Изоморфизм категорий

Изоморфизм категорий — взаимно-однозначное отношение между категориями, сохраняющее структуру объектов и морфизмов: категории $C$ и $D$ изоморфны, если существуют функторы $F\colon C\to D$ и $G\colon D\to C$, которые являются обратными друг другу, то есть, $FG=1_{D}$ (функтор тождественности на $D$) и $GF=1_{C}$. Две изоморфные категории разделяют все свойства, которые определены только в терминах теории категорий; для всех практических целей они идентичны и различаются только обозначениями объектов и морфизмов.

Изоморфизм категорий является очень сильным условием, которое редко удовлетворяется; в связи с этим чаще используется понятие эквивалентности категорий, для которого не требуется, чтобы $FG$ был равен to $1_{D}$, а лишь естественно изоморфен $1_{D}$, и аналогично $GF$ был естественно изоморфен $1_{C}$.

Функтор $F\colon C\to D$ создаёт изоморфизм категорий тогда и только тогда, когда он биективен на объектах и на множестве морфизмов; благодаря этому критерию можно доказывать изоморфность категорий без построения обратного функтора $G$.

Примеры

Для конечной группы $G$, поле $k$ и групповой алгебры $kG$ категория $k$-линейных представлений группы группы $G$ изоморфна категории левых модулей над $kG$. Изоморфизм можно описать следующим образом: если дано представление группы $\rho \colon G\to \mathbf {GL} (V)$, где $V$ — векторное пространство над $k$, $\mathbf {GL} (V)$ является группой его $k$-линейных автоморфизмов, а $\rho$ является гомоморфизмом групп, $V$ переводится в левый $kG$-модуль следующим образом:

$\left(\sum _{g\in G}a_{g}g\right)v=\sum _{g\in G}a_{g}\rho (g)(v)$

для любого $v$ из $V$ и любого элемента $\sum a_{g},g\in kG$. Обратно, если задан левый $kG$-модуль $M$, то $M$ является $k$-векторным пространством, и умножение на элемент $g$ группы $G$ приводит к $k$-линейному автоморфизму модуля $M$ (поскольку $g$ обратим в $kG$), что описывает групповой гомоморфизм $G\to \mathbf {GL} (M)$.

Любое кольцо может рассматриваться как предаддитивная категория с единственным объектом. Категория функторов всех аддитивных функторов из этой категории в категорию абелевых групп изоморфна категории левых модулей над кольцом.

Автоморфизм категорий возникает в теории булевых алгебр: категория булевых алгебр изоморфна категории булевых колец. Заданная булева алгебра $B$ переводится в булево кольцо с помощью симметрической разности в качестве сложения и операции логического умножения $\land$ в качестве умножения. И обратно, если дано булево кольцо $R$, то можно определить операцию объединения как $a\lor b=a+b+ab$, а операцию пересечения как умножение. Оба этих определения могут быть расширены до морфизмов для получения функторов и эти функторы взаимно обратны друг другу.

Если $C$ является категорией с начальным объектом $s$, то категория объектов «над» ($s{\downarrow }C$) изоморфна $C$. Двойственно, если $t$ является терминальным объектом в $C$, категория функтора ($C{\downarrow }t$) изоморфна $C$.

Литература

• Маклейн С. Глава 1. Категории, функторы и естественные преобразования // Категории для работающего математика = Categories for the working mathematician / Пер. с англ. под ред. В. А. Артамонова. — М.: Физматлит, 2004. — С. 17—42. — 352 с. — ISBN 5-9221-0400-4.