Преобразование Гильберта

Преобразова́ние Ги́льберта в математике и обработке сигналов — линейный оператор, сопоставляющий каждой функции от действительной переменной функцию в той же области с помощью свёртки исходной функции с функцией 1/(πt). В физике эти соотношения известны как соотношения Крамерса — Кронига, связывающие мнимую и действительную части комплексной функции отклика системы.

ОпределениеПравить

Преобразование Гильберта определено следующим образом (здесь v.p. означает главное значение несобственного интеграла по Коши):

 

или, более явно:

 

СвойстваПравить

Результат двукратного применения преобразования Гильберта — исходная функция с обратным знаком:

 

при условии, что оба преобразования существуют.

Преобразование Гильберта даёт функцию  , ортогональную функции  [1].

Связь с преобразованием ФурьеПравить

Преобразование Гильберта является множителем в спектральной области.

 

где   — вариант прямого преобразования Фурье без нормировочного множителя.

Обратное преобразованиеПравить

 

Некоторые преобразования ГильбертаПравить

В следующей таблице параметр частоты   является действительным числом.

Сигнал
 
Преобразование Гильберта

 

константа 0
   
   
   
   
   
(F(t) — интеграл Доусона)
Sinc
 
 
Характеристическая функция
над отрезком [a, b]
 
 
Прямоугольная функция
(частный случай предыдущего)
 
 
Дельта-функция
 
 

Геометрический смыслПравить

Для  -периодических функций, то есть определённых на единичной окружности, преобразование Гильберта имеет интерпретацию в терминах геометрии бесконечномерных однородных пространств. Именно, группа   сохраняющих ориентацию диффеоморфизмов окружности имеет факторпространство   по подгруппе, состоящей из поворотов (то есть сохранящих ориентацию изометрий окружности). Он называется пространством Кириллова — Юрьева, и имеет однородную комплексную структуру. Связанный с ней тензор — это и есть преобразование Гильберта. В самом деле, касательное пространство к пространству Кириллова — Юрьева это фактор алгебры векторных полей на окружности по постоянным векторным полям. Касательное расслоение к окружности тривиально, так что векторные поля можно отождествить с  -периодическими функциями, при этом постоянные векторные поля перейдут в константы. На факторе функций на окружности по константам преобразование Гильберта действительно действует как оператор комплексной структуры (то есть оператор с квадратом  ); его собственное подпространство для собственного числа   (то, что называется в теории Ходжа  -подпространство) есть пространство Харди — граничные значения непрерывных функций на единичном диске, голоморфных на его внутренности (иначе говоря,  -периодические функции, все ненулевые гармоники Фурье которых имеют положительные номера).

Пространство Кириллова — Юрьева допускает расслоение над другим бесконечномерным однородным пространством  , фактором группы диффеоморфизмов по граничным значениям мёбиусово преобразование (дробно-линейных) преобразований диска. Легко видеть, что слои этого расслоения суть однородные пространства  , биголоморфные единичным дискам. Это расслоение популяризовал А. Г. Сергеев.

Можно работать и в обратную сторону. Хорошо известен другой пример расслоения на окружности, база которого имеет естественную комплексную структуру, это расслоение Хопфа  . Конус же над сферой может быть отождествлён с комплексным векторным пространством  , из которого выброшен нуль. Так же и группа   может быть расширена группой   (такое расширение является алгебраическим аналогом восстановления конуса) таким образом, что получившаяся группа будет иметь структуру бесконечномерной комплексной группы Ли. На уровне алгебр Ли это расширение задаётся коциклом Гельфанда — Фукса, который в терминах функций на окружности пишется как  . Соответствующая группа называется группой Вирасоры (иногда Ботта — Вирасоры) и имеет основополагающее значение в теория струн и других разделах конформной теории поля.

См. такжеПравить

ПримечанияПравить

  1. Григорьев А. А. Лекции по теории сигналов С. 13. Дата обращения: 21 июня 2017.