Однородная функция

Однородная функция степени $q$ — числовая функция $f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$ такая, что для любого $\mathbf {v} \in \mathbb {R} ^{n}$из области определения функции $f$ и любого $\lambda \in \mathbb {R}$ выполняется равенство:

$f(\lambda \mathbf {v} )=\lambda ^{q}f(\mathbf {v} ).\qquad \qquad (*)$

Параметр $q$ называется порядком однородности. Подразумевается, что если $\mathbf {v} \in \mathbb {R} ^{n}$входит в область определения функции, то все точки вида $\lambda \mathbf {v}$ тоже входят в область определения функции.

Различают также

• положительно однородные функции, для которых равенство $(*)$ выполняется только для положительных $\lambda$ $(\lambda >0),$
• абсолютно однородные функции для которых выполняется равенство
      $f(\lambda \mathbf {v} )=|\lambda |^{q}f(\mathbf {v} ),$
• ограниченно однородные функции, для которых равенство $(*)$ выполняется только для некоторых выделенных значений $\lambda ,$
• комплексные однородные функции $f:\mathbb {C} ^{n}\to \mathbb {C}$ для которых равенство $(*)$ справедливо при $\mathbf {v} \in \mathbb {C} ^{n}$ и $\lambda \in \mathbb {R}$ или $\lambda \in \mathbb {C}$ (а также для комплексных показателей $q\in \mathbb {C}$).

Альтернативное определение однородной функции

В некоторых математических источниках однородными называются функции, являющиеся решением функционального уравнения $$f(\lambda \mathbf {v} )=g(\lambda )f(\mathbf {v} )$$ с заранее неопределённой функцией $g(\lambda )$ и лишь потом доказывается, что $g(\lambda )=\lambda ^{q}.$ Для единственности решения $g(\lambda )=\lambda ^{q}$ нужно дополнительное условие, что функция $f(\mathbf {v} )$ не равна тождественно нулю и что функция $g(\lambda )$ принадлежит определённому классу функций (например, была непрерывной или была монотонной). Однако, если функция $f(\mathbf {v} )$ непрерывна хотя бы в одной точке с ненулевым значением функции, то $g(\lambda )$ должна быть непрерывной функцией при всех значениях $\lambda ,$ и тем самым для широкого класса функций $f(\mathbf {v} )$ случай $g(\lambda )\equiv \lambda ^{q}$ — единственно возможный.

Обоснование:

Функция, тождественно равная нулю, удовлетворяет функциональному уравнению $f(\lambda \mathbf {v} )=g(\lambda )f(\mathbf {v} )$ при любом выборе функции $g(\lambda ),$ однако этот вырожденный случай не представляет особого интереса.

Если же в какой-то точке $\mathbf {v} _{0}$ значение $f(\mathbf {v} _{0})\neq 0,$ то:

1. $g(\lambda _{1}\lambda _{2})f(\mathbf {v} _{0})=f(\lambda _{1}\lambda _{2}\mathbf {v} _{0})=g(\lambda _{1})f(\lambda _{2}\mathbf {v} _{0})=g(\lambda _{1})g(\lambda _{2})f(\mathbf {v} _{0})$, откуда: $$\forall \lambda _{1},\lambda _{2}:g(\lambda _{1}\lambda _{2})=g(\lambda _{1})g(\lambda _{2});$$
2. $g(\lambda _{1}\lambda _{2})=g(\lambda _{1})g(\lambda _{2})\Leftrightarrow G(\mu _{1}+\mu _{2})=G(\mu _{1})+G(\mu _{2}),$ где $\mu =\log \lambda ,G(\mu )=\log g(\exp(\mu )).$

Функциональное уравнение Коши $G(\mu _{1}+\mu _{2})=G(\mu _{1})+G(\mu _{2})$ имеет решение в виде линейной функции: $G(t)=q\cdot t,$ причём для класса непрерывных или класса монотонных функций это решение единственное. Поэтому если известно, что $g(\lambda )$ непрерывная или монотонная функция, то $g(\lambda )\equiv \lambda ^{q}.$

Доказательство единственности решения функционального уравнения Коши

1. При рациональных $t=m/n$ справедливо $G(t\mu )=t\cdot G(\mu ),$ так как:

а) $G(2\mu )=G(\mu +\mu )=G(\mu )+G(\mu )=2G(\mu ),$ то есть $G(2\mu )=2G(\mu );$

б) $2G(\mu /2)=G(\mu /2)+G(\mu /2)=G(\mu /2+\mu /2)=G(\mu ),$ то есть $G(\mu /2)=(1/2)G(\mu );$

и т. д.;

2. Поскольку иррациональные числа, которые можно сколь угодно тесно «зажать» между двумя рациональными, то для непрерывных или для монотонных функций соотношение $G(t\mu )=t\cdot G(\mu )$ должно быть выполнено также и для иррациональных $t;$

3. Последний шаг: в соотношении $G(t\mu )=t\cdot G(\mu )$ следует задать $\mu =1.$

Примечание: для более широких классов функций у рассматриваемого функционального уравнения могут иметься и другие, весьма экзотические решения (см. статью «Базис Гамеля»).

Доказательство непрерывности $g(\lambda ),$ если $f(\mathbf {v} )$ непрерывна хотя бы в одной точке

Пусть функция $f(\mathbf {v} )$ непрерывна в фиксированной точке $\mathbf {v} _{0},$ причём $f(\mathbf {v} _{0})\neq 0.$ Рассмотрим тождество

$f((1+\varepsilon )\lambda _{0}\mathbf {v} _{0})=g((1+\varepsilon )\lambda _{0})f(\mathbf {v} _{0})=g(\lambda _{0})f((1+\varepsilon )\mathbf {v} _{0}).$

При $\varepsilon \to 0$ значение $f((1+\varepsilon )\mathbf {v} _{0})$ стремится к $f(\mathbf {v} _{0})$ в силу непрерывности функции $f(\mathbf {v} )$ в точке $\mathbf {v} _{0}.$ Поскольку $f(\mathbf {v} _{0})\neq 0,$ то это означает, что $g((1+\varepsilon )\lambda _{0})$ стремится к $g(\lambda _{0}),$ то есть что функция $g(\lambda )$ непрерывна в точке $\lambda _{0}.$ Поскольку $\lambda _{0}$ может быть выбрано любым, то $g(\lambda )$ непрерывна во всех точках.

Следствие: Если однородная функция $f(\mathbf {v} )$ непрерывна в точке $\mathbf {v} _{0},$ то $f(\mathbf {v} )$ будет непрерывной также во всех точках вида $\lambda \mathbf {v} _{0}$ (в том числе и тогда, когда $f(\mathbf {v} _{0})=0$).

