2, 7) является факторгруппой

SL(2, 7)/{I, −I},

полученной отождествлением I и −I, где I — единичная матрица. В данной статье мы подразумеваем под G любую группу, изоморфную PSL(2, 7).

Свойства

G = PSL(2, 7) имеет 168 элементов. Это можно видеть, посчитать возможные столбцы. Имеется 7²−1 = 48 возможностей для первого столбца, 7²−7 = 42 возможностей для второго столбца. Мы должны разделить на 7−1 = 6, чтобы добиться равенства определителя единице, а затем мы должны разделить на 2, когда мы отождествляем I и −I. Результат равен (48×42)/(6×2) = 168.

Общеизвестно, что PSL(n, q) является простой для n, q ≥ 2 (где q — некоторая степень простого числа), если не (n, q) = (2, 2) или (2, 3). PSL(2, 2) изоморфна симметрической группе S₃, и PSL(2, 3) изоморфна знакопеременной группе A₄. Фактически, PSL(2, 7) является второй по величине из неабелевых простых групп после знакопеременной группы A₅ = PSL(2, 5) = PSL(2, 4).

Число классов сопряжённости и число неприводимых представлений равно 6. Число классов равно 1, 21, 42, 56, 24, 24. Размерности неприводимых представлений равны 1, 3, 3, 6, 7, 8.

Таблица характеров

${\begin{array}{r|cccccc}&1A_{1}&2A_{21}&4A_{42}&3A_{56}&7A_{24}&7B_{24}\\\hline \chi _{1}&1&1&1&1&1&1\\\chi _{2}&3&-1&1&0&\sigma &{\bar {\sigma }}\\\chi _{3}&3&-1&1&0&{\bar {\sigma }}&\sigma \\\chi _{4}&6&2&0&0&-1&-1\\\chi _{5}&7&-1&-1&1&0&0\\\chi _{6}&8&0&0&-1&1&1\\\end{array}},$

где:

$\sigma ={\frac {-1+i{\sqrt {7}}}{2}}.$

Следующая таблица описывает классы сопряжённости в терминах порядка элементов в классах, числа классов, минимальный многочлен всех представлений в GL(3, 2) и запись функции для представления в PSL(2, 7).

Порядок	Размер	Мин. Полином	Функция
1	1	x+1	x
2	21	x2+1	−1/x
3	56	x3+1	2x
4	42	x3+x2+x+1	1/(3−x)
7	24	x3+x+1	x + 1
7	24	x3+x2+1	x + 3

Порядок группы равен 168=3*7*8, откуда следует существование подгрупп Силова порядков 3, 7 и 8. Легко описать первые две — они циклические, поскольку любая группа с простым порядком циклическая. Любой элемент класса сопряжённости 3A₅₆ образует силовскую 3-подгруппу. Любой элемент классов сопряжённости 7A₂₄, 7B₂₄ образует силовскую 7-подгруппу. Силовская 2-подгруппа является диэдральной группой порядка 8. Её можно описать как централизатор любого элемента из класса сопряжённости 2A₂₁. В представлении GL(3, 2) силовская 2-подгруппа состоит из верхних треугольных матриц.

Эта группа и её силовская 2-подгруппа дают контрпример для различных теорем о нормальном p-дополнении для p = 2.

Действия на проективные пространства

G = PSL(2, 7) действует посредством дробно-линейного преобразования на проективную прямую P¹(7) над полем из 7 элементов:

Для $\gamma ={\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}\in {\mbox{PSL(2, 7)}}$ и $x\in \mathbf {P} ^{1}(7),\ \gamma \cdot x={\frac {ax+b}{cx+d}}$

Каждый сохраняющий ориентацию автоморфизм прямой P¹(7) получается таким способом, а тогда, G = PSL(2, 7) можно понимать геометрически как группу симметрий проективной прямой P¹(7). Полная группа возможных автоморфизмов, сохраняющих ориентацию, является расширением порядка 2 группы PGL(2, 7) и группа колинеаций проективной прямой является полной симметрической группы точек.

