bra ket
бра кет
ско бка

Бра и кет (англ. bra-ket < bracket скобка) — алгебраический формализм (система обозначений), предназначенный для описания квантовых состояний. Называется также обозначениями Дирака. В матричной механике данная система обозначений является общепринятой. Данная система обозначений представляет собой не более чем иные текстуальные обозначения для векторов, ковекторов, билинейных форм и скалярных произведений, и потому применима (хотя и не так часто используется) в линейной алгебре вообще. В тех случаях, когда данная система обозначений используется в линейной алгебре, обычно речь идет о бесконечно-мерных пространствах и/или о линейной алгебре над комплексными числами.

Определение и использование

править

В квантовой механике состояние системы описывается лучом в сепарабельном гильбертовом пространстве, или, что эквивалентно, элементом проективного гильбертового пространства   элементы которого называются «векторы состояния» («кет-векторы») и обозначаются символом  .

Каждому кет-вектору   ставится в соответствие бра-вектор из пространства, сопряжённого к   то есть из  

Бра-вектор   из пространства   определяется соотношением:

 , для любого кет-вектора  

Допуская некоторую вольность речи, иногда говорят, что бра-векторы «совпадают» с соответствующими им комплексно-сопряжёнными кет-векторами. При этом обычно происходит отождествление векторов и функционалов над векторами со столбцами или строками координат разложения их по соответствующему базису   или  

Скалярное произведение бра-вектора с кет-вектором (а точнее, действие бра-вектора на кет-вектор) записывается в виде   две вертикальные черты «сливаются», а скобки опускаются. Квадрат вектора, по определению гильбертова пространства, неотрицателен:   На векторы, описывающие состояния системы, когда это возможно, накладывается условие нормировки  

Линейные операторы

править

Если   — линейный оператор из   в  , то действие оператора   на кет-вектор   записывается как  

Для каждого оператора   и бра-вектора   вводится функционал   из пространства   то есть бра-вектор, умноженный на оператор  , который определяется равенством:

  для любого вектора  

Так как положение скобок не имеет значения, их обычно опускают и пишут просто  

Это выражение называется свёрткой оператора   с бра-вектором   и кет-вектором   Значение этого выражения есть скаляр (комплексное число).

В частности, матричный элемент оператора   в определённом базисе (в тензорных обозначениях —  ) записывается в обозначениях Дирака как   а среднее значение наблюдаемой (билинейная форма) на состоянии   — как  

Умножение векторов на оператор (кет-вектора — слева, бра-вектора — справа) даёт векторы того же типа и записывается тем же способом, что принят в линейной алгебре (то есть в том случае, если бра- и кет-векторы отождествляются с векторами-строками и столбцами, а операторы — с квадратными матрицами):

 
 

Уравнение Шрёдингера (для стационарного состояния) будет иметь вид:

  где   — гамильтониан, а   — скаляр (уровень энергии).

Отличия бра-кет-обозначений от традиционных

править

В математике употребляется обозначение «эрмитового» скалярного произведения   в гильбертовом пространстве, имеющее тот же смысл, что и перемножение бра на кет. Однако математики обычно рассматривают угловые скобки как знак операции, а не части обозначения вектора. Традиционное математическое обозначение, в отличие от дираковского, несимметрично — оба вектора предполагаются величинами одного типа, и по первому аргументу из двух операция является антилинейной.

С другой стороны, произведение бра и кет является билинейным, но от двух аргументов разного типа. Сопряжённым к кет-вектору   будет являться бра-вектор   (где   — мнимая единица). Однако, в квантовой механике эту странность обозначений позволено игнорировать, поскольку квантовое состояние, представляемое вектором, не зависит от его умножения на любые комплексные числа, по модулю равные единице.

Кроме того, использование бра и кет позволяет подчеркнуть отличие состояния   (записывается без скобок и палок) от конкретных векторов, его представляющих.

В отличие от алгебраических обозначений, где элементы базиса обозначаются как   в бра-кет-обозначениях может указываться только индекс базисного элемента:   Этим они похожи на тензорные обозначения, но, в отличие от последних, позволяют записывать произведения операторов с векторами без использования дополнительных (подстрочных или надстрочных) букв.

Математические свойства

править

Бра и кет можно использовать и в чистой математике для обозначения элементов сопряжённых друг другу линейных пространств. Если, например,   то кет-векторы считаются при этом «векторами-столбцами», а бра-векторы — «векторами-строками».

Перемножение бра- и кет-векторов друг на друга и на операторы можно рассматривать как частный случай матричного формализма «строка на столбец». А именно, надо положить кет-векторы матрицами размера  , бра-векторы — размера  , операторы — размера  , где   — количество состояний квантовой системы (размерность пространства  ). Матрицы размера 1 × 1 имеют единственный элемент и отождествляются со скалярами. В случае бесконечномерного пространства состояний на «матрицы» (фактически ряды) приходится накладывать дополнительные условия сходимости.

Формула для сопряжённого вектора выглядит следующим образом:

  где  

Запись типа   всегда означает скаляр. Бра-вектор всегда имеет скобку слева   кет-вектор — скобку справа   Вводится также произведение в «неестественном» порядке —   (аналогичное матричному умножению вектора-столбца на вектор-строку), которое даёт так называемый кет-бра-оператор. Оператор   имеет ранг 1 и является тензорным произведением   и   Такие операторы часто рассматриваются в теории операторов и квантовых вычислениях. В частности, оператор   (при нормировке  ) является проектором на состояние  , точнее, на соответственное одномерное линейное подпространство в  

Имеет место ассоциативность:

 
 

и т. д.

Литература

править
  • Белоусов Ю. М. Курс квантовой механики. Нерелятивистская теория. — М.: МФТИ, 2006. — 408 с.
  • Давыдов А. С. Квантовая механика. — М.: Наука, 1973. — 704 с.
  • Дирак П. А. М. Принципы квантовой механики. — М.: Наука, 1979. — 440 с.
  • Мессиа А. Квантовая механика. — М.: Наука, 1978. — Т. 1. — 478 с.
  • Шпольский Э. В. Атомная физика. — М.: Наука, 1974. — Т. 2. — 448 с.
  • Ярив А. Введение в теорию и приложения квантовой механики. — М.: Мир, 1984. — 360 с.