Сферический цилиндр

Сферический цилиндр (сферическая призма, англ. spherinder) — объект занимательной математики в четырёхмерном евклидовом пространстве, определяемый как прямое произведение трёхмерного шара радиуса $r_{1}$ и отрезка линии длиной $2r_{2}$:

Сферический цилиндр можно рассматривать как гиперобъём между двумя параллельными и равными 2-сферами (3-шарами) в 4-мерном пространстве, на данном рисунке стереографически спроецированным в трёхмерное пространство.

$D=\{(x,y,z,w)\mid x^{2}+y^{2}+z^{2}\leqslant r_{1}^{2},\ w^{2}\leqslant r_{2}^{2}\}$.

В трёхмерном пространстве при стереографической проекции отражается как две концентрические сферы, подобно тому, как тессеракт (кубическая призма) может быть спроецирован как два концентрических куба, и как цилиндр может быть спроецирован в двухмерное пространство как две концентрические окружности.

Как и дуоцилиндр, является четырёхмерным аналогом трёхмерного цилиндра (который является декартовым произведением круга на отрезок прямой). Если в трёхмерном пространстве цилиндр можно считать промежуточным звеном между кубом и сферой, то четырёхмерном пространстве есть три промежуточные формы между тессерактом и гиперсферой:

• тессеракт (отрезок × отрезок × отрезок × отрезок), гиперповерхность которого представляет собой восемь кубов, соединённых в 24 квадратах;
• кубический цилиндр (круг × отрезок × отрезок);
• сферический цилиндр (шар × отрезок);
• дуоцилиндр (круг × круг);
• гиперсфера (четырехмерный шар),

эти построения соответствуют пяти разбиениям числа 4.

Вращение сферического цилиндра в четырёхмерном пространстве

Можно определить «цилиндро-сферическую» систему координат $(r,\vartheta ,\varphi ,w)$, состоящую из сферических координат с дополнительной координатой $w$ аналогично тому, как определяются цилиндрические координаты (полярные координаты $r$ и $\varphi$ с координатой высоты $z$). Такие координаты можно преобразовать в декартовы координаты по формулам:

${\begin{aligned}x&=r\cos \varphi \sin \theta \\y&=r\sin \varphi \sin \theta \\z&=r\cos \theta \\w&=w\end{aligned}}$

где $r$ — радиус, $\theta$ — зенитный угол, $\varphi$ — азимутальный угол, а $w$ — высота. Декартовы координаты можно преобразовать в «цилиндро-сферические» преобразуются по формулам:

${\begin{aligned}r&={\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}\\\varphi &=\operatorname {arctg} {\frac {y}{x}}\\\theta &=\operatorname {arcctg} {\frac {z}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}\\w&=w\end{aligned}}$

Элемент гиперобъёма для сферических координат равен $\mathrm {d} H=r^{2}\sin {\theta }\,\mathrm {d} r\,\mathrm {d} \theta \,\mathrm {d} \varphi \,\mathrm {d} w$, который может быть получен путём вычисления якобиана.

Гиперобъём сферического цилиндра с основанием радиуса $r$ и высотой $h$ равен:

$H={\frac {4}{3}}\pi r^{3}h$.

Объём поверхности сферического цилиндра складывается из трёх частей: объёмов верхнего и нижнего основания (${\tfrac {4}{3}}\pi r^{3}$ каждый) и объёма боковой поверхности ($4\pi r^{2}h$), то есть:

$SV={\frac {8}{3}}\pi r^{3}+4\pi r^{2}h$.

См. также

• Тор Клиффорда^{[уточнить]}

Литература

• Henry P. Manning. The Fourth Dimension Simply Explained // N. Y.: Munn & Company, 1910
• Chris McMullen. The Visual Guide To Extra Dimensions: Visualizing The Fourth Dimension, Higher-Dimensional Polytopes, And Curved Hypersurfaces. 2008, ISBN 978-1438298924