Перестановочные операторы

Перестановочные операторы — ограниченный линейный оператор и линейный оператор , для которых оператор является расширением оператора : . Если операторы и определены на всем пространстве (причем не обязательно ограничены), то они перестановочны, если . В этом случае перестановочные операторы также называют коммутирующими[1]. В общем случае равенство неудобно использовать в качестве определения перестановочности, потому что тогда даже обратный оператор не будет перестановочен с , если определён не на всём пространстве — тогда операторы и будут иметь разные области определения. Иногда для перестановочных операторов используют обозначения: или [2][3].

Свойства править

  • Если оператор   перестановочен с   и перестановочен с  , то   также перестановочен с   и  .
  • Если   перестановочен с   и   перестановочен с  , то операторы   и   перестановочны с  .
  • Если   перестановочен с   и существует  , то   перестановочен с  .
  • Если   перестановочен с каждым из операторов  , то   перестановочен с  .
  • Если каждый из операторов   перестановочен с  , то   перестановочен с   в предположении, что   ограничен, а   замкнут.
  • Если   перестановочен с   и сопряжённый оператор   существует, то   перестановочен с  [3].

Случай конечномерного пространства править

В конечномерном пространстве перестановочным операторам отвечают перестановочные матрицы:  . Задача Фробениуса состоит в том, чтобы определить все матрицы  , перестановочные с данной матрицей  . Все решения задачи Фробениуса имеют вид

 

где   — произвольная матрица, перестановочная с  ,   — матрица, приводящая   к нормальной жордановой форме  :  . Число линейно независимых решений задачи Фробениуса определяется формулой:

 

где   — степени непостоянных инвариантных многочленов   матрицы  .

Если линейные операторы   в конечномерном пространстве   попарно перестановочны, то можно расщепить все пространство   на инвариантные относительно всех операторов   подпространства:

 

так, чтобы минимальный многочлен любого из этих подпространств относительно любого из операторов   был степенью неприводимого многочлена[4].

Перестановочные операторы всегда имеют общий собственный вектор[5]. Если дано конечное или бесконечное множество попарно перестановочных нормальных операторов   в унитарном пространстве, то все эти операторы имеют полную ортонормированную систему общих собственных векторов. В терминах матриц это означает, что любое конечное или бесконечное множество попарно перестановочных матриц приводится к диагональному виду одним и тем же унитарным преобразованием[6].

См. также править

Примечания править

Литература править

  • Войцеховский М. И. Перестановочные операторы // Математическая энциклопедия : [в 5 т.] / Гл. ред. И. М. Виноградов. — М.: Советская энциклопедия, 1984. — Т. 4: Ок — Сло. — 1216 стб. : ил. — 150 000 экз.
  • Рисс Ф., Сёкефильви-Надь Б. Лекции по функциональному анализу. — М.: Мир, 1979. — 592 с.
  • Гантмахер Ф. Р. Теория матриц. — Изд. 2-е, доп.. — М.: Наука, Гл. ред. физ.-мат. лит., 1966.
  • Супруненко Д. А., Тышкевич Р. И. Перестановочные матрицы. — Минск: Наука и техника, 1966. — 2500 экз.