Пятимерный многогранник

Графы трёх правильных и трёх однородных многогранников.
5-симплекс (Гексатерон)	5-ортоплекс, 2₁₁ (Пентакросс)	5-куб (Пентеракт)
Расширенный 5-симплекс^[англ.]	Спрямлённый 5-ортоплекс^[англ.]	5-полукуб. 1₂₁ (Полупентеракт)

В пятимерной геометрии пятимерный многогранник или 5-многогранник — это многогранник в пространстве размерности 5, ограниченный 4-мерными гранями. При этом каждая 3-мерная многогранная ячейка принадлежит ровно двум 4-мерным граням.

Определение

5-многогранник — это замкнутая пятимерная фигура с вершинами, рёбрами, гранями, ячейками^[англ.] и 4-гранями. Вершина — это точка, где встречаются пять или больше рёбер. Ребро — это отрезок, принадлежащий четырём или более граням. Грань — это многоугольник, принадлежащий трём или более ячейкам. Ячейка — это (3-мерный) многогранник, а 4-грань — это 4-мерный многогранник. Более того, должны выполняться следующие требования:

Каждая ячейка должна соседствовать ровно с двумя 4-мерными гранями.
Смежные 4-мерные грани не лежат на той же самой четырёхмерной гиперплоскости.
Фигура не является соединением других фигур, удовлетворяющих требованиям.

Характеристики

Топология любого заданного 5-мерного многогранника определяется его числами Бетти и коэффициентами кручения^[англ.] ^[1].

Значение эйлеровой характеристики, используемой для характеристики многогранников, не обобщается должным образом на высшие размерности, какова бы ни была нижележащая топология. Это несоответствие эйлеровой характеристики для достоверного различения разных топологий в высоких размерностях ведёт к появлению более утончённых чисел Бетти^[1].

Подобным образом понятие ориентируемости многогранника недостаточно для характеристики закручивания поверхностей тороидальных многогранников, что приводит к использованию коэффициентов кручения^[1].

Классификация

5-мерные многогранники можно классифицировать по свойствам, таким как "выпуклость" и "симметрия".

5-мерный многогранник является выпуклым, если его границы (включая ячейки, (3-мерные) грани и рёбра) не пересекают себя (в принципе, грани многогранника могут проходить внутри оболочки), и отрезки, соединяющие любые две точки пятимерного многогранника, содержатся полностью внутри него. В противном случае многогранник считается невыпуклым. Самопересекающиеся пятимерные многогранники известны также как звёздчатые многогранники по аналогии с похожими на звёзды формами невыпуклых многогранников Кеплера — Пуансо.

однородные пятимерные многогранники имеют группу симметрии, для которой все вершины эквивалентны, а 4-мерные грани являются однородными 4-мерными многогранниками^[англ.]. 4-мерные грани однородного многогранника должны быть правильными. Полный набор однородных пятимерных многогранников не установлен.

полуправильный пятимерный многогранник содержит два или более типа правильных 4-мерных граней. Существует только одна такая фигура, имеющая название полупентеракт.

У правильного пятимерного многогранника все 4-мерные грани идентичны. Все правильные 5-мерные многогранники выпуклы.

призматический 5-мерный многогранник является прямым произведением многогранников меньшей размерности. Призматический 5-мерный многогранник является однородным, если его сомножители в прямом произведении однородны. Гиперкуб является призматическим (произведение квадрата и куба), но рассматривается отдельно, поскольку он имеет более высокую симметрию, чем симметрии, унаследованные от сомножителей.

4-мерная мозаика — это разложение четырёхмерного евклидового пространства на правильную решётку многогранников. Строго говоря, мозаики не являются многогранниками, так как ничего не ограничивают, но мы включаем их здесь для полноты картины, поскольку они во многом подобны многогранникам. Однородная 4-мерная мозаика — это мозаика, вершины которой образуют кристаллографическую группу и грани которой являются однородными 4-мерными многогранниками.

Правильные 5-мерные многогранники

Правильные 5-мерные многогранники можно представить символом Шлефли {p,q,r,s}.

Существует ровно три таких выпуклых правильных пятимерных многогранника:

{3,3,3,3} — Гексатерон (5-мерный симплекс)
{4,3,3,3} — Пентеракт (5-мерный куб)
{3,3,3,4} — Пятимерный ортоплекс^[англ.]