Однако PSL(2, 7) также изоморфна группе PSL(3, 2) (= SL(3, 2) = GL(3, 2)), специальной (общей) линейной группе 3×3 матриц над полем с 2 элементами. Подобным же образом G = PSL(3, 2) действует на проективную плоскость P²(2) над полем с 2 элементами, известную также как плоскость Фано:

Для $\gamma ={\begin{pmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{pmatrix}}\in {\mbox{PSL}}(3,2)$ и $\mathbf {x} ={\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}\in \mathbf {P} ^{2}(2),\ \gamma \ \cdot \ \mathbf {x} ={\begin{pmatrix}ax+by+cz\\dx+ey+fz\\gx+hy+iz\end{pmatrix}}$

Снова любой автоморфизм P²(2) получается таким образом, а тогда G = PSL(3, 2) можно геометрически понимать как группу симметрии этой проективной плоскости. Плоскость Фано можно описать как произведение октонионов.

Симметрии квартики Клейна

Подробное рассмотрение темы: Квартика Клейна

Квартика Клейна может быть реализована как факторпространство семиугольной мозаики порядка 3

Квартика Клейна может быть реализована также как факторпространство семиугольной мозаики порядка 3

Квартика Клейна является проективным многообразием над комплексными числами C, определённое многочленом четвёртой степени

x³y + y³z + z³x = 0.

Оно является компактной римановой поверхностью рода g = 3 и является единственной такой поверхностью, для которой размер конформной группы автоморфизмов достигает максимума 84(g−1). Эта граница возникает вследствие теоремы Гурвица об автоморфизмах, которая выполняется для всех g>1. Такие "поверхности Гурвица" редки. Следующий род, для которого такая поверхность существует, это g = 7, а следующий за ним — g = 14.

Как и для всех поверхностей Гурвица, квартикам Клейна можно задать метрику постоянной отрицательной кривизны и затем замостить правильными (гиперболическими) семиугольниками, как факторпространство семиугольной мозаики порядка 3. Для квартики Клейна это даёт мозаику из 24 семиугольников. Двойственно, она может быть замощена 56 равносторонними треугольниками с 24 вершинами, каждая 7-го порядка, как факторпространство треугольной мозаики порядка 7.

Квартика Клейна возникает во многих областях математики, включая теорию представлений, теории гомологий, умножении октонионов, великую теорему Ферма.

Группа Матьё

PSL(2, 7) является максимальной подгруппой группы Матьё M₂₁. Группы Матьё M₂₁ и M₂₄ могут быть построены как расширения PSL(2, 7). Эти расширения можно интерпретировать в терминах мозаик квартики Клейна, но нельзя реализовать геометрическими симметриями мозаик .

Действия группы

PSL(2, 7) действует на различные множества:

• Если интерпретировать её как линейные автоморфизмы проективной прямой над F₇, она действует 2-транзитивно на множество из 8 точек со стабилизатором порядка 3. (PGL(2, 7) действует строго 3-транзитивно с тривиальным стабилизатором.)
• Если интерпретировать её как автоморфизмы мозаики квартики Клейна, она действует транзитивно на 24 вершины (или, двойственно, на 24 семиугольника) со стабилизатором порядка 7 (соответствующего вращению вокруг вершины/семиугольника).
• Если интерпретировать её как подгруппу группы Матьё M₂₁, действующей на 21 точку, она не действует транзитивно на 21 точку.

Для дальнейшего чтения

• Ezra Brown, Nicholas Loehr. Why is PSL (2,7)≅ GL (3,2)? // Am. Math. Mon.. — 2009. — Т. 116, вып. 8. — С. 727–732. — doi:10.4169/193009709X460859.

Ссылки

• The Eightfold Way: the Beauty of Klein's Quartic Curve (Silvio Levy, ed.)
• This Week's Finds in Mathematical Physics - Week 214 (John Baez)
• The Klein Quartic in Number Theory (Noam Elkies)
• Projective special linear group:PSL(3,2)