Свойства

1. Если $f_{1},f_{2},\dots$ — однородные функции одного и того же порядка $q,$ то их линейная комбинация с постоянными коэффициентами будет однородной функцией того же порядка $q.$
2. Если $f_{1},f_{2},\dots$ — однородные функции с порядками $q_{1},q_{2},\dots ,$ то их произведение будет однородной функцией с порядком $q=q_{1}+q_{2}+\dots .$
3. Если $f$ — однородная функция порядка $q,$ то её $m$-ая степень (не обязательно целочисленная), если она имеет смысл (то есть если $m$ — целое число, или если значение $f$ положительно), будет однородной функцией порядка $mq$ на соответствующей области определения. В частности, если $f$ — однородная функция порядка $q$, то $1/f$ будет однородной функцией порядка $(-q)$ и областью определения в точках, где $f$ определена и не равна нулю.
4. Если $f\left(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}\right)$ — однородная функция порядка $p,$ а $h_{k}\left(y_{1},y_{2},\dots ,y_{m}\right)$ — однородные функции порядка $q,$ то суперпозиция функций $F\left(y_{1},y_{2},\dots ,y_{m}\right)=f\left(h_{1},h_{2},\dots ,h_{n}\right)$ будет однородной функцией порядка $pq.$
5. Если $f\left(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}\right)$ — однородная функция $n$ переменных степени $p,$ и гиперплоскость $x_{1}=x_{2}=\dots =x_{j}=0$ принадлежит её области определения, то функция $\left(n-j\right)$ переменных $g\left(x_{j+1},x_{j+2},\dots ,x_{n}\right)=f\left(0,\dots ,0,x_{j+1},\dots ,x_{n}\right)$ будет однородной функцией степени $p.$
6. Логарифм однородной функции нулевого порядка или логарифм модуля однородной функции нулевого порядка является однородной функцией нулевого порядка. Логарифм однородной функции или логарифм модуля однородной функции является однородной функцией тогда и только тогда, когда порядок однородности самой функции равен нулю.
7. Модуль однородной функции или модуль абсолютно-однородной функции является абсолютно-однородной функцией. Модуль однородной функции или модуль положительно однородной функции является положительно однородной функцией. Модуль однородной функции нулевого порядка является однородной функцией нулевого порядка. Абсолютно-однородная функция нулевого порядка является однородной функцией нулевого порядка, и наоборот.
8. Произвольная функция от однородной функции нулевого порядка является однородной функцией нулевого порядка.
9. Если $h_{k}\left(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}\right)$ —— положительно однородные функции порядка $p,$ где $p\neq 0,$ а $f\left(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}\right)=g\left(h_{1},h_{2},\dots ,h_{m}\right)$ —— положительно однородная функция порядка $q,$ то функция $g\left(y_{1},y_{2},\dots ,y_{m}\right)$ будет положительно однородной функцией порядка $q/p$ во всех точках $y$, в которых система уравнений $y_{1}=h_{1}\left(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}\right)$, ..., $y_{m}=h_{m}\left(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}\right)$ имеет решение. Если при этом $p$ —— нечётное целое число, то положительную однородность можно заменить на обычную однородность. Следствие: если имеется непрерывная или монотонная функция $g(y)$, причём $g\left(f\left(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}\right)\right)$ —— однородная или положительно однородная функция, где $f\left(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}\right)$ —— однородная или положительно однородная функция ненулевого порядка, то $g(y)=cy^{m}$ —— степенная функция во всех точках $y$, в которых уравнение $y=f\left(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}\right)$ имеет решение. В частности, $f(x)=cx^{q}$ —— единственная монотонная или непрерывная функция одного переменного, являющаяся однородной функцией порядка $q$ . (Доказательство дублирует рассуждения из раздела «Альтернативное определение однородной функции» этой статьи. При этом если снять ограничение, что функция $g(y)$ —— непрерывная или же монотонная, то могут иметься и другие, весьма экзотические решения для $g(y)$, см. статью «Базис Гамеля».)
10. Если функция  $f$  является многочленом от  $n$  переменных, то она будет однородной функцией степени  $q$  в том и только в том случае, когда  $f$ — однородный многочлен степени  $q.$  В частности, в этом случае порядок однородности $q$  должен быть натуральным числом или нулём. (Для доказательства надо сгруппировать вместе мономы многочлена $cx_{1}^{i_{1}}x_{2}^{i_{2}}\cdots x_{n}^{i_{n}}$ с одинаковыми порядками однородности $k_{j}=i_{1}+i_{2}+\dots +i_{n}$, подставить результат в равенство $(*)$ и использовать тот факт, что степенные функции $\lambda ^{k_{1}},\lambda ^{k_{2}},\dots$ с разными показателями степени, в том числе и нецелочисленными, являются линейно независимыми.) Утверждение можно обобщить на случай линейных комбинаций мономов вида $cx_{1}^{i_{1}}x_{2}^{i_{2}}\cdots x_{n}^{i_{n}}$ с нецелочисленными индексами.
11. Если конечное произведение многочленов является однородной функцией, то каждый сомножитель является однородным многочленом. (Для доказательства выберем в каждом сомножителе мономы $cx_{1}^{i_{1}}x_{2}^{i_{2}}\cdots x_{n}^{i_{n}}$ с минимальным и максимальным порядками однородности $k=i_{1}+i_{2}+\dots +i_{n}$. Поскольку после перемножения получившийся многочлен должен состоять из мономов с одним и тем же порядком однородности, то для каждого сомножителя минимальный и максимальный порядок однородности должен быть одним и тем же числом.) Утверждение можно обобщить на случай линейных комбинаций мономов вида $cx_{1}^{i_{1}}x_{2}^{i_{2}}\cdots x_{n}^{i_{n}}$ с нецелочисленными индексами.
12. Если числитель и знаменатель дробно-рациональной функции $f={\frac {P_{n}(x_{1},\dots ,x_{n})}{Q_{m}(x_{1},\dots ,x_{m})}}$ являются однородными многочленами, функция будет однородной с порядком однородности, равным разности порядков однородности числителя и знаменателя. Если дробно-рациональная функция является однородной, её числитель и знаменатель с точностью до общего множителя — однородные многочлены. Утверждение можно обобщить на случай дробно-рационального отношения линейных комбинаций мономов вида $cx_{1}^{i_{1}}x_{2}^{i_{2}}\cdots x_{n}^{i_{n}}$ с нецелочисленными индексами.
13. Однородная функция ненулевой степени в нуле равна нулю, если она там определена:  $f(\mathbf {0} )=0.$ (Получается при подстановке в равенство $(*)$ значения  $\lambda =0$  либо, в случае отрицательной степени однородности, значения $\mathbf {v} =0.$) Однородная функция нулевой степени, если она определена в нуле, может принимать в этой точке любое значение.
14. Если однородная функция нулевой степени непрерывна в нуле, то она является константой (произвольной). Если однородная функция отрицательной степени непрерывна в нуле, то она тождественный ноль. (Преобразованием $\mathbf {v'} =\lambda \mathbf {v}$ можно любую точку $\mathbf {v}$ сколь угодно близко приблизить к нулю. Поэтому если функция в нуле непрерывна, то можно выразить значение функции в точке $\mathbf {v}$ через её значение в точке $\mathbf {0}$ с помощью соотношения $\lim _{\lambda \to 0}\lambda ^{q}f(\mathbf {v} )=f(\mathbf {0} ).$)
