Функциональный ряд — ряд , каждым членом которого, в отличие от числового ряда , является не число , а функция
u
k
(
x
)
{\displaystyle \ {u_{k}}(x)}
Последовательность функций, которые в незаштрихованной области сходятся к натуральному логарифму (красный). В данном случае - это N-я частичная сумма степенного ряда, где N указывает на число слагаемых.
править
∑
k
=
1
∞
u
k
(
x
)
{\displaystyle \ \sum _{k=1}^{\infty }{u_{k}}(x)}
S
n
(
x
)
=
∑
k
=
1
n
u
k
(
x
)
{\displaystyle \ {S_{n}}(x)=\sum _{k=1}^{n}{u_{k}}(x)}
частичная сумма .
В математике сходимость означает существование конечного предела у числовой последовательности , суммы бесконечного ряда , значения у несобственного интеграла , значения у бесконечного произведения .
Ряд называется сходящимся поточечно, если последовательность
S
n
(
x
)
{\displaystyle \ {S_{n}}(x)}
Ряд называется сходящимся равномерно, если последовательность
S
n
(
x
)
{\displaystyle \ {S_{n}}(x)}
править
u
k
(
x
)
⇉
0
{\displaystyle \ {u_{k}}(x)\rightrightarrows 0}
k
→
∞
{\displaystyle \ k\rightarrow \infty }
Или, что эквивалентно
∀
ε
>
0
∃
n
0
(
ε
)
∈
N
:
∀
x
∈
X
,
∀
n
>
n
0
|
u
n
(
x
)
|
<
ε
{\displaystyle \forall \varepsilon >0\,\,\exists n_{0}(\varepsilon )\in \mathbb {N} :\forall x\in X,\forall n>n_{0}\,\,\,|{u_{n}}(x)|<\varepsilon }
править
Критерий Коши для функциональной последовательности. Чтобы последовательность функций
{
f
n
}
n
=
1
∞
{\displaystyle \left\{f_{n}\right\}_{n=1}^{\infty }}
V
{\displaystyle V}
ε
>
0
{\displaystyle \varepsilon >0}
N
=
N
(
ε
)
{\displaystyle N=N(\varepsilon )}
n
,
m
{\displaystyle n,m}
N
{\displaystyle N}
x
∈
V
{\displaystyle x\in V}
f
n
(
x
)
{\displaystyle f_{n}(x)}
f
m
(
x
)
{\displaystyle f_{m}(x)}
ε
{\displaystyle \varepsilon }
∀
ε
>
0
∃
N
=
N
(
ε
)
∀
n
,
m
≥
N
∀
x
∈
V
|
f
n
(
x
)
−
f
m
(
x
)
|
<
ε
{\displaystyle \forall \varepsilon >0\;\exists N=N(\varepsilon )\;\forall n,m\geq N\;\forall x\in V\;\left|{f_{n}}(x)-\ {f_{m}}(x)\right|<\varepsilon }
Ряд
∑
k
=
1
∞
u
k
(
x
)
{\displaystyle \ \sum _{k=1}^{\infty }{u_{k}}(x)}
∑
k
=
1
∞
∣
u
k
(
x
)
∣
{\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }\mid {u_{k}}(x)\mid }
Если ряд
∑
k
=
1
∞
u
k
(
x
)
{\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }{u_{k}}(x)}
∑
k
=
1
∞
∣
u
k
(
x
)
∣
{\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }\mid {u_{k}}(x)\mid }
∑
k
=
1
∞
u
k
(
x
)
{\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }{u_{k}}(x)}
теорема Римана о перестановке членов условно сходящегося ряда .
править
Ряд
∑
k
=
1
∞
u
k
(
x
)
{\displaystyle \ \sum _{k=1}^{\infty }{u_{k}}(x)}
Ряд
∑
k
=
1
∞
v
k
(
x
)
{\displaystyle \ \sum _{k=1}^{\infty }{v_{k}}(x)}
∣
u
k
(
x
)
∣<
v
k
(
x
)
,
∀
x
∈
E
,
∀
k
∈
N
{\displaystyle \ \mid {u_{k}}(x)\mid <{v_{k}}(x),~\forall x\in E,~\forall k\in \mathbb {N} }
Частным случаем является признак Вейерштрасса , когда
v
k
(
x
)
=
a
k
{\displaystyle \ {v_{k}}(x)=a_{k}}
Ряд
∑
k
=
1
∞
a
k
(
x
)
u
k
(
x
)
{\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }{{a_{k}}(x)}{{u_{k}}(x)}}
Последовательность действительнозначных функций
a
k
(
x
)
{\displaystyle \ {a_{k}}(x)}
∀
x
∈
E
{\displaystyle \ \forall x\in E}
a
k
(
x
)
⇉
0
{\displaystyle \ {a_{k}}(x)\rightrightarrows 0}
Частичные суммы
S
n
(
x
)
=
∑
k
=
1
n
u
k
(
x
)
{\displaystyle \ {S_{n}}(x)=\sum _{k=1}^{n}{u_{k}}(x)}
равномерно ограничены . Ряд
∑
k
=
1
∞
a
k
(
x
)
u
k
(
x
)
{\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }{{a_{k}}(x)}{{u_{k}}(x)}}
Последовательность действительнозначных функций
a
k
(
x
)
{\displaystyle \ {a_{k}}(x)}
равномерно ограничена и монотонна
∀
x
∈
E
{\displaystyle \ \forall x\in E}
Ряд
∑
k
=
1
∞
u
k
(
x
)
{\displaystyle \ \sum _{k=1}^{\infty }{u_{k}}(x)}
править
Рассматриваются комплекснозначные функции на множестве
E
{\displaystyle \ E}
Последовательность непрерывных в точке функций сходится к функции, непрерывной в этой точке.
