Спектральная мера

Спектральная мера - это отображение, определённое на $\sigma$-алгебре подмножеств заданного множества, значения которого являются ортогональными проекторами в гильбертовом пространстве.

Определение

Пусть $(X,M)$ — измеримое пространство, $H$ — гильбертово пространство, ${\mathcal {P}}={\mathcal {P}}(H)$ — множество всех ортогональных проекторов в $H$.

Отображение $E:M\longrightarrow {\mathcal {P}}$ называется спектральной мерой, если удовлетворяет следующим условиям:

1. Счетная аддитивность: если $\{\delta _{n}\}$ - конечный или счётный набор попарно непересекающихся множеств $\{\delta _{n}\}\in M$ и $\delta =\bigcup _{n}\delta _{n}$, то $E(\delta )=s$-$\sum _{n}{E(\delta _{n})}$
2. Полнота: $E(X)=I$

Здесь под $s$-$\lim$ и $s$-$\sum$ понимается предел (соотв. сумма ряда) относительно сильной операторной топологии. Например, $T=s$-$\lim T_{n}$ означает, что $Tx=\lim T_{n}x$ $\forall x\in H$. Для обозначения равномерной операторной сходимости (т.е. сходимости по операторной норме) мы пишем $u$-$\lim$.

С каждой спектральной мерой $E$ можно связать скалярные меры $E_{x,y}$, $x,y\in H$. По определению $E_{x,y}(A)=\langle E(A)x,y\rangle$. Легко видеть, что мера $E_{x,x}$ положительна для любого $x\in H$.

Свойства спектральной меры

$\{\delta _{n}\},n=1,2,...$, - последовательность измеримых множеств.

1. Коммутативность: $E(\delta _{1})E(\delta _{2})=E(\delta _{2})E(\delta _{1})=E(\delta _{1}\cap \delta _{2})$.
2. Ортогональность: если $\delta _{1}\cap \delta _{2}=\varnothing$, то $E(\delta _{1})E(\delta _{2})=0$.
3. Монотонность: если $\delta _{1}\subset \delta _{2}$, то $E(\delta _{1})\leqslant E(\delta _{2})$.
4. Если последовательность $\{\delta _{n}\}$ - расширяющаяся, то $s$-$\lim _{n\to \infty }E(\delta _{n})=E(\bigcup _{n}\delta _{n})$.
5. Если последовательность $\{\delta _{n}\}$ - вложенная, то $s$-$\lim _{n\to \infty }E(\delta _{n})=E(\bigcap _{n}\delta _{n})$.

Интеграл по спектральной мере

Пусть $(X,M,H,E)$ - пространство со спектральной мерой.

Случай ограниченной функции

$\Pi =\Pi (X,E)$ - множество всех $E$-измеримых простых функций на $X$.

$\delta _{1},...,\delta _{n}$ - разложение пространства $X$ на непересекающиеся подмножества, на которых функция $\varphi \in \Pi$ постоянна и $c_{k}$ - значение функции $\varphi$ на $\delta _{k}$.

Интегралом от функции $\varphi \in \Pi$ по спектральной мере $E$ называется оператор $J_{\varphi }=\int \varphi dE=\sum _{k\leqslant n}c_{k}E(\delta _{k})$.

Свойства:

1. $\langle J_{\varphi }(x),y\rangle =\int \varphi dE_{x,y}$ для любых $x,y\in H$. Этим свойством оператор $J_{\varphi }$ определяется однозначно.
2. $J_{\alpha \varphi +\beta \psi }=\alpha J_{\varphi }+\beta J_{\psi }$.
3. $J_{\varphi \psi }=J_{\varphi }J_{\psi }=J_{\psi }J_{\varphi }$.
4. $(J_{\varphi })^{*}=J_{\overline {\varphi }}$.
5. $J_{1}=I$.
6. $||J_{\varphi }||=E$-$sup|\varphi |$.

$L_{\infty }(X,E)$ - множество всех $E$-измеримых, $E$-ограниченных комплексных функций на $X$. Продолжим отображение ${\textbf {J}}\varphi =J_{\varphi }$ с нормированной алгебры $\Pi (X,E)$ на всей банаховой алгебры $L_{\infty }(X,E)$.

Интегралом от функции $\varphi \in L_{\infty }(X,E)$ по спектральной мере $E$ называется значение продолженного отображения ${\textbf {J}}$ на функции $\varphi :J_{\varphi }=\int \varphi dE=u$-$\lim J_{\varphi _{n}}$, где $\{\varphi _{n}\}$ - произвольная последовательность простых функций, сходящаяся к $\varphi$ по норме в $L_{\infty }(X,E)$.

Теорема. Отображение ${\textbf {J}}$ есть изометрический изоморфизм банаховой алгебры $L_{\infty }(X,E)$ с единицей ${\textbf {1}}$ и инволюцией $\varphi \longrightarrow {\bar {\varphi }}$ на некоторую коммутативную подалгебру алгебры ${\textbf {B}}(H)$ с единицей $I$ и инволюцией $T\longrightarrow T^{*}$.

