Открыть главное меню

Основная теорема теории Галуа

Основная теорема теории Галуа — теорема о расширениях полей определённого вида, ключевой результат теории Галуа.

Формулировка: для конечного расширения Галуа существует взаимно-однозначное соответствие между множеством промежуточных полей вида и множеством подгрупп группы Галуа данного расширения (более того, теорема явным образом задаёт это соответствие).

Описание соответствияПравить

Для данного конечного расширения   соответствие устроено следующим образом:

  • Для любой подгруппы   группы Галуа соответствующее ей промежуточное поле, обычно обозначаемое  , — это множество тех элементов поля  , которые являются неподвижными точками каждого автоморфизма из  , с индуцированными из   операциями.
  • Для любого промежуточного поля соответствующая ему подгруппа состоит из тех автоморфизмов, которые действуют тождественно на этом промежуточном поле.

Например, поле   соответствует тривиальной подгруппе, а   — всей группе (так как все автоморфизмы из группы Галуа сохраняют меньшее поле, а для любого другого элемента существует автоморфизм, действующий на нём нетривиально).

Свойства соответствияПравить

Данное соответствие обладает несколькими полезными свойствами. В частности, оно обращает порядок по включению: для подгрупп группы Галуа условие   равносильно  . Кроме того, поле   является нормальным расширением   (или, эквивалентно, расширением Галуа, так как каждое подрасширение сепарабельного расширения сепарабельно) тогда и только тогда, когда   — нормальная подгруппа группы Галуа. Факторгруппа по ней изоморфна группе Галуа расширения  .

ПримерПравить

 
Решётка подполей и соответствующая решётка подгрупп

Рассмотрим поле  . Каждый его элемент можно записать в виде

 

где  ,  ,  ,   — рациональные числа. Рассмотрим автоморфизмы расширения  . Поскольку это расширение порождается   и  , любой автоморфизм однозначно определяется их образами. Автоморфизмы любого расширения могут только переставлять местами корни многочлена над меньшим полем, следовательно, в данном случае все возможные нетривиальные автоморфизмы — это перестановка   и   (обозначим этот автоморфизм  ), перестановка   и   (автоморфизм  ) и их композиция  . Более точно, эти преобразования задаются следующим образом:

 
 

Очевидно, что эти отображения действуют биективно и переводят сумму в сумму, следовательно, для проверки равенства   достаточно проверить его на парах базисных элементов, что также тривиально. Таким образом, группа Галуа данного расширения — четверная группа Клейна:

 

Она имеет три нетривильные подгруппы:

  • автоморфизмы из подгруппы   сохраняют элементы промежуточного поля  ;
  • автоморфизмы из   сохраняют  ;
  • автоморфизмы из   сохраняют  .

ПриложенияПравить

Основная теорема сводит вопрос существования промежуточных полей к вопросу о существовании подгрупп некоторой конечной группы (так как порядок группы Галуа равен размерности расширения), многие задачи теории Галуа решаются простым применением основной теоремы.

Например, вопрос о разрешимости уравнения в радикалах обычно формулируют так: можно ли выразить корни данного многочлена через его коэффициенты, используя только арифметические операции и операцию взятия корня  -й степени. На языке теории полей этот вопрос можно сформулировать так: рассмотрим поле  , порождённое коэффициентами многочлена, и поле  , полученное присоединением его корней. Спрашивается, существует ли такая цепочка промежуточных полей

 

что  , где   — корень уравнения  , причём поле   содержит все корни уравнения  . В этом случае можно доказать, что соответствующий ряд подгрупп группы Галуа обладает тем свойством, что факторгруппа   существует и является циклической. Группы, для которых существует хотя бы один ряд с таким свойством, называются разрешимыми, таким образом, уравнение разрешимо в радикалах тогда и только тогда, когда его группа Галуа разрешима.

Такие теории, как теория Куммера и теория полей классов, основываются на основной теореме теории Галуа.

ЛитератураПравить

  • Бурбаки Н. Алгебра. Часть 2. Многочлены и поля. Упорядоченные группы — М.: Наука, 1965
  • P. Aluffi. Algebra: Chapter 0 (Graduate Studies in Mathematics) — American Mathematical Society, 2009 — ISBN 0-8218-4781-3.
  • Marcus, Daniel. Number Fields. — New York : Springer-Verlag, 1977. — ISBN 0-387-90279-1.