Отношение порядка

Бинарное отношение $R$ на множестве $X$ называется отношением нестрогого частичного порядка (отношением порядка, отношением рефлексивного порядка), если имеют место

• Рефлексивность: $\forall x:xRx$;
• Антисимметричность: $\forall x,y:xRy\land yRx\Rightarrow x=y$;
• Транзитивность: $\forall x,y,z:xRy\land yRz\Rightarrow xRz$.

Множество $X$, на котором введено отношение частичного порядка, называется частично упорядоченным. Отношение нестрогого частичного порядка часто обозначают знаком $\preccurlyeq$.

Варианты

Отношение частичного порядка $R$ называется линейным порядком, если выполнено условие

$\forall x\forall y(xRy\lor yRx)$.

Множество $X$, на котором введено отношение линейного порядка, называется линейно упорядоченным, или цепью.

Отношение $R$, удовлетворяющее только условиям рефлексивности и транзитивности, называется предпорядком, или квазипорядком.

Строгий порядок

Если условие рефлексивности заменить на условие антирефлексивности:

$\forall x\neg (xRx)$,

то получим определение строгого, или антирефлексивного частичного порядка (обозначается обычно символом $\prec$).

Замечание. Одновременная антирефлексивность и транзитивность отношения влечёт асимметричность, которое является более сильным условием, чем антисимметричность. Поэтому отношение является отношением строгого порядка тогда и только тогда, когда оно антирефлексивно и транзитивно.

В общем случае, если $R$ — транзитивное, антисимметричное отношение, то

$R_{\preccurlyeq }=R\cup \{(x,x)|x\in X\}$ — рефлексивный порядок

$R_{\prec }=R\setminus \{(x,x)|x\in X\}$ — строгий порядок.

Примеры

• На множестве вещественных чисел отношения «больше» и «меньше» являются отношениями строгого порядка, а «больше или равно» и «меньше или равно» — нестрогого.
• Отношение делимости на множестве натуральных чисел является отношением нестрогого порядка.

Размерность Душника — Миллера

Размерность Душника — Миллера (иногда называемая просто размерность) частичного порядка — это наименьшее количество отношений линейного порядка, пересечение которых равно данному частичному порядку. Задача распознавания того, превосходит ли размерность данного конечного частичного порядка число $k,$ принадлежит к классу P при $k<3,$ но является NP-полной при $k\geqslant 3.$

История

Знаки $<$ и $>$ изобретены Хэрриотом.

См. также

• Бинарное отношение
• Частично упорядоченное множество
• Линейно упорядоченное множество
• Предпорядок
• Теорема Шпильрайна