Последовательность
u
k
(
x
)
⇉
u
(
x
)
{\displaystyle \ {u_{k}}(x)\rightrightarrows u(x)}
∀
k
:
{\displaystyle \ \forall k:}
u
k
(
x
)
{\displaystyle \ {u_{k}}(x)}
x
0
{\displaystyle \ x_{0}}
Тогда
u
(
x
)
{\displaystyle \ u(x)}
x
0
{\displaystyle \ x_{0}}
Ряд непрерывных в точке функций сходится к функции, непрерывной в этой точке.
Ряд
∑
k
=
0
∞
u
k
(
x
)
⇉
S
(
x
)
{\displaystyle \ \sum _{k=0}^{\infty }{u_{k}}(x)\rightrightarrows S(x)}
∀
k
:
{\displaystyle \ \forall k:}
u
k
(
x
)
{\displaystyle \ {u_{k}}(x)}
x
0
{\displaystyle \ x_{0}}
Тогда
S
(
x
)
{\displaystyle \ S(x)}
x
0
{\displaystyle \ x_{0}}
Рассматриваются действительнозначные функции на отрезке действительной оси.
Теорема о переходе к пределу под знаком интеграла.
∀
k
:
{\displaystyle \ \forall k:}
u
k
(
x
)
{\displaystyle \ {u_{k}}(x)}
[
a
,
b
]
{\displaystyle \ [a,b]}
u
k
(
x
)
⇉
u
(
x
)
{\displaystyle \ {u_{k}}(x)\rightrightarrows u(x)}
[
a
,
b
]
{\displaystyle \ [a,b]}
Тогда числовая последовательность
{
∫
a
b
u
k
(
x
)
d
x
}
{\displaystyle \left\{{\int \limits _{a}^{b}{{u_{k}}(x)dx}}\right\}}
∫
a
b
u
(
x
)
d
x
{\displaystyle \int \limits _{a}^{b}{u(x)dx}}
Теорема о почленном интегрировании.
∀
k
:
{\displaystyle \ \forall k:}
u
k
(
x
)
{\displaystyle \ {u_{k}}(x)}
[
a
,
b
]
{\displaystyle \ [a,b]}
∑
k
=
1
∞
u
k
(
x
)
⇉
S
(
x
)
{\displaystyle \ \sum _{k=1}^{\infty }{u_{k}}(x)\rightrightarrows S(x)}
[
a
,
b
]
{\displaystyle \ [a,b]}
Тогда числовой ряд
∑
k
=
1
∞
∫
a
b
u
k
(
x
)
d
x
{\displaystyle \ \sum _{k=1}^{\infty }\int \limits _{a}^{b}{u_{k}}(x)dx}
∫
a
b
S
(
x
)
d
x
{\displaystyle \int \limits _{a}^{b}S(x)dx}
править
Рассматриваются действительнозначные функции на отрезке действительной оси.
Теорема о дифференцировании под пределом.
∀
k
:
{\displaystyle \ \forall k:}
u
k
(
x
)
{\displaystyle \ {u_{k}}(x)}
[
a
,
b
]
{\displaystyle \ [a,b]}
∃
c
∈
[
a
,
b
]
:
u
k
(
c
)
{\displaystyle \ \exists c\in [a,b]:~u_{k}(c)}
u
k
′
(
x
)
⇉
ω
(
x
)
{\displaystyle \ {u'_{k}}(x)\rightrightarrows \omega (x)}
[
a
,
b
]
{\displaystyle \ [a,b]}
Тогда
∃
u
(
x
)
:
u
k
(
x
)
⇉
u
(
x
)
,
u
(
x
)
{\displaystyle \ \exists u(x):~{u_{k}}(x)\rightrightarrows u(x),~u(x)}
[
a
,
b
]
{\displaystyle \ [a,b]}
u
′
(
x
)
=
ω
(
x
)
{\displaystyle \ u'(x)=\omega (x)}
[
a
,
b
]
{\displaystyle \ [a,b]}
Теорема о почленном дифференцировании.
∀
k
:
{\displaystyle \ \forall k:}
u
k
(
x
)
{\displaystyle \ {u_{k}}(x)}
[
a
,
b
]
{\displaystyle \ [a,b]}
∃
c
∈
[
a
,
b
]
:
∑
k
=
1
∞
u
k
(
c
)
{\displaystyle \ \exists c\in [a,b]:~\sum _{k=1}^{\infty }u_{k}(c)}
∑
k
=
1
∞
u
k
′
(
x
)
{\displaystyle \ \sum _{k=1}^{\infty }{u'_{k}}(x)}
[
a
,
b
]
{\displaystyle \ [a,b]}
Тогда
∃
S
(
x
)
:
∑
k
=
1
∞
u
k
(
x
)
⇉
S
(
x
)
,
S
(
x
)
{\displaystyle \ \exists S(x):~\sum _{k=1}^{\infty }{u_{k}}(x)\rightrightarrows S(x),~S(x)}
[
a
,
b
]
{\displaystyle \ [a,b]}
S
′
(
x
)
=
∑
k
=
1
∞
u
k
′
(
x
)
{\displaystyle \ S'(x)=\sum _{k=1}^{\infty }{u'_{k}}(x)}
[
a
,
b
]
{\displaystyle \ [a,b]}
![{\displaystyle \ [a,b]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2f4c40bbeaa2f59e60b6259cebe2479bc24396f0)
![{\displaystyle \ \exists c\in [a,b]:~u_{k}(c)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2ee74b0d1ab216e623fe793ecc6b534600cd2b37)
![{\displaystyle \ \exists c\in [a,b]:~\sum _{k=1}^{\infty }u_{k}(c)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5f37d85b3beeaf4178f72488cd834cf44505cdcb)
