Отрицательное биномиальное распределение

Отрица́тельное биномиа́льное распределе́ние, также называемое распределением Паскаля — это распределение дискретной случайной величины, равной числу произошедших неудач в последовательности испытаний Бернулли с вероятностью успеха $p$, проводимых до $r$-го успеха.

Отрицательное биномиальное распределение
Функция вероятности
Обозначение	$\mathrm {NB} (r,p)$
Параметры	$r>0$ $p\in (0;1)$ $q\equiv 1-p$
Носитель	$k\in \{0,1,2,\ldots \}$
Функция вероятности	${\frac {\Gamma (r+k)}{k!\,\Gamma (r)}}\,p^{r}\,q^{k}$
Функция распределения	$I_{p}(r,k+1)$
Математическое ожидание	${\frac {rq}{p}}$
Мода	$\left\lfloor {\frac {(r-1)q}{p}}\right\rfloor$ если $\ r>1\$ $0$ если $r\leq 1$
Дисперсия	${\frac {rq}{p^{2}}}$
Коэффициент асимметрии	${\frac {2-p}{\sqrt {r\,q}}}$
Коэффициент эксцесса	${\frac {6}{r}}+{\frac {p^{2}}{r\,q}}$
Производящая функция моментов	$\left({\frac {p}{1-qe^{t}}}\right)^{r}$
Характеристическая функция	$\left({\frac {p}{1-qe^{i\,t}}}\right)^{r}$

Определение

Пусть $\{X_{i}\}_{i=1}^{\infty }$ — последовательность независимых случайных величин с распределением Бернулли, то есть

$X_{i}=\left\{{\begin{matrix}1,&p\\0,&q\equiv 1-p\end{matrix}}\right.,\;i\in \mathbb {N} .$

Построим случайную величину $Y$ следующим образом. Пусть $k+r$ — номер $r$-го успеха в этой последовательности. Тогда $Y=k$. Более строго, положим $S_{n}=\sum \limits _{i=1}^{n}X_{i}$. Тогда

$Y=\inf\{n\mid S_{n}=r\}-r$.

Распределение случайной величины $Y$, определённой таким образом, называется отрицательным биномиальным. Пишут: $Y\sim \mathrm {NB} (r,p)$.

Функции вероятности и распределения

Функция вероятности случайной величины $Y$ имеет вид:

$\mathbb {P} (Y=k)={\binom {k+r-1}{k}}\,p^{r}q^{k},\;k=0,1,2,\ldots$.

Функция распределения $Y$ кусочно-постоянна, и её значения в целых точках может быть выражено через неполную бета-функцию:

$F_{Y}(k)=I_{p}(r,k+1)$.

Моменты

Производящая функция моментов отрицательного биномиального распределения имеет вид:

$M_{Y}(t)=\left({\frac {p}{1-qe^{t}}}\right)^{r}$,

откуда

$\mathbb {E} [Y]={\frac {rq}{p}}$

$\mathrm {D} [Y]={\frac {rq}{p^{2}}}$

Свойства

Пусть $Y_{i}\sim NB(r_{i},p)$, тогда $\sum _{i}Y_{i}\sim NB\left(\sum _{i}r_{i},p\right)$

Частные случаи отрицательного биномиального распределения

• При r→∞ отрицательное биномиальное распределение становится распределением Пуассона
• Если параметр r - целое число, то отрицательное биномиальное распределение становится обобщенным распределением Бозе-Эйнштейна .
• При r=1 отрицательное биномиальное распределение становится геометрическим распределением
• При r=1 получающееся геометрическое распределение является распределением Бозе-Эйнштейна для одного источника (a single source) .