Открыть главное меню

Расширенная числовая прямая

Расширенная числовая прямая — множество вещественных чисел , дополненное двумя бесконечно удалёнными точками: (положительная бесконечность) и (отрицательная бесконечность), то есть .

При этом для любого вещественного числа по определению полагают выполненными неравенства . В некоторых дидактических материалах используется одна бесконечно удалённая точка , не связанная соотношением порядка с действительными числами[1] (подобно одной бесконечно удалённой точке проективной прямой в проективной геометрии и бесконечно удалённой точке в комплексном анализе).

УпорядоченностьПравить

Множество вещественных чисел   линейно упорядоченно по отношению  . Однако в   нет максимального и минимального элементов. Если рассматривать систему вещественных чисел как линейно упорядоченное множество, то её расширение до системы   как раз состоит в добавлении максимального ( ) и минимального ( ) элементов.

Благодаря этому, в системе   всякое непустое множество имеет точную верхную грань (конечную, если множество ограничено сверху, и  , если не ограничено сверху). Аналогичное утверждение справедливо и для точной нижней грани. Этим объясняется удобство введения элементов   и  .

Топология расширенной числовой прямойПравить

Открытые множества и окрестностиПравить

Отношение порядка   порождает топологию   на  . В топологии   открытыми множествами являются всевозможные объединения интервалов:

 ,

где  .

Окрестностью   точки   называется всякое открытое множество, содержащее эту точку. И, как следует из определения открытых множеств топологии  , всякая окрестность точки   включает один из интервалов указанного вида, содержащий  .

В курсах математического анализа обычно вводят более частное понятие  -окрестности   точки расширенной числовой прямой ( ).

В случае  , то есть когда   является числом,  -окрестностью   называется множество:

 .

Если же  , то:

 ,

а если  , то:

 .

Понятие  -окрестностей для бесконечных чисел определено таким образом, что во всех случаях — когда   является вещественным числом, или одной из бесконечностей — при уменьшении числа   соответствующие окрестности уменьшаются:  .

ПределыПравить

В   все специальные разновидности пределов укладываются в единое определение предела (которое соответствует общетопологическому определению предела).

Пусть  , где  . В частности   может быть вещественной функцией вещественного переменного. Пусть  . Тогда:

 

КомпактностьПравить

  — компактное хаусдорфово пространство. Пространство вещественных чисел   является полным, но не является компактным. Таким образом, расширенная система вещественных чисел   может рассматриваться как двухточечная компактификация  . При этом   оказывается гомеоформным отрезку  . Этот факт имеет наглядную геометрическую иллюстрацию. Аналитически гомеоформизм   задаётся формулой:

 .

ПримечанияПравить

  1. Кудрявцев Л. Д. Краткий курс математического анализа. — 3-е изд. перераб.. — М.: Физматлит, 2005. — Т. 1. — С. 19. — 400 с. — ISBN 5-9221-0184-6.

ЛитератураПравить

  • Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. — 7-е изд. — М.: Физматлит, 2004. — 572 с. — ISBN 5-9221-0266-4.
  • Кудрявцев, Л. Д. Курс математического анализа. — 5-е изд. — М.: «Дрофа», 2003. — Т. 1. — 704 с. — ISBN 5-7107-4119-1.
  • Рудин У. Основы математического анализа = Principles of Mathematical Analysis. — 3-е изд. — М.: Лань, 2004. — 320 с. — ISBN 5-8114-0443-3.