Интегральный оператор Фредгольма

Интегра́льный опера́тор Фредго́льма — вполне непрерывный линейный интегральный оператор вида

$(Af)(x)=\int _{G}K(x,t)f(t)\,dt,$

отображающий одно пространство функций в другое. Здесь $G$ — область в евклидовом пространстве $\mathbb {R} ^{n}$, $K(x,t)$ — функция, заданная на декартовом квадрате $G\times G$, называемая ядром интегрального оператора. Для вполне непрерывности оператора $A$ на ядро $K(x,y)$ накладываются дополнительные ограничения. Чаще всего рассматривают непрерывные ядра, $L_{2}$-ядра, а также полярные ядра. Интегральный оператор Фредгольма и его свойства используются при решении интегрального уравнения Фредгольма.

Свойства

Линейность

Интегральный оператор Фредгольма является линейным, то есть $A(\alpha f+\beta g)=\alpha Af+\beta Ag$.

Непрерывность

Интегральный оператор с непрерывным на ${\bar {G}}\times {\bar {G}}$ ядром $K(x,y)$, переводит $L_{2}(G)$ в $C({\bar {G}})$ (и, следовательно, $C({\bar {G}})$ в $C({\bar {G}})$ и $L_{2}(G)$ в $L_{2}(G)$) и ограничен (непрерывен), причём

$\|Af\|_{C}\leq M{\sqrt {V}}\|f\|_{L_{2}},\quad f\in L_{2}(G),$

$\|Af\|_{C}\leq MV\|f\|_{C},\quad f\in C({\bar {G}}),$

$\|Af\|_{L_{2}}\leq MV\|f\|_{L_{2}},\quad f\in L_{2}(G),$

где

$M=\max \limits _{x\in {\bar {G}},\,y\in {\bar {G}}}|K(x,y)|,\quad V=\int _{G}dy.$.

Интегральный оператор с $L_{2}$-ядром:

$\int _{G}\int _{G}|K(x,y)|^{2}dx\,dy\leq N^{2}<\infty$

переводит $L_{2}(G)$ в $L_{2}(G)$, непрерывен и удовлетворяет оценке:

$\|Af\|_{L_{2}}\leq N\|f\|_{L_{2}}.$

Существуют условия непрерывности интегральных операторов из $L_{p}$ в $L_{q}$.

Вполне непрерывность

Интегральный оператор с непрерывным ядром $K(x,y)$ является вполне непрерывным из $L_{2}(G)$ в $C({\bar {G}})$, то есть переводит любое множество, ограниченное в $L_{2}(G)$, в множество, предкомпактное в $C({\bar {G}})$. Вполне непрерывные операторы замечательны тем, что для них справедлива альтернатива Фредгольма. Интегральный оператор с непрерывным ядром является пределом последовательности конечномерных операторов с вырожденными ядрами. Аналогичные утверждения справедливы для интегрального оператора с $L_{2}$-ядром.

Существуют также более слабые достаточные условия вполне непрерывности (компактности) интегрального оператора из $L_{p}$ в $L_{q}$.

Сопряжённый оператор

Сопряжённый оператор к оператору $A$ с $L_{2}$-ядром в гильбертовом пространстве $L_{2}(G)$ имеет вид

$(A^{*}f)(x)=\int _{G}{\overline {K(y,x)}}f(y)\,dy.$

Если $K(x,y)={\overline {K(y,x)}}$, то интегральный оператор Фредгольма $A$ является самосопряжённым

Обратный оператор

При достаточно малых значениях $|\lambda |$ оператор $I-\lambda A$ (где $I$ — единичный оператор) имеет обратный вида $I+\lambda R$, где $R$ — интегральный оператор Фредгольма с ядром $R(x,y,\lambda )$ — резольвентой ядра $K(x,y)$.

См. также

• Интегральное уравнение Фредгольма
• Ядро интегрального уравнения
• Теория Фредгольма
• Альтернатива Фредгольма
• Компактный оператор

Литература

• Хведелидзе Б. В. . Интегральный оператор // Математическая энциклопедия : [в 5 т.] / Гл. ред. И. М. Виноградов. — М.: Советская энциклопедия, 1979. — Т. 2: Д — Коо. — 1104 стб. : ил. — 150 000 экз.
• Владимиров В. С. . Уравнения математической физики. 4-е изд. — М.: Наука, Гл. ред. физ.-мат. лит-ры, 1981. — 512 с.
• Трикоми Ф. . Интегральные уравнения. Пер. с англ.. — М.: Изд-во иностр. лит-ры, 1960.
• Манжиров А. В., Полянин А. Д. . Справочник по интегральным уравнениям: Методы решения. — М.: Факториал Пресс, 2000. — 384 с. — ISBN 5-88688-046-1.
• Колмогоров А. Н., Фомин С. В. . Элементы теории функций и функционального анализа. — Наука, Гл. ред. физ.-мат. лит-ры. — М., 1976.