Следствия:

1. Оператор $J_{\varphi }$ нормален.
2. Оператор $J_{\varphi }$ самосопряжен $\Leftrightarrow$ $E$-п.в. функция $\varphi$ вещественна.
3. Оператор $J_{\varphi }$ унитарен$\Leftrightarrow$ $E$-п.в. функция $|\varphi (y)|=1$.

Для интеграла по спектральной мере имеет место аналог теоремы Лебега о мажорированной сходимости:

Теорема. Пусть последовательность $E$-ограниченных функций $f_{n}$ почти всюду сходится к функции $f$. Если найдется такая константа $C>0$, что $|f_{n}|\leq C$ почти всюду для любого $n$, то $\int fdE=s{\text{-}}\lim \int f_{n}dE$.

Случай неограниченной функции

$S(X,E)$ - пространство всех $E$-измеримых, $E$-п.в. конечных функций на $X$.

Каждой функции $\varphi \in S(X,E)$ и каждому $n\in \mathbb {N}$ сопоставим срезку $\varphi _{(n)}$, определенную как $\chi _{A}\varphi$, где $\chi _{A}$ - характеристическая функция множества $A=\{x\in X:|\phi (x)|\leq n\}$. Интегралом от $\varphi \in S(X,E)$ по спектральной мере $E$ назовем оператор $J_{\varphi }=\int \varphi dE$, определенный как предел последовательности $\int \varphi _{(n)}dE$. Более точно, областью определения оператора $J_{\varphi }$ служит множество таких $x\in H$, что последовательность $J_{\varphi _{(n)}}(x)$ сходится, а значением - предел этой последовательности.

Имеется эквивалентное определение: в качестве области определения оператора $J_{\varphi }$ положим множество $D_{\varphi }\subset H,D_{\varphi }=\{f\in H:\int |\varphi |^{2}d\mu _{f}<\infty \}$. Для каждого $x\in D_{\varphi }$ найдется единственный $y\in H$ удовлетворяющий равенству $\langle y,z\rangle =\int \varphi dE_{x,z}$ для всех $z\in H$, который по определению служит значением $J_{\varphi }(x)$.

Свойства:

1. $D(\alpha J_{\varphi }+\beta J_{\psi })=D_{\varphi }\cap D_{\psi }$.
2. $\alpha J_{\varphi }+\beta J_{\psi }\subset J_{\alpha \varphi +\beta \psi }$.
3. $D(J_{\varphi }J_{\psi })=D_{\varphi \psi }\cap D_{\psi }$.
4. $J_{\varphi }J_{\psi }\subset J_{\varphi \psi }$.
5. $D(J_{\varphi }^{*})=D_{\varphi }$.
6. $J_{\varphi }^{*}=J_{\overline {\varphi }}$.
7. Оператор $J_{\varphi }$ замкнут и нормален.
8. ${\overline {\alpha J_{\varphi }+\beta J_{\psi }}}=J_{\alpha \varphi +\beta \psi }$.
9. ${\overline {J_{\varphi }J_{\psi }}}={\overline {J_{\psi }J_{\varphi }}}=J_{\varphi \psi }$.

Спектральная теорема фон Неймана

Спектральная теорема для унитарного оператора

Теорема. Пусть $V$ - унитарный оператор в $H$, тогда существует единственная спектральная мера $F=F_{V}$ в $H$, определенная на борелевских подмножествах единичной окружности $\mathbb {T}$ такая, что $V=\int _{\mathbb {T} }zdF(z)$.

Спектральная теорема для самосопряжённого оператора

Теорема. Пусть $A$ - самосопряженный оператор в $H$, тогда существует единственная спектральная мера $E=E_{A}$ в $H$, определённая на борелевских подмножествах в $\mathbb {R}$ такая, что $A=\int _{\mathbb {R} }sdE(s)$.

Спектральная теорема для нормального оператора

Теорема. Пусть $T$ - нормальный оператор в $H$, тогда существует единственная спектральная мера $E=E_{T}$ в $H$, определенная на борелевских подмножествах в $\mathbb {C}$ такая, что $T=\int _{\mathbb {C} }zdE(z)$.

Применения к эволюционным уравнениям в гильбертовом пространстве

• Уравнение Шредингера: ${\frac {du}{dt}}+iAu=0$ с начальным условием $u(0)=f$, где $A$ - самосопряженный оператор. Решением будет $u(t)=U(t)f$, где $U(t)=e^{-iAt}=\int e^{-ist}dE(s)$, $E=E_{A}$ - спектральная мера оператора $A$.
• Параболическое уравнение: ${\frac {du}{dt}}+Au=0$ с начальным условием $u(0)=f$, где $A$ - самосопряженный положительный оператор. Решением будет $u(t)=T(t)f$, где $T(t)=e^{-At}=\int e^{-st}dE(s)$, $E=E_{A}$ - спектральная мера оператора $A$.

Литература

• М. Ш. Бирман М. З. Соломяк. Спектральная теория самосопряженных операторов в гильбертовом пространстве. — Лань, 2010. — 458 с. — 1000 экз. — ISBN 978-5-8114-1076-7.
• У. Рудин. Функциональный анализ. — М.: Мир, 1975. — 443 с.

См. также

• Спектральная теорема