Теорема Ньютона — Лейбница

Формула Ньютона — Лейбница, или основная теорема анализа, даёт соотношение между двумя операциями: взятием интеграла Римана и вычислением первообразной.

Формула Ньютона-Лейбница (анимация)

ФормулировкаПравить

Классическая формулировка формулы Ньютона-Лейбница имеет следующий вид.

Если функция   непрерывна на отрезке   и   — любая её первообразная на этом отрезке, то имеет место равенство

 


Однако на самом деле требование непрерывности подынтегральной функции избыточно. Для выполнения этой формулы достаточно лишь существование левой и правой частей.

Если функция   интегрируема и имеет первообразную на отрезке  ,   — любая её первообразная на этом отрезке, то имеет место равенство

 

Непрерывность является удобным условием на практике, поскольку сразу же гарантирует и интегрируемость, и существование первообразной. В случае её отсутствия же для правильного применения требуется проверка обоих этих свойств, что иногда бывает сложным. Существуют интегрируемые функции, не имеющие первообразной (любая функция с конечным числом точек разрыва или функция Римана), и неинтегрируемые, имеющие первообразную (производная  , дополненная нулём в нуле, на любом отрезке, содержащем 0, или функция Вольтерры[en]).

Формула может быть обобщена для случая функций с конечным числом разрывов. Для этого нужно обобщить понятие первообразной. Пусть функция   определена на отрезке   за исключением, возможно, конечного числа точек. Функция   называется обобщённой первообразной  , если она:

  • Непрерывна на отрезке  
  • Во всех точках  , за исключением, возможно, конечного их числа, дифференцируема
  • Во всех точках, где она дифференцируема, за исключением, возможно, конечного их числа, её производная равна  .

Это определение не требует, чтобы производная   равнялась   во всех точках, где   дифференцируема. С этим понятием можно обобщить формулу Ньютона — Лейбница ещё сильнее.

Пусть   определена на   везде, за исключением, возможно, конечного числа точек. Если функция   интегрируема и имеет обобщённую первообразную на отрезке  ,   — любая её обобщённая первообразная на этом отрезке, то имеет место равенство

 

Замечание. Бездумное применение формулы к функциям, не являющимся непрерывными, может привести к ошибке. Пример неправильного вычисления:

  хотя интеграл от положительной функции не может быть отрицателен.

Причина ошибки: функции   не является первообразной (даже обобщённой) для функции   на отрезке   просто потому, что она не определена в нуле. Функция не имеет на этом отрезке первообразной вообще. Более того, эта функция ещё и не ограничена в окрестности нуля, и следовательно, не интегрируема по Риману.

ИсторияПравить

Ещё до появления математического анализа данная теорема (в геометрической или механической формулировке) была известна Грегори и Барроу. Например, Барроу описал этот факт в 1670 году как зависимость между задачами на квадратуры и на проведение касательных.

Ньютон сформулировал теорему словесно следующим образом: «Для получения должного значения площади, прилегающей к некоторой части абсциссы, эту площадь всегда следует брать равной разности значений z [первообразной], соответствующих частям абсцисс, ограниченным началом и концом площади».

У Лейбница запись данной формулы в современном виде также отсутствует, поскольку обозначение определённого интеграла появилось гораздо позже, у Фурье в начале XIX века.

Современную формулировку привёл Лакруа в начале XIX века.

ЗначениеПравить

Основная теорема анализа устанавливает связь между дифференциальным и интегральным исчислениями. Понятие первообразной (а значит, и понятие неопределённого интеграла) определяется через понятие производной и, таким образом, относится к дифференциальному исчислению. С другой стороны, понятие определённого интеграла Римана формализуется как предел, к которому сходится так называемая интегральная сумма. Оно независимо от понятия производной и относится к другой ветви анализа — интегральному исчислению. Формула Ньютона — Лейбница же позволяет выразить определённый интеграл через первообразную.

Интеграл ЛебегаПравить

Функция   представляет собой неопределённый интеграл суммируемой функции  . Функция   является абсолютно непрерывной.

Теорема (Лебега):   абсолютно непрерывна на отрезке   тогда и только тогда, когда существует суммируемая на   функция   такая, что   при любом значении x от a до b.

Из этой теоремы вытекает, что если функция   абсолютно непрерывна на  , то её производная существует почти всюду, суммируема и удовлетворяет равенству[1]:

 , где  .

Некоторые следствияПравить

В качестве следствий этой теоремы можно назвать формулу замены переменных, а также теорему о разложении монотонных функций по Лебегу[1].

Интегрирование по частямПравить

Пусть   и   — абсолютно непрерывные функции на отрезке  . Тогда:

 .

Формула следует немедленно из основной теоремы анализа и правила Лейбница[1].

Вариации и обобщенияПравить

См. такжеПравить

ПримечанияПравить

  1. 1 2 3 Богачёв В. И., Смолянов О. Г. Действительный и функциональный анализ: университетский курс. — М.-Ижевск: НИЦ "Регулярная и хаотическая динамика", Институт компьютерных исследований, 2009. — С. 188-197. — 724 с. — ISBN 978-5-93972-742-6.

ЛитератураПравить

  • Демидович Б. П. Отдел 3. Формула Ньютона — Лейбница // Сборник задач и упражнений по математическому анализу. — 1990. — (Курс высшей математики и математической физики).
  • Камынин Л. И. Математический анализ. Т. 1, 2. — 2001.
  • Никифоровский В. А. Путь к интегралу. — М.: Наука, 1985.