Правильный восьмиугольник

Правильный восьмиугольник (октагон) — геометрическая фигура из группы правильных многоугольников. У него восемь сторон и восемь углов, все углы и стороны равны между собой.

Восьмиугольник
Правильный восьмиугольник
Правильный восьмиугольник
Тип

Правильный многоугольник

Рёбра

8

Символ Шлефли

{8}, t{4}

Диаграмма Коксетера — Дынкина

CDel node 1.pngCDel 8.pngCDel node.png
CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node 1.png

Вид симметрии

Диэдрическая группа (D8)

Площадь


Внутренний угол (градусы)

135°

Свойства

выпуклый, вписанный, равносторонний, равноугольный[en], изотоксальный[en]

Правильный восьмиугольник имеет символ Шлефли {8} [1] и может быть построен также как квазиправильный усечённый квадрат, t{4}, в котором перемежаются два типа граней. Усечённый восьмиугольник (t{8}) является шестнадцатиугольником (t{16}).

Содержание

СвойстваПравить

 
Построение правильного восьмиугольника
 
Построение правильного 8-угольника путём складывания листа бумаги
  • Восьмиугольник можно построить проведя к сторонам квадрата серединные перпендикуляры и соединив точки их пересечения с описанной окружностью квадрата с его сторонами.
  • Сумма всех внутренних углов правильного восьмиугольника составляет 1080°
  • Угол правильного восьмиугольника составляет  

Формулы расчёта параметров правильного восьмиугольникаПравить

Пример:

  • t — длина стороны восьмиугольника
  • r — радиус вписанной окружности
  • R — радиус описанной окружности
  • S — площадь восьмиугольника
  • k — константа, равная   ≈ 2,414213562373095

Так как правильный восьмиугольник можно получить соответствующим отсечением углов квадрата со стороной  , радиус вписанной окружности, радиус описанной окружности и площадь правильного восьмиугольника можно вычислить и без использования тригонометрических функций:

  • Радиус вписанной окружности правильного восьмиугольника:
 
  • Радиус описанной окружности правильного восьмиугольника:
 
  • Площадь правильного восьмиугольника:

Через сторону восьмиугольника

 

Через радиус описанной окружности

 

Через апофему (высоту)

 

Площадь через квадратПравить

 
Площадь правильного восьмиугольника можно вычислить как площадь усечённого квадрата.

Площадь можно также вычислить как усечение квадрата

 

где A — ширина восьмиугольника (вторая меньшая диагональ), а a — длина его стороны. Это легко показать, если провести через противоположные стороны прямые, что даст квадрат. Легко показать, что угловые треугольники равнобедренные с основанием, равным a. Если их сложить (как на рисунке), получится квадрат со стороной a.

Если задана сторона a, то длина A равна

 

Тогда площадь равна:

 

Площадь через A (ширину восьмиугольника)

 

Ещё одна простая формула площади:

 

Часто значение A известно, в то время как величину стороны a следует найти, как, например, при отрезании от квадратного куска материала углов с целью получения правильного восьмиугольника. Из формул выше имеем

 

Два катета углового треугольника можно получить по формуле

 

СимметрияПравить

 
11 симметрий правильного восьмиугольника. Линии зеркальных отражений показаны цветом — синие линии проходят через вершины, фиолетовые проходят через середины рёбер, число поворотов указано в центре. Вершины раскрашены согласно симметрии.

Правильный восьмиугольник имеет группу симметрии Dih8 порядка 16. Имеется 3 диэдральные подгруппы — Dih4, Dih2 и Dih1, а также 4 циклические подгруппы — Z8, Z4, Z2 и Z1. Последняя подгруппа подразумевает отсутствие симметрии.

