Основная теорема теории Галуа

Основная теорема теории Галуа — теорема о расширениях полей определённого вида, ключевой результат теории Галуа.

Формулировка: для конечного расширения Галуа $E\supset F$ существует взаимно-однозначное соответствие между множеством промежуточных полей $K$ вида $E\supset K\supset F$ и множеством подгрупп группы Галуа данного расширения (более того, теорема явным образом задаёт это соответствие).

Описание соответствия

Для данного конечного расширения $E\supset F$ соответствие устроено следующим образом:

• Для любой подгруппы $H$ группы Галуа соответствующее ей промежуточное поле, обычно обозначаемое $E^{H}$, — это множество тех элементов поля $E$, которые являются неподвижными точками каждого автоморфизма из $H$, с индуцированными из $E$ операциями.
• Для любого промежуточного поля соответствующая ему подгруппа состоит из тех автоморфизмов, которые действуют тождественно на этом промежуточном поле.

Например, поле $E$ соответствует тривиальной подгруппе, а $F$ — всей группе (так как все автоморфизмы из группы Галуа сохраняют меньшее поле, а для любого другого элемента существует автоморфизм, действующий на нём нетривиально).

Свойства соответствия

Данное соответствие обладает несколькими полезными свойствами. В частности, оно обращает порядок по включению: для подгрупп группы Галуа условие $H_{1}\subseteq H_{2}$ равносильно $E^{H_{2}}\subseteq E^{H_{1}}$. Кроме того, поле $E^{H}$ является нормальным расширением $F$ (или, эквивалентно, расширением Галуа, так как каждое подрасширение сепарабельного расширения сепарабельно) тогда и только тогда, когда $EH$ — нормальная подгруппа группы Галуа. Факторгруппа по ней изоморфна группе Галуа расширения $E^{H}\supset F$.

Пример

Решётка подполей и соответствующая решётка подгрупп

Рассмотрим поле $\mathbb {Q} ({\sqrt {2}},{\sqrt {3}})$. Каждый его элемент можно записать в виде

$a+b{\sqrt {2}}+c{\sqrt {3}}+d({\sqrt {2}}\cdot {\sqrt {3}}),$

где $a$, $b$, $c$, $d$ — рациональные числа. Рассмотрим автоморфизмы расширения $\mathbb {Q} ({\sqrt {2}},{\sqrt {3}})\supset \mathbb {Q}$. Поскольку это расширение порождается ${\sqrt {2}}$ и ${\sqrt {3}}$, любой автоморфизм однозначно определяется их образами. Автоморфизмы любого расширения могут только переставлять местами корни многочлена над меньшим полем, следовательно, в данном случае все возможные нетривиальные автоморфизмы — это перестановка ${\sqrt {2}}$ и $-{\sqrt {2}}$ (обозначим этот автоморфизм $f$), перестановка ${\sqrt {3}}$ и $-{\sqrt {3}}$ (автоморфизм $g$) и их композиция $fg$. Более точно, эти преобразования задаются следующим образом:

$f(a+b{\sqrt {2}}+c{\sqrt {3}}+d{\sqrt {6}})=a-b{\sqrt {2}}+c{\sqrt {3}}-d{\sqrt {6}},$

$g(a+b{\sqrt {2}}+c{\sqrt {3}}+d{\sqrt {6}})=a+b{\sqrt {2}}-c{\sqrt {3}}-d{\sqrt {6}}.$

Очевидно, что эти отображения действуют биективно и переводят сумму в сумму, следовательно, для проверки равенства $f(ab)=f(a)\cdot f(b)$ достаточно проверить его на парах базисных элементов, что также тривиально. Таким образом, группа Галуа данного расширения — четверная группа Клейна:

$G=\{1,f,g,fg\}.$

Она имеет три нетривильные подгруппы:

• автоморфизмы из подгруппы $\{1,f\}$ сохраняют элементы промежуточного поля $\mathbb {Q} ({\sqrt {3}})$;
• автоморфизмы из $\{1,g\}$ сохраняют $\mathbb {Q} ({\sqrt {2}})$;
• автоморфизмы из $\{1,fg\}$ сохраняют $\mathbb {Q} ({\sqrt {6}})$.

Приложения

Основная теорема сводит вопрос существования промежуточных полей к вопросу о существовании подгрупп некоторой конечной группы (так как порядок группы Галуа равен размерности расширения), многие задачи теории Галуа решаются простым применением основной теоремы.

Например, вопрос о разрешимости уравнения в радикалах обычно формулируют так: можно ли выразить корни данного многочлена через его коэффициенты, используя только арифметические операции и операцию взятия корня $n$-й степени. На языке теории полей этот вопрос можно сформулировать так: рассмотрим поле $F$, порождённое коэффициентами многочлена, и поле $E$, полученное присоединением его корней. Спрашивается, существует ли такая цепочка промежуточных полей

$E=K_{n}\supset K_{n-1}\supset \ldots \supset K_{1}\supset K_{0}=F,$

что $K_{i+1}=K_{i}(\alpha )$, где $\alpha$ — корень уравнения $x^{n}-a,\ a\in K_{i}$, причём поле $K_{i}$ содержит все корни уравнения $x^{n}-1$. В этом случае можно доказать, что соответствующий ряд подгрупп группы Галуа обладает тем свойством, что факторгруппа $G_{i}/G_{i+1}$ существует и является циклической. Группы, для которых существует хотя бы один ряд с таким свойством, называются разрешимыми, таким образом, уравнение разрешимо в радикалах тогда и только тогда, когда его группа Галуа разрешима.

Такие теории, как теория Куммера и теория полей классов, основываются на основной теореме теории Галуа.

Литература

• Бурбаки Н. Алгебра. Часть 2. Многочлены и поля. Упорядоченные группы — М.: Наука, 1965
• P. Aluffi. Algebra: Chapter 0 (Graduate Studies in Mathematics) — American Mathematical Society, 2009 — ISBN 0-8218-4781-3.
• Marcus, Daniel. Number Fields (неопр.). — New York: Springer-Verlag, 1977. — ISBN 0-387-90279-1.