Для 3 выпуклых правильных 5-мерных многогранников и одного полуправильного элементами являются:

Название	Символ(ы) Шлефли	Вершин	Рёбер	Граней	Ячеек^[англ.]	4-мерных граней	Симметрия (порядок^[англ.])
Гексатерон	{3,3,3,3}	6	15	20	15	6	A₅, (120)
Пентеракт	{4,3,3,3}	32	80	80	40	10	BC₅, (3820)
5-ортоплекс	{3,3,3,4} {3,3,3^1,1}	10	40	80	80	32	BC₅, (3840) 2×D₅

Однородные 5-мерные многогранники

Для трёх полуправильных 5-мерных многогранников элементами являются:

Название	Символ(ы) Шлефли	Вершины	Рёбра	Грани	Ячейки^[англ.]	4-грани	Симметрия (порядок^[англ.])
Расширенный 5-симплекс^[англ.]	t_0,4{3,3,3,3}	30	120	210	180	162	2×A₅, (240)
5-полукуб	{3,3^2,1} h{4,3,3,3}	16	80	160	120	26	D₅, (1920) ½BC₅
Спрямлённый 5-ортоплекс^[англ.]	t₁{3,3,3,4} t₁{3,3,3^1,1}	40	240	400	240	42	BC₅, (3840) 2×D₅

Расширенный 5-мерный симплекс является вершинной фигурой однородных пятимерных симплексных сот^[англ.], . Вершинной фигурой пятимерных сотов полукубов^[англ.], , является спрямлённый 5-ортоплекс, а гранями являются 5-ортоплексы и 5-полукубы.

Пирамиды

Пирамидальные пятимерные многогранники (5-пирамиды) можно образовать с помощью 4-мерного многогранного основания в 4-мерном гиперпространстве, соединённого с точкой, не лежащей на гиперплоскости. 5-мерный симплекс является простейшим примером с 4-мерным симплексном в основании.

См. также

Список правильных 5-мерных многогранников

Примечания

↑ ¹ ² ³ Richeson, D.; Euler's Gem: The Polyhedron Formula and the Birth of Topoplogy, Princeton, 2008.

T. Gosset^[англ.]. On the Regular and Semi-Regular Figures in Space of n Dimensions // Messenger of Mathematics^[англ.]. — Macmillan, 1900.
A. Boole Stott^[англ.]. Geometrical deduction of semiregular from regular polytopes and space fillings // Verhandelingen of the Koninklijke academy van Wetenschappen width unit Amsterdam. — Amsterdam, 1910. — Т. Eerste Sectie 11, вып. 1.
H.S.M. Coxeter:
- H.S.M. Coxeter, M.S. Longuet-Higgins, J.C.P. Miller: Uniform Polyhedra, Philosophical Transactions of the Royal Society of London, Londne, 1954
- H.S.M. Coxeter. Regular Polytopes^[англ.]. — 3rd (1947, 63, 73). — New York: Dover Publications Inc., 1973. — ISBN 0-486-61480-8.
H.S.M. Coxeter. Kaleidoscopes: Selected Writings of H. S. M. Coxeter / F. Arthur Sherk, Peter McMullen, Anthony C. Thompson, Asia Ivic Weiss. — Wiley-Interscience Publication, 1995. — ISBN 978-0-471-01003-6.
- (Paper 22) H.S.M. Coxeter, Regular and Semi Regular Polytopes I, [Math. Zeit. 46 (1940) 380-407, MR 2,10]
- (Paper 23) H.S.M. Coxeter, Regular and Semi-Regular Polytopes II, [Math. Zeit. 188 (1985) 559-591]
- (Paper 24) H.S.M. Coxeter, Regular and Semi-Regular Polytopes III, [Math. Zeit. 200 (1988) 3-45]
Norman Johnson. The Theory of Uniform Polytopes and Honeycombs. — Ph.D. Dissertation. — University of Toronto, 1966.
Richard Klitzing, 5D, uniform polytopes (polytera)]

Ссылки

Polytopes of Various Dimensions, Jonathan Bowers
Uniform Polytera, Jonathan Bowers
George Olshevsky^[англ.] Polytope на Glossary for Hyperspace

Multi-dimensional Glossary, Garrett Jones

[richeson-1] ¹ ² ³ Richeson, D.; Euler's Gem: The Polyhedron Formula and the Birth of Topoplogy, Princeton, 2008.

[1]