Правильный восьмиугольник имеет 11 различных симметрий. Джон Конвей обозначил полную симметрию как r16 [2]. Диэдральные симметрии делятся на симметрии, проходящие через вершины (обозначены как d — от diagonal), или через рёбра (обозначены как p — от perpendiculars). Циклические симметрии в среднем столбце обозначены буквой g и для них указан порядок группы вращения. Полная симметрия правильного восьмиугольника обозначена как r16 а отсутствие — как a1.

Примеры восьмиугольников по их симметриям
 
r16
 
d8
 
g8
 
p8
 
d4
 
g4
 
p4
 
d2
 
g2
 
p2
 
a1

На рисунке слева показаны типы симметрий восьмиугольников. Наиболее общие симметрии восьмиугольников — p8, равноугольный[en] восьмиугольник, построенный четырьмя зеркалами и имеющий перемежающиеся длинные короткие стороны, и d8, изотоксальный[en] восьмиугольник, имеющий рёбра равной длины, но вершины имеют два разных внутренних угла. Эти две формы являются двойственным[en] друг другу и имеют порядок, равный половине симметрии правильного восьмиугольника.

Каждая подгруппа симметрии даёт одну или более степеней свободы для неправильных форм. Только подгруппа g8 не имеет степеней свободы, но может рассматриваться как имеющая ориентированные рёбра.

Разрезание правильного восьмиугольникаПравить

Коксетер утверждает, что любой 2m-угольник с параллельными противоположными сторонами можно разрезать на m(m-1)/2 ромбов. Для восьмиугольника m=4 и он разрезается на 6 ромбов, как показано на рисунке ниже. Это разрезание можно рассматривать как 6 из 24 граней проекции многоугольника Петри тессеракта [3].

Разрезание правильного восьмиугольника
 
На 6 ромбов
 
Тессеракт

Применение восьмиугольниковПравить

 
Восьмиугольный план Купола Скалы

В странах, принявших Венскую конвенцию о дорожных знаках и сигналах (в том числе в России), а также во многих других странах, знак «Движение без остановки запрещено» имеет вид красного восьмиугольника.

Восьмиугольные формы часто используются в архитектуре. Купол Скалы имеет восьмиугольный план. Башня Ветров в Афинах — ещё один пример восьмиугольной структуры. Восьмиугольный план встречается также в архитектуре церквей, таких как Собор Святого Георгия (Аддис-Абеба), Сан-Витале (в городе Равенна, Италия), Замок Кастель-дель-Монте (Апулия, Италия), Флорентийский баптистерий и восьмиугольные церкви Норвегии[en]. Центральное пространство в Ахенский собор, Капелла Карла Великого имеют планы в виде правильного восьмиугольника.

Другие использованияПравить

Производные фигурыПравить

Связанные многогранникиПравить

Восьмиугольник в качестве усечённого квадрата, является первым в последовательности усечённых гиперкубов:

Усечённые гиперкубы
                    ...
Восьмиугольник Усечённый куб Усечённый тессеракт Усечённый 5-куб Усечённый 6-куб Усечённый 7-куб Усечённый 8-куб
                                                                     

Восьмиугольник в качестве растянутого квадрата является первым в последовательности растянутых гиперкубов:

Расширенные гиперкубы
                    ...
Октаэдр Ромбокубооктаэдр Обструганный тессеракт Обрубленный 5-куб Пятиогранённый 6-куб Шестилгранённый 7-куб Семиогранённый 8-куб
                                                                     

См. такжеПравить

ПримечанияПравить

ЛитератураПравить

  • У. Болл, Г. Коксетер. Математические эссе и развлечения. — Москва: «Мир», 1986.
  • Magnus J. Wenninger. Polyhedron Models. — Cambridge University Press, 1974. — 208 с. — ISBN 9780521098595. books.google  (англ.) Есть перевод на русский Веннинджер, «Модели многогранников», но в ней символы Шлефли не приведены.
  • John H. Conway, Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strauss. Chapter 20, Generalized Schaefli symbols, Types of symmetry of a polygon // The Symmetries of Things. — 2008. — С. 275-278. — ISBN 978-1-56881-220-5.