Открыть главное меню

Интегральный оператор Фредгольма

Интегра́льный опера́тор Фредго́льма — вполне непрерывный линейный интегральный оператор вида

отображающий одно пространство функций в другое. Здесь  — область в евклидовом пространстве ,  — функция, заданная на декартовом квадрате , называемая ядром интегрального оператора[1]. Для вполне непрерывности оператора на ядро накладываются дополнительные ограничения. Чаще всего рассматривают непрерывные ядра[2], -ядра[3][4], а также полярные ядра[2][5]. Интегральный оператор Фредгольма и его свойства используются при решении интегрального уравнения Фредгольма.

СвойстваПравить

ЛинейностьПравить

Интегральный оператор Фредгольма является линейным, то есть  .

НепрерывностьПравить

Интегральный оператор с непрерывным на  [6] ядром  , переводит   в   (и, следовательно,   в   и   в  ) и ограничен (непрерывен), причём

 
 
 

где

 [7].

Интегральный оператор с  -ядром:

 

переводит   в  , непрерывен и удовлетворяет оценке:

 [1][8]

Существуют условия непрерывности интегральных операторов из   в  .[9]

Вполне непрерывностьПравить

Интегральный оператор с непрерывным ядром   является вполне непрерывным из   в  , то есть переводит любое множество, ограниченное в  , в множество, предкомпактное в  [10]. Вполне непрерывные операторы замечательны тем, что для них справедлива альтернатива Фредгольма. Интегральный оператор с непрерывным ядром является пределом последовательности конечномерных операторов с вырожденными ядрами. Аналогичные утверждения справедливы для интегрального оператора с  -ядром.[11]

Существуют также более слабые достаточные условия вполне непрерывности (компактности) интегрального оператора из   в  .[12]

Сопряжённый операторПравить

Сопряжённый оператор к оператору   с  -ядром в гильбертовом пространстве   имеет вид

 

Если  , то интегральный оператор Фредгольма   является самосопряжённым[1][11]

Обратный операторПравить

При достаточно малых значениях   оператор   (где   — единичный оператор) имеет обратный вида  , где   — интегральный оператор Фредгольма с ядром   — резольвентой ядра  [13].

См. такжеПравить

ПримечанияПравить

ЛитератураПравить

  • Хведелидзе Б. В.  Интегральный оператор // Математическая энциклопедия / И. М. Виноградов (гл. ред.). — М.: Советская энциклопедия, 1979. — Т. 2. — 552 с. — 150 000 экз.
  • Владимиров В. С.  Уравнения математической физики. 4-е изд. — М.: Наука, Гл. ред. физ.-мат. лит-ры, 1981. — 512 с.
  • Трикоми Ф.  Интегральные уравнения. Пер. с англ.. — М.: Изд-во иностр. лит-ры, 1960.
  • Манжиров А. В., Полянин А. Д.  Справочник по интегральным уравнениям: Методы решения. — М.: Факториал Пресс, 2000. — 384 с. — ISBN 5-88688-046-1.
  • Колмогоров А. Н., Фомин С. В.  Элементы теории функций и функционального анализа. — Наука, Гл. ред. физ.-мат. лит-ры. — М., 1976.