15. Однородная функция положительной степени в нуле стремится к нулю по любому направлению, которое входит в её область определения, а однородная функция отрицательной степени —— к бесконечности, знак которой зависит от направления, если только функция не является тождественным нулём вдоль данного направления. Однородная функция положительной степени непрерывна в нуле или может быть доопределена до непрерывной в нуле, если в её область определения входит $\varepsilon$-окрестность нуля. Однородная функция нулевой степени может быть как разрывна, так и непрерывна в нуле, и в случае разрывности является константой, зависящей от направления, вдоль каждого луча с вершиной в начале координат, если направление входит в её область определения. (Получается при подстановке в равенство $(*)$ значения  $\lambda \to 0.$)
16. Если однородная функция $f$ в нуле является аналитической (то есть, разлагается в сходящийся ряд Тейлора с ненулевым радиусом сходимости), то она является многочленом (однородным многочленом). В частности, в этом случае порядок однородности должен быть натуральным числом или нулём. (Для доказательства достаточно представить функцию в виде ряда Тейлора, сгруппировать вместе члены ряда Тейлора $cx_{1}^{i_{1}}x_{2}^{i_{2}}\cdots x_{n}^{i_{n}}$ с одинаковыми порядками однородности $k_{j}=i_{1}+i_{2}+\dots +i_{n}$, подставить результат в равенство $(*)$ и использовать, что степенные функции $\lambda ^{k_{1}},\lambda ^{k_{2}},\dots$ с разными показателями степени, в том числе и нецелочисленными, являются линейно независимыми.)
17. Функция  $f(x_{1},x_{2},...,x_{n})=x_{1}^{q}\cdot h(x_{2}/x_{1},x_{3}/x_{1},...,x_{n}/x_{1})$ , где  $h(t_{2},t_{3},...,t_{n})$ — функция  $(n-1)$  переменных, является однородной функцией с порядком однородности  $q.$  Функция  $f(x_{1},x_{2},...,x_{n})=|x|^{q}\cdot h(x_{2}/x_{1},x_{3}/x_{1},...,x_{n}/x_{1}),$  где  $h(t_{2},t_{3},...,t_{n})$ — функция  $(n-1)$  переменных, является абсолютно-однородной функцией с порядком однородности  $q.$ 
18. Соотношение Эйлера: для дифференцируемых однородных функций скалярное произведение их градиента на вектор своих переменных пропорционально самой функции с коэффициентом, равным порядку однородности:  $\mathbf {v} \cdot \nabla f(\mathbf {v} )=qf(\mathbf {v} )$  или, в эквивалентной записи,  $\sum x_{k}f'_{x_{k}}=qf.$  Получается при дифференцировании равенства $(*)$ по  $\lambda$  при  $\lambda =1.$ 
19. Если  $f(x_{1},x_{2},...,x_{n})$ — дифференцируемая однородная функция c порядком однородности  $q$ , то её первые частные производные по каждой из независимых переменных $f'_{x_{k}}(x_{1},x_{2},...,x_{n})$ — это однородные функции c порядком однородности  $q-1$.  Для доказательства достаточно продифференцировать по  $x_{k}$  правую и левую части тождества  $f(\lambda x_{1},\lambda x_{2},\ldots ,\lambda x_{n})=\lambda ^{q}f(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})$  и получить тождество  $f'_{x_{k}}(\lambda x_{1},\lambda x_{2},\ldots ,\lambda x_{n})=\lambda ^{q-1}f'_{x_{k}}(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}).$ 
20. Если  $f(x_{1},x_{2},...,x_{n})$ — однородная функция c порядком однородности  $q$ , то её интеграл (при условии существования такого интеграла) по любой независимой переменной начиная от нуля $F(x_{1},x_{2},...,x_{n})=\int _{0}^{x_{1}}f(t,x_{2},...,x_{n})dt$  — это однородные функции c порядком однородности  $q+1.$ Доказательство: $F(\lambda x_{1},\lambda x_{2},...,\lambda x_{n})=$$\int _{0}^{\lambda x_{1}}f(t,\lambda x_{2},...,\lambda x_{n})dt=$$\lambda \int _{0}^{x_{1}}f(\lambda t',\lambda x_{2},...,\lambda x_{n})dt'=$$\lambda ^{q+1}\int _{0}^{x_{1}}f(t',x_{2},...,x_{n})dt'=$$\lambda ^{q+1}F(x_{1},x_{2},...,x_{n})$ (здесь сделана замена переменной интегрирования $t=\lambda t'$).
21. Если  $f(x_{1},x_{2},...,x_{n})$ — однородная функция c порядком однородности  $q$ , то её дробная производная (дифферинтеграл) порядка $\alpha$, вычисляемая как $G(x_{1},x_{2},...,x_{n})={\frac {1}{\Gamma (n-\alpha )}}{\frac {d^{n}}{dx_{1}^{n}}}\int _{0}^{x_{1}}(x_{1}-t)^{n-\alpha -1}f(t,x_{2},...,x_{n})\,dt$ по любой независимой переменной начиная от нуля (при условии существования соответствующего интеграла, для чего требуется выбирать $n>\alpha$) — это однородные функции c порядком однородности  $q-\alpha .$ Рассмотрим функцию $H(x_{1},x_{2},...,x_{n})=\int _{0}^{x_{1}}(x_{1}-t)^{n-\alpha -1}f(t,x_{2},...,x_{n})\,dt$ . Тогда $H(\lambda x_{1},\lambda x_{2},...,\lambda x_{n})=$$\int _{0}^{\lambda x_{1}}(\lambda x_{1}-t)^{n-\alpha -1}f(t,\lambda x_{2},...,\lambda x_{n})\,dt=$$\lambda \int _{0}^{x_{1}}(\lambda x_{1}-\lambda t')^{n-\alpha -1}f(\lambda t',\lambda x_{2},...,\lambda x_{n})\,dt'=$$\lambda ^{q+n-\alpha }\int _{0}^{x_{1}}(x_{1}-t')^{n-\alpha -1}f(t',x_{2},...,x_{n})dt'=$$\lambda ^{q+n-\alpha }H(x_{1},x_{2},...,x_{n})$ (здесь сделана замена переменной интегрирования $t=\lambda t'$). После $n$-кратного дифференцирования по переменной $x_{1}$ однородная функция $H(x_{1},x_{2},...,x_{n})$ порядка $q+n-\alpha$ становится однородной функцией c порядком однородности  $q-\alpha$ .
22. Если  $f(x_{1},x_{2},...,x_{n})$ — однородная функция c порядком однородности  $q$ , то её $n$-мерная свёртка с обобщённым Абелевым ядром, вычисляемая как $H(x_{1},x_{2},...,x_{n})=\int _{0}^{x_{1}}\dots \int _{0}^{x_{n}}(x_{1}^{k_{1}}-t_{1}^{k_{1}})^{\left(\mu _{1}-1\right)/k_{1}}\dots (x_{n}^{k_{n}}-t_{n}^{k_{n}})^{\left(\mu _{n}-1\right)/k_{n}}f(t_{1},...,t_{n})\,dt_{1}\dots dt_{n}$ (при условии существования соответствующего интеграла) — это однородная функция c порядком однородности  $q+\mu _{1}+\dots +\mu _{n}$ . Доказательство: $H(\lambda x_{1},\lambda x_{2},...,\lambda x_{n})=$$\int _{0}^{\lambda x_{1}}\dots \int _{0}^{\lambda x_{n}}(\lambda ^{k_{1}}x_{1}^{k_{1}}-t_{1}^{k_{1}})^{\left(\mu _{1}-1\right)/k_{1}}\dots (\lambda ^{k_{n}}x_{n}^{k_{n}}-t_{n}^{k_{n}})^{\left(\mu _{n}-1\right)/k_{n}}f(t_{1},...,t_{n})\,dt_{1}\dots dt_{n}=$$\lambda ^{n}\int _{0}^{x_{1}}\dots \int _{0}^{x_{n}}(\lambda ^{k_{1}}x_{1}^{k_{1}}-\lambda ^{k_{1}}t_{1}'^{k_{1}})^{\left(\mu _{1}-1\right)/k_{1}}\dots (\lambda ^{k_{n}}x_{n}^{k_{n}}-\lambda ^{k_{n}}t_{n}'^{k_{n}})^{\left(\mu _{n}-1\right)/k_{n}}f(\lambda t_{1}',...,\lambda t_{n}')\,dt_{1}'\dots dt_{n}'=$$\lambda ^{q+\mu _{1}+\dots +\mu _{n}}\int _{0}^{x_{1}}\dots \int _{0}^{x_{n}}(x_{1}^{k_{1}}-t_{1}'^{k_{1}})^{\left(\mu _{1}-1\right)/k_{1}}\dots (x_{n}^{k_{n}}-t_{n}'^{k_{n}})^{\left(\mu _{n}-1\right)/k_{n}}f(t_{1}',...,t_{n}')\,dt_{1}'\dots dt_{n}'=$$\lambda ^{q+\mu _{1}+\dots +\mu _{n}}H(x_{1},x_{2},...,x_{n})$ , где сделана замена переменных интегрирования $t_{k}=\lambda t_{k}'$ . (Примечание: возможно выполнение свёртки только по части переменных.)

Теорема. Любая однородная функция с порядком однородности $q$ может быть представлена в форме

     $f(x_{1},x_{2},...,x_{n})=x_{1}^{q}\cdot h(x_{2}/x_{1},x_{3}/x_{1},...,x_{n}/x_{1}),$ 

где  $h(t_{2},t_{3},...,t_{n})$ — некоторая функция  $(n-1)$  переменных. Любая абсолютно-однородная функция с порядком однородности  $q$  может быть представлена как

  $f(x_{1},x_{2},...,x_{n})=|x|^{q}\cdot h(x_{2}/x_{1},x_{3}/x_{1},...,x_{n}/x_{1}),$ 

где  $h(t_{2},t_{3},...,t_{n})$ — некоторая функция  $(n-1)$  переменных.

Доказательство.

Возьмём однородную функцию $g(x_{1},x_{2},...,x_{n})$ нулевой степени. Тогда при выборе $\lambda =1/x_{1}$ получим частный вариант требуемого соотношения:

$g(x_{1},x_{2},...,x_{n})=g(\lambda x_{1},\lambda x_{2},...,\lambda x_{n})=g(1,x_{2}/x_{1},...,x_{n}/x_{1})=h(x_{2}/x_{1},...,x_{n}/x_{1}).$

Для однородной функции $f(x_{1},x_{2},...,x_{n})$ степени $q\neq 0,$ функция $g(x_{1},x_{2},...,x_{n})=f(x_{1},x_{2},...,x_{n})/x_{1}^{q}$ окажется однородной функцией нулевой степени. Поэтому $g(x_{1},...,x_{n})=h(x_{2}/x_{1},...,x_{n}/x_{1})$ и $f(x_{1},...,x_{n})=x_{1}^{q}\cdot h(x_{2}/x_{1},...,x_{n}/x_{1}).$

Следствие. Любая однородная функция степени $q$ (абсолютно-однородная функция степени $q$) может быть представлена в форме

     $f(x_{1},x_{2},...,x_{n})=\phi (x_{1},x_{2},...,x_{n})\cdot h(\phi _{1}(x_{1},x_{2},...,x_{n}),\phi _{2}(x_{1},x_{2},...,x_{n}),...,\phi _{n-1}(x_{1},x_{2},...,x_{n})),$ 

где  $h(t_{1},t_{2},...,t_{n-1})$ — некоторая подходящая функция  $(n-1)$  переменных, $\phi (x_{1},x_{2},...,x_{n})$ — фиксированная однородная функция степени $q$ (фиксированная абсолютно-однородная функция степени $q$), а $\phi _{1}(x_{1},x_{2},...,x_{n}),$ $\phi _{2}(x_{1},x_{2},...,x_{n}))$, ..., $\phi _{n-1}(x_{1},x_{2},...,x_{n}))$ — фиксированные функционально-независимые однородные функции нулевой степени. При фиксированном выборе функций $\phi ,\phi _{1},\phi _{2},...,\phi _{n-1}$ это представление задаёт взаимно-однозначное соответствие между однородными функциями $f(x_{1},x_{2},...,x_{n})$ степени $q$ от $n$ переменных и функциями $h(t_{1},t_{2},...,t_{n-1})$ от $(n-1)$ переменных.

Теорема Эйлера для однородных функций. Для того, чтобы дифференцируемая функция  $f(x_{1},x_{2},...,x_{n})$  была однородной функцией с порядком однородности  $q,$  необходимо и достаточно выполнение соотношения Эйлера

 $\sum x_{k}f'_{x_{k}}(x_{1},x_{2},...,x_{n})=qf(x_{1},x_{2},...,x_{n}).$ 

Доказательство.

Необходимость получается из дифференцирования равенства $(*)$ при  $\lambda =1.$  Для доказательства достаточности возьмём функцию  $\varphi (\lambda )=\lambda ^{-q}f(\lambda x_{1},\lambda x_{2},...,\lambda x_{n})$  при «замороженных»  $x_{1},x_{2},...,x_{n}.$  Продифференцируем её по  $\lambda :$ 

 $\varphi '(\lambda )=-q\lambda ^{-q-1}f(\lambda x_{1},\lambda x_{2},...,\lambda x_{n})+\lambda ^{-q}\sum f'_{x_{k}}(\lambda x_{1},\lambda x_{2},...,\lambda x_{n})x_{k}.$ 

В силу условия  $\sum (\lambda x_{k})\cdot f'_{x_{k}}(\lambda x_{1},\lambda x_{2},...,\lambda x_{n})=qf(\lambda x_{1},\lambda x_{2},...,\lambda x_{n})$  получаем  $\varphi '(\lambda )=0$  и  $\varphi (\lambda )=c=const.$  Константу  $c$  определяем из условия  $\varphi (1)=f(x_{1},x_{2},...,x_{n}).$  В результате  $\lambda ^{q}\varphi (\lambda )=f(\lambda x_{1},\lambda x_{2},...,\lambda x_{n})=\lambda ^{q}f(x_{1},x_{2},...,x_{n}).$ 

Следствие. Если функция дифференцируема и в каждой точке пространства соотношение однородности $(*)$ справедливо в некотором интервале значений  $\lambda \in \left[\lambda _{0}-\varepsilon ,\lambda _{0}+\varepsilon \right]\subset \left[0,\infty \right),$  то оно справедливо для всех  $\lambda >0.$ 

Доказательство.

Продифференцируем соотношение $(*)$ по  $\lambda$  в точке  $\lambda =\lambda _{0}:$ 

 $\sum x_{k}f'_{x_{k}}(\lambda _{0}x_{1},\lambda _{0}x_{2},...,\lambda _{0}x_{n})=q\lambda _{0}^{q-1}f(x_{1},x_{2},...,x_{n})={\frac {q}{\lambda _{0}}}f(\lambda _{0}x_{1},\lambda _{0}x_{2},...,\lambda _{0}x_{n}).$ 

Это значит, что в точке  $y_{k}=\lambda _{0}x_{k}$  выполнено соотношение Эйлера, причём в силу произвольности точки  $(x_{1},x_{2},...,x_{n})$  точка  $(y_{1},y_{2},...,y_{n})$  тоже произвольна. Повторив приведённое выше доказательство теоремы Эйлера об однородной функции, мы получим, что в точке  $(y_{1},y_{2},...,y_{n})$  выполнено соотношение однородности, причём для произвольного  $\lambda >0.$  Точку  $(x_{1},x_{2},...,x_{n})$  можно выбрать так, чтобы точка  $(y_{1},y_{2},...,y_{n})$  совпала с любой наперед заданной точкой пространства. Следовательно, в каждой точке пространства соотношение $(*)$ выполняется при любом  $\lambda >0.$ 

Лямбда-однородные функции

Пусть задан вектор  $\mathbf {\lambda } =(\lambda _{1},\lambda _{2},...,\lambda _{n}).$  Функция $n$ переменных  $f(x_{1},x_{2},...,x_{n})$  называется $\lambda$-однородной c порядком однородности  $q$ , если при любых  $t>0$  и любых  $\mathbf {x} =(x_{1},x_{2},...,x_{n})\in {\mathbb {R} }^{n}$  справедливо тождество

$f(t^{\lambda _{1}}x_{1},t^{\lambda _{2}}x_{2},...,t^{\lambda _{n}}x_{n})=t^{q}f(x_{1},x_{2},...,x_{n}).$

При  $\lambda _{k}=1$  $\lambda$-однородные функции переходят в обычные однородные функции. Иногда вместо порядка однородности  $q$  вводят степень однородности  $m$,  определяемую из соотношения

$f(t^{\lambda _{1}}x_{1},t^{\lambda _{2}}x_{2},...,t^{\lambda _{n}}x_{n})=t^{m{\frac {|\mathbf {\lambda } |}{n}}}f(x_{1},x_{2},...,x_{n}),$

где  $|\mathbf {\lambda } |=\sum |\lambda _{k}|.$  Для обычных однородных функций порядок однородности  $q$  и степень однородности  $m$  совпадают.

Если частные производные  $f'_{x_{k}}(x_{1},x_{2},...,x_{n})$  непрерывны в $\mathbb {R} ^{n}$, то для $\lambda$-однородных функций справедливо соотношение, обобщающее соотношение Эйлера и получающееся при дифференцировании тождества для  $\lambda$-однородности в точке  $t=1$:

$\sum \lambda _{x}x_{k}f'_{x_{k}}(x_{1},x_{2},...,x_{n})=qf(x_{1},x_{2},...,x_{n}).$

Как и в случае обычных однородных функций, это соотношение является необходимым и достаточным, чтобы функция  $f(x_{1},x_{2},...,x_{n})$  была $\lambda$-однородной функцией с вектором  $(\lambda _{1},\lambda _{2},...,\lambda _{n})$  и порядком однородности  $q.$  Для доказательства достаточности надо рассмотреть функцию  $\varphi (t)=t^{-q}f(t^{\lambda _{1}}x_{1},t^{\lambda _{2}}x_{2},...,t^{\lambda _{n}}x_{n})$  и убедиться, что при выполнении указанного дифференциального соотношения её производная равна нулю, то есть что эта функция константа и что  $\varphi (t)\equiv \varphi (1).$

Если  $f(x_{1},x_{2},...,x_{n})$ — $\lambda$-однородная функция с вектором  $\mathbf {\lambda } =(\lambda _{1},\lambda _{2},...,\lambda _{n})$  и порядком однородности  $q$,  то она же является $\lambda$-однородной функцией с вектором $\mathbf {\lambda } =(\alpha \lambda _{1},\alpha \lambda _{2},...,\alpha \lambda _{n})$  и порядком однородности  $\alpha q$  (следует из подстановки в тождество для $\lambda$-однородности нового параметра  $t'\to t^{\alpha }$). В силу этого при рассмотрении $\lambda$-однородных функций достаточно ограничиваться случаем  $\sum |\lambda _{k}|=const.$  В частности, нормировка  $\sum |\lambda _{k}|$  может выбираться таким образом, чтобы порядок однородности  $q$  был равен заранее фиксированному значению. Кроме того, без ограничения общности можно считать, что  $\lambda _{k}\neq 0.$ 

При замене переменных  $x_{k}=y_{k}^{\lambda _{k}}$  $\lambda$-однородная функция  $f(x_{1},x_{2},...,x_{n})$  с вектором  $\mathbf {\lambda } =(\lambda _{1},\lambda _{2},...,\lambda _{n})$  и порядком однородности  $q$  переходит в обычную однородную функцию  $g(y_{1},y_{2},...,y_{n})$  с порядком однородности  $q$.  Отсюда следует, что общее представление для $\lambda$-однородных функций с вектором  $\mathbf {\lambda } =(\lambda _{1},\lambda _{2},...,\lambda _{n})$  и порядком однородности  $q$  имеет вид:

$f(x_{1},x_{2},...,x_{n})=x_{1}^{q/\lambda _{1}}\cdot h(x_{2}^{1/\lambda _{2}}/x_{1}^{1/\lambda _{1}},x_{3}^{1/\lambda _{3}}/x_{1}^{1/\lambda _{1}},\ldots ,x_{n}^{1/\lambda _{n}}/x_{1}^{1/\lambda _{1}}),$

где $h(t_{2},t_{3},...,t_{n})$ — некоторая функция $(n-1)$ переменных.

Источник: Я. С. Бугров, С. М. Никольский, Высшая математика: учебник для вузов (в 3 т.), Т.2: Дифференциальное и интегральное исчисление (http://www.sernam.ru/lect_math2.php Архивная копия от 1 октября 2012 на Wayback Machine), раздел 8.8.4.

Оператор Эйлера

Дифференциальный оператор

$x_{1}{\frac {\partial f}{\partial x_{1}}}+x_{2}{\frac {\partial f}{\partial x_{2}}}+\ldots +x_{n}{\frac {\partial f}{\partial x_{n}}}$

иногда называют оператором Эйлера, по аналогии с тождеством Эйлера для однородных функций. Из теоремы Эйлера для однородных функций, приведённой выше, следует, что собственными функциями этого оператора являются однородные функции и только они, причём собственным значением для такой функции является её порядок однородности.

Соответственно, функциями, обращающими оператор Эйлера в константу, являются логарифмы однородных функций и только они. Функциями, обращающими оператор Эйлера в ноль, являются однородные функции нулевого порядка и только они (логарифм однородной функции нулевого порядка сам является однородной функцией нулевого порядка).

Аналогичным образом для дифференциального оператора

$\lambda _{1}x_{1}{\frac {\partial f}{\partial x_{1}}}+\lambda _{2}x_{2}{\frac {\partial f}{\partial x_{2}}}+\ldots +\lambda _{n}x_{n}{\frac {\partial f}{\partial x_{n}}}$

собственными функциями являются $\lambda$-однородные функции с вектором  $(\lambda _{1},\lambda _{2},\ldots ,\lambda _{n})$  и только они, причём собственным значением является порядок однородности $\lambda$-однородной функции. В константу же этот дифференциальный оператор обращают логарифмы $\lambda$-однородных функций с вектором  $(\lambda _{1},\lambda _{2},\ldots ,\lambda _{n})$, и никакие другие функции.

Дальнейшим обобщением оператора Эйлера служит дифференциальный оператор

$\lambda _{1}x_{1}^{\mu _{1}}{\frac {\partial f}{\partial x_{1}}}+\lambda _{2}x_{2}^{\mu _{2}}{\frac {\partial f}{\partial x_{2}}}+\ldots +\lambda _{n}x_{n}^{\mu _{n}}{\frac {\partial f}{\partial x_{n}}},$

который сводится к оператору Эйлера $y_{1}{\frac {\partial f}{\partial y_{1}}}+y_{2}{\frac {\partial f}{\partial y_{2}}}+\ldots +y_{n}{\frac {\partial f}{\partial y_{n}}}$ заменой $y_{k}=\exp \left({\frac {x^{1-\mu _{k}}}{\lambda _{k}\left(1-\mu _{k}\right)}}\right)$ при $\mu _{k}\neq 1;$ $y_{k}=x^{1/\lambda _{k}}$ при $\mu _{k}=1.$ Также к оператору Эйлера с помощью замены $y_{k}=\exp \left(\int _{a_{k}}^{x}{\frac {dt}{h_{k}(t)}}\right)$ сводятся все дифференциальные операторы вида $h_{1}(x_{1}){\frac {\partial f}{\partial x_{1}}}+h_{2}(x_{2}){\frac {\partial f}{\partial x_{2}}}+\ldots +h_{n}(x_{n}){\frac {\partial f}{\partial x_{n}}}.$

Источник: Chi Woo, Igor Khavkine, Euler’s theorem on homogeneous functions Архивная копия от 2 августа 2012 на Wayback Machine (PlanetMath.org)

Ограниченно однородные функции

Функция  $f(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}):\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$  называется ограниченно однородной с показателем однородности  $q$  относительно множества положительных вещественных чисел  $\Lambda$  (называемого множеством однородности), если для всех  ${\vec {x}}\in \mathbb {R} ^{n}$  и для всех  $\lambda \in \Lambda$  справедливо тождество

$f(\lambda {\vec {x}})=\lambda ^{q}f({\vec {x}}).$

Множество однородности  $\Lambda$  всегда содержит в себе единицу. Множество однородности  $\Lambda$  не может включать в себя сколь угодно малый непрерывный отрезок  $\lambda \in \left[\lambda _{0}-\varepsilon ,\lambda _{0}+\varepsilon \right]$ — в противном случае ограниченно однородная функция оказывается обычной однородной функцией (см. далее раздел «Некоторые функциональные уравнения, связанные с однородными функциями»). Поэтому интерес представляют те ограниченно однородные функции, у которых  $\Lambda \neq \{1\}$  и у которых множество однородности  $\Lambda$  сугубо дискретно.

Пример 1. Функция  $f(x)=x^{q}\sin(\log |x|)$  является ограниченно однородной с показателем однородности  $q$  относительно множества  $\Lambda =\{e^{2\pi m}\},$  где  $m$ — целые числа.

Пример 2. Функция  $f(x,y,z)=(x^{2}+2y^{2}+3z^{2})^{q/2}\cos(\log {\sqrt {x^{2}-xy+y^{2}}})$  является ограниченно однородной с показателем однородности  $q$  относительно множества  $\Lambda =\{e^{2\pi k}\},$  где  $k$ — целые числа.

Теорема. Чтобы функция  $f(x_{1},x_{2},...,x_{n}),$  определённая при  $x_{1}>0,$  была ограниченно однородной с порядком однородности  $q,$  необходимо и достаточно, чтобы она имела вид

 $f(x_{1},x_{2},...,x_{n})=x_{1}^{q}\cdot H(\log x_{1},x_{2}/x_{1},x_{3}/x_{1},\ldots ,x_{n}/x_{1}),$ 

где  $H(y,t_{2},t_{3},\ldots ,t_{n})$ — функция, периодическая по переменной  $y$  с по крайней мере одним периодом, не зависящим от  $t_{2},t_{3},\ldots ,t_{n}.$  В таком случае множество однородности  $\Lambda$  состоит из чисел  $\{e^{Y_{k}}\},$  где  $Y_{k}$ — периоды функции  $H(y,t_{2},t_{3},\ldots ,t_{n}),$  не зависящие от  $t_{2},t_{3},\ldots ,t_{n}.$ 

Доказательство. Достаточность проверяется непосредственно, надо доказать необходимость. Сделаем замену переменных

 $x_{1},x_{2},...,x_{n}\to x_{1},t_{2},...,t_{n},$  где  $t_{k}=x_{k}/x_{1},$ 

так что  $f(x_{1},x_{2},...,x_{n})=g(x_{1},t_{2},...,t_{n}).$  Если теперь рассмотреть функцию  $h(x_{1},t_{2},...,t_{n})=g(x_{1},t_{2},...,t_{n})/x_{1}^{q},$  то из условия однородности получаем для всех допустимых  $x_{1}$  равенство

 $h(\lambda x_{1},t_{2},...,t_{n})=h(x_{1},t_{2},t_{3},...,t_{n}),$ 

которое будет справедливым, когда  $\lambda \in \Lambda .$  Если только множество  $\Lambda$  не состоит из одной лишь единицы, то после замены  $x_{1}=\exp(y)$  функция

 $H(y,t_{2},...,t_{n})=H(\log x_{1},t_{2},...,t_{n})=h(x_{1},t_{2},...,t_{n})$ 

оказывается периодической по переменной  $y$  с ненулевым периодом  $\log \lambda$  для любого выбранного фиксированным образом  $\lambda \in \Lambda ,$  поскольку из приведённого выше равенства следует соотношение

 $H(\log x_{1}+\log \lambda ,t_{2},...,t_{n})=H(\log x_{1},t_{2},...,t_{n}).$ 

Очевидно, что выбранное фиксированное значение $\log \lambda$  будет периодом функции  $H(y,t_{2},...,t_{n})$  сразу при всех  $t_{2},...,t_{n}.$ 

Следствия:

1. Если имеется наименьший положительный период  $Y>0,$  не зависящий от  $t_{2},t_{3},\ldots ,t_{n},$  то множество однородности  $\Lambda$  имеет вид  $\{e^{mY}\},$  где  $m=0,\pm 1,\pm 2,\dots$ — произвольные целые числа. (Если  $Y$ — наименьший положительный период функции  $H(y,...),$  то и все  $Y_{m}=mY$ — её периоды, поэтому числа  $\{e^{mY}\}$  будут входить в множество однородности. Если же найдётся такое значение однородности  $\lambda _{*}=e^{Y_{*}},$  что  $e^{mY}<e^{Y_{*}}<e^{(m+1)Y},$  то  $Y_{*}-mY$  окажется положительным периодом, не зависящим от  $t_{2},...,t_{n},$  который будет меньше, чем  $Y.$ )
2. Если функция  $H(y,\ldots )$ — это константа по переменной  $y,$  то у неё нет наименьшего положительного периода (любое положительное число является её периодом). В этом случае  $H(y,\ldots )$  не зависит от переменной  $y,$  и функция
       $f(x_{1},x_{2},...,x_{n})=x_{1}^{q}\cdot H(x_{2}/x_{1},x_{3}/x_{1},\ldots ,x_{n}/x_{1})$ 
   — это обычная положительно однородная функция (по меньшей мере). Множество однородности  $\Lambda$  в этом случае — вся положительная полуось  $\lambda >0$  (по меньшей мере).
3. Возможны экзотические случаи, когда у периодической функции  $H(y,...)$  не имеется наименьшего положительного периода, но при этом она и не является константой. Например, у функции Дирихле, равной 1 в рациональных точках и равной 0 в иррациональных точках, периодом является любое рациональное число. В таком случае множество однородности  $\Lambda$  может иметь достаточно сложную структуру. Однако если при каждом наборе значений  $t_{2},t_{3},\ldots ,t_{n}$  у периодической функции  $H(y,...)$  есть предел по переменной  $y$  хотя бы в одной точке, эта функция либо имеет наименьший положительный период (а все остальные периоды — кратные наименьшего положительного периода), либо является константой по переменной  $y.$ 
4. Ограниченно однородные функции, определённые при  $x<0,$  имеют вид
       $f(x_{1},x_{2},...,x_{n})=(-x_{1})^{q}\cdot H(\log(-x_{1}),x_{2}/x_{1},x_{3}/x_{1},\ldots ,x_{n}/x_{1})$ 
   с надлежащим образом выбранной функцией  $H(y,t_{2},t_{3},\ldots ,t_{n}),$  периодической по переменной  $y.$ 
5. Ограниченно однородные функции, определённые на всей числовой оси за вычетом точки  $x=0,$  имеют вид
       $f(x_{1},x_{2},...,x_{n})=|x_{1}|^{q}\cdot H_{\pm }(\log |x_{1}|,x_{2}/x_{1},x_{3}/x_{1},\ldots ,x_{n}/x_{1}),$ 
   с надлежащим образом выбранной функцией  $H_{\pm }(y,t_{2},t_{3},\ldots ,t_{n}),$  периодической по переменной  $y$  (где обозначение  $H_{\pm }(\ldots )$  подчёркивает, что для интервала значений  $x_{1}>0$  и для интервала значений  $x_{1}<0$  выбираются, вообще говоря, разные периодические функции $H(y)$, каждая с областью определения $y\in (-\infty ,+\infty )$, но обязательно имеющие при этом один и тот же период).
6. Формула  $f(x_{1},...,x_{n})=x_{1}^{q}\cdot H(\log |x_{1}|,x_{2}/x_{1},\ldots ,x_{n}/x_{1}),$  является универсальной, но не отражает равноправность всех переменных. Можно представить функцию  $H(y,t_{2},\dots ,t_{n}\ldots )$  как  $G\left(w\cdot y+\log W(t_{2},\dots ,t_{n}),t_{2},\dots ,t_{n}\right),$  где период функции  $G\left(t,t_{2},\dots ,t_{n}\right)$  равен  $2\pi ,$  нормировочный множитель  $w$  не зависит от  $t_{2},\dots ,t_{n},$  а функция  $W(t_{2},\dots ,t_{n})$  выбрана фиксированной. При такой записи ограниченно однородные функции приобретают вид
       $f(x_{1},...,x_{n})=F(\log Q(x_{1},\ldots ,x_{n}),x_{1},\ldots ,x_{n}),$ 
   где  $F(y,x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})$ — однородная функция с показателем однородности  $q$  по переменным  $x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}$  и периодическая с периодом  $2\pi$  по переменной  $y,$   $Q(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}),$ — фиксированная однородная функция с показателем однородности  $w$  по переменным  $x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n},$  а множество однородности имеет вид  $\Lambda =\{e^{2\pi m/w}\},$  где  $m=0,\pm 1,\pm 2,\dots$ — произвольные целые числа.
7. Разлагая периодическую функцию  $F(y,x_{1},\ldots ,x_{n})$  из предыдущего пункта в ряд Фурье, можно получить выражение
       $A_{0}(x_{1},\ldots ,x_{n})+\sum A_{k}(x_{1},\ldots ,x_{n})\cos k\log Q(x_{1},\ldots ,x_{n})+B_{k}(x_{1},\ldots ,x_{n})\sin k\log Q(x_{1},\ldots ,x_{n}),$ 
   где  $A_{k}(x_{1},\ldots ,x_{n})$  и  $B_{k}(x_{1},\ldots ,x_{n})$ — произвольные однородные функции с показателем однородности  $q,$   $Q(x_{1},\ldots ,x_{n})$ — произвольным образом фиксированная однородная функция с показателем однородности  $w,$  а множество однородности  $\Lambda =\{e^{mY}\},$  записано как  $\Lambda =\{e^{2\pi m/w}\},$  где  $m$ — целые числа. Эта формула является самым общим способом записи для кусочно-непрерывных ограниченно однородных функций с порядком однородности  $q$  и множеством однородности  $\Lambda =\{e^{2\pi m/w}\}.$  В частности, замена фиксированной функции  $Q(x_{1},\ldots ,x_{n})$  на набор произвольных однородных функций  $Q_{k}(x_{1},\ldots ,x_{n})$  не прибавит данной формуле общности, но лишь разнообразит форму представления для одной и той же ограниченно однородной функции.

Библиография: Konrad Schlude, Bemerkung zu beschränkt homogenen Funktionen. — Elemente der Mathematik 54 (1999).

Источник информации: J.Pahikkala. Boundedly homogeneous function Архивная копия от 23 августа 2012 на Wayback Machine (PlanetMath.org).

Присоединённые однородные функции

[раздел пока не написан]

Источник: И. М. Гельфанд, З. Я. Шапиро. Однородные функции и их приложения. Успехи математических наук, т. 10 (1955) вып. 3, стр. 3—70.

Взаимно однородные функции

[раздел пока не написан]

Источник: И. М. Гельфанд, З. Я. Шапиро. Однородные функции и их приложения. Успехи математических наук, т. 10 (1955) вып. 3, стр. 3—70.

Некоторые функциональные уравнения, связанные с однородными функциями

1. Пусть

 $f\left(\lambda x_{1},\lambda x_{2},\dots ,\lambda x_{n}\right)=C\left(\lambda \right)f\left(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}\right)$ 

при некоторой функции  $C\left(\lambda \right)$  на интервале  $\lambda \in \left[\lambda _{0}-\varepsilon ,\lambda _{0}+\varepsilon \right].$  Какова должна быть функция  $f\left(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}\right)?$ 

Решение. Продифференцируем обе стороны этого соотношения по  $\lambda .$  Получим

 $x_{1}{\frac {\partial f(\lambda x_{1},\dots ,\lambda x_{n})}{\partial (\lambda x_{1})}}+x_{2}{\frac {\partial f(\lambda x_{1},\dots ,\lambda x_{n})}{\partial (\lambda x_{2})}}+\dots +x_{n}{\frac {\partial f(\lambda x_{1},\dots ,\lambda x_{n})}{\partial (\lambda x_{n})}}={\frac {\partial C\left(\lambda \right)}{\partial \lambda }}f(x_{1},\dots ,x_{n}).$ 

Продифференцируем обе стороны этого же соотношения по  $x_{k},$  получим соотношения

 $\lambda {\frac {\partial f(\lambda x_{1},\dots ,\lambda x_{n})}{\partial (\lambda x_{k})}}=C\left(\lambda \right){\frac {\partial f(x_{1},\dots ,x_{n})}{\partial x_{k}}}.$ 

Отсюда

 ${\frac {1}{f(x_{1},\dots ,x_{n})}}\left(x_{1}{\frac {\partial f(x_{1},\dots ,x_{n})}{\partial x_{1}}}+\dots +x_{n}{\frac {\partial f(x_{1},\dots ,x_{n})}{\partial x_{n}}}\right)={\frac {\lambda }{C\left(\lambda \right)}}{\frac {\partial C\left(\lambda \right)}{\partial \lambda }}.$ 

Правая часть зависит только от  $\lambda ,$  левая часть зависит только от  $x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}$  Значит, они обе равны одной и той же константе, которую обозначим через  $q.$  Из условия  ${\frac {\lambda }{C\left(\lambda \right)}}{\frac {\partial C\left(\lambda \right)}{\partial \lambda }}=q$  и условия  $C\left(1\right)=1$  следует, что  $C\left(\lambda \right)=\lambda ^{q}.$  Следовательно,  $f\left(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}\right)$ — однородная функция с параметром однородности $q.$  Вырожденные случаи $C\left(\lambda \right)\equiv 0$  и $f\left(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}\right)\equiv 0$  рассматриваются отдельно и интереса не представляют.

Примечание. Не обязательно использовать условие  $C\left(1\right)=1,$  вообще говоря, изначально не заданное, а также принудительно рассматривать функцию  $C\left(\lambda \right)$  за пределами интервала  $\lambda \in \left[\lambda _{0}-\varepsilon ,\lambda _{0}+\varepsilon \right].$ . Из равенства

 ${\frac {1}{f}}\left(x_{1}{\frac {\partial f}{\partial x_{1}}}+x_{2}{\frac {\partial f}{\partial x_{2}}}+\dots +x_{n}{\frac {\partial f}{\partial x_{n}}}\right)=q$ 

согласно теореме Эйлера об однородных функциях также следует, что  $f\left(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}\right)$ — однородная функция с параметром однородности $q.$  Отсюда, в частности, следует, что если соотношение однородности справедливо для некоторого интервала  $\lambda \in \left[\lambda _{0}-\varepsilon ,\lambda _{0}+\varepsilon \right],$  то оно справедливо при всех  $\lambda >0.$ 

2. Пусть

 $f\left(\lambda x_{1},\lambda x_{2},\dots ,\lambda x_{n}\right)=Cf\left(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}\right)$ 

при некоторых фиксированных значениях  $C\neq 0,$   $\lambda \neq 1$  и произвольных  $x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}.$  Какова должна быть функция  $f\left(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}\right)?$ 

Решение. Если  $x_{1}=0,$  то задача сводится к функциональному уравнению меньшей размерности

 $f\left(0,\lambda x_{2},\dots ,\lambda x_{n}\right)=Cf\left(0,x_{2},\dots ,x_{n}\right),$ 

пока не сведётся к случаю  $f\left(0,0,\dots ,0\right)=Cf\left(0,0,\dots ,0\right)$  с очевидным ответом $f\left(0,0,\dots ,0\right)=0.$  Поэтому далее можно рассматривать только случай  $x_{1}\neq 0.$ 

Сделаем замену переменных  $x_{1}=y,$   $x_{2}=t_{2}\cdot y,$   $x_{3}=t_{3}\cdot y,$   $x_{n}=t_{n}\cdot y.$  Тогда  $f(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})\to F(y,t_{2},\dots ,t_{n})$  и функциональное уравнение принимает вид

 $F\left(\lambda y,t_{2},\dots ,t_{n}\right)=CF\left(y,t_{2},\dots ,t_{n}\right).$ 

Следует отдельно рассматривать случаи  $C>0$  и  $C<0,$   $\lambda >0$  и  $\lambda <0,$   $y>0$  и  $y<0.$  Пусть  $C>0,$   $\lambda >0$  и  $y>0.$  Тогда после логарифмирования обеих частей равенства и замены  $\log y\to t,$   $\log F(y,\dots )\to \Phi (t,\dots )$  получаем условие

 $\Phi \left(t+\log \lambda ,\dots \right)=\log C+\Phi \left(t,\dots \right),$ 

откуда следует, что  $\Phi \left(t,\dots \right)$  имеет вид  $\Omega \left(t,\dots \right)+{\frac {\log C}{\log \lambda }}t,$  где  $\Omega \left(t,\dots \right)$ — функция, периодическая по переменной  $t$  с периодом  $\log \lambda .$  Обратное очевидно: функция

 $f\left(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}\right)=\Omega \left(\log x_{1},{\frac {x_{2}}{x_{1}}},\dots {\frac {x_{n}}{x_{1}}}\right)\exp \left({\frac {\log C\cdot \log x_{1}}{\log \lambda }}\right),$ 

где  $\Omega \left(t,\dots \right)$ — функция, периодическая по переменной  $t$  с периодом  $\log \lambda ,$  удовлетворяет требуемому функциональному соотношению для  $x_{1}>0.$ 

Для полуоси  $x_{1}<0$  используется замена  $\log(-y)\to t$  и после аналогичных рассуждений получаем окончательный ответ:

а) если  $x_{1}>0$  то  $f\left(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}\right)=\Omega _{+}\left(\log(+x_{1}),x_{2}/x_{1},\dots x_{n}/x_{1}\right)\exp \left({\frac {\log C\cdot \log(+x_{1})}{\log \lambda }}\right),$ 

б) если  $x_{1}<0$  то  $f\left(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}\right)=\Omega _{-}\left(\log(-x_{1}),x_{2}/x_{1},\dots x_{n}/x_{1}\right)\exp \left({\frac {\log C\cdot \log(-x_{1})}{\log \lambda }}\right),$ 

или, в сокращённой форме

 $f\left(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}\right)=\Omega _{\pm }\left(\log |x_{1}|,{\frac {x_{2}}{x_{1}}},\dots {\frac {x_{n}}{x_{1}}}\right)\exp \left({\frac {\log C\cdot \log |x_{1}|}{\log \lambda }}\right),$ 

где обозначение  $\Omega _{\pm }\left(\log |x_{1}|,\dots \right)$  подчёркивает, что при  $x_{1}>0$  и при  $x_{1}<0$ это, вообще говоря, две разные периодические функции  $\Omega _{+}\left(t,\dots \right)$ и  $\Omega _{-}\left(t,\dots \right)$, каждая с областью определения  $t\in (-\infty ,+\infty )$ и разными значениями для этой области, но при этом с одинаковым периодом. 

Случай  $C<0,$   $\lambda >0$  упрощается тем, что из цепочки соотношений

 $F\left(\lambda ^{2}y,t_{2},\dots ,t_{n}\right)=CF\left(\lambda y,t_{2},\dots ,t_{n}\right)=C^{2}F\left(y,t_{2},\dots ,t_{n}\right)$ 

следует уже рассмотренный нами случай. Поэтому функция  $f\left(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}\right)$  может быть записана как

 $f\left(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}\right)=\Omega _{\pm }\left(\log |x_{1}|,{\frac {x_{2}}{x_{1}}},\dots {\frac {x_{n}}{x_{1}}}\right)\exp \left({\frac {\log |C|\cdot \log |x_{1}|}{\log \lambda }}\right),$ 

где  $\Omega _{\pm }\left(t,\dots \right)$ — некоторая функция, периодическая по переменной  $t$  с периодом  $2\log \lambda .$  Подстановка этого выражения в исходное уравнение показывает, что  $\Omega _{\pm }\left(t,\dots \right)$ — не просто периодическая функция с периодом  $2\log \lambda ,$  но анти-периодическая с периодом  $\log \lambda :$ 

 $\Omega _{\pm }\left(t+\log \lambda ,\dots \right)=-\Omega _{\pm }\left(t,\dots \right)$ 

(очевидным образом анти-периодичность с периодом  $\log \lambda$  влечёт за собой периодичность с периодом  $2\log \lambda$). Обратное очевидно: указанная формула с анти-периодической функцией  $\Omega _{\pm }\left(t,\dots \right)$  удовлетворяет требуемому функциональному уравнению.

Случай  $\lambda <0$  имеет дополнительную особенность, что полуоси  $y<0$  и  $y>0$  влияют друг на друга. Рассмотрим случай $y>0.$  Тогда из цепочки соотношений

 $F\left(\lambda ^{2}y,t_{2},\dots ,t_{n}\right)=CF\left(\lambda y,t_{2},\dots ,t_{n}\right)=C^{2}F\left(y,t_{2},\dots ,t_{n}\right)$ 

следует, что при  $x_{1}>0$  функция  $f\left(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}\right)$  должна иметь вид

 $f\left(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}\right)=\Omega \left(\log |x_{1}|,{\frac {x_{2}}{x_{1}}},\dots {\frac {x_{n}}{x_{1}}}\right)\exp \left({\frac {\log |C|\cdot \log |x_{1}|}{\log |\lambda |}}\right),$ 

где  $\Omega \left(t,\dots \right)$ — функция, периодическая по переменной  $t$  с периодом  $2\log |\lambda |$  и областью определения  $t\in (-\infty ,+\infty ).$  Поскольку  $\lambda <0,$  то каждой положительной точке  $x_{1}>0$  взаимно-однозначно соответствует отрицательная точка  $\lambda x_{1}<0$  со значением функции, равным  $Cf\left(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}\right).$ . В результате с учётом периодичности функции  $\Omega \left(t,\dots \right)$  функция  $f\left(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}\right)$  вычисляется как

а) при  $x_{1}>0:$   $f(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})=\Omega \left(\log |x_{1}|,{\frac {x_{2}}{x_{1}}},\dots {\frac {x_{n}}{x_{1}}}\right)\exp \left({\frac {\log |C|\cdot \log |x_{1}|}{\log |\lambda |}}\right),$ 

б) при  $x_{1}<0:$   $f(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})=sign(C)\cdot \Omega \left(\log |x_{1}|+\log |\lambda |,{\frac {x_{2}}{x_{1}}},\dots {\frac {x_{n}}{x_{1}}}\right)\exp \left({\frac {\log |C|\cdot \log |x_{1}|}{\log |\lambda |}}\right),$ 

где  $\Omega \left(t,\dots \right)$ — функция, периодическая по переменной  $t$  с периодом  $2\log |\lambda |.$  Как легко проверить, определённая подобным образом функция  $f(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})$  для случая  $\lambda <0$  действительно удовлетворяет нужному функциональному уравнению как при  $x_{1}>0,$  так и при  $x_{1}<0.$ 

Примечание. Если некоторая функция удовлетворяет указанному функциональному уравнению при некоторых  $C_{0},\lambda _{0},$  то легко заметить, что она удовлетворяет этому же функциональному уравнению и при других наборах значений  $\left(C,\lambda \right).$  Так, для случая  $C_{0}>0,\lambda _{0}>0$  множеством таких пар будут  $\lambda _{k}=\lambda _{0}^{k/m},$   $C_{k}=C_{0}^{k/m}$  при любых ненулевых целочисленных значениях  $k=\pm 1,\pm 2,\dots ,$  где целое число  $m$  выбрано так, чтобы величина  $|\log \lambda _{0}|/m$  была наименьшим положительным периодом для функции  $\Omega _{\pm }\left(t,\dots \right).$  Введя обозначение  $q=\log C_{0}/\log \lambda _{0}$  так что  $C_{0}=\lambda _{0}^{q},$  получим условие  $C_{k}\equiv \left(\lambda _{k}\right)^{q},$  соответствующее ограниченно однородным функциям. Замена  $\exp \left({\frac {\log C\cdot \log x_{1}}{\log \lambda }}\right)\to x_{1}^{q}$  приводит представление ограниченно однородных функций к привычному виду.

3. Дополнительные функциональные уравнения имеются в разделах «Присоединённые однородные функции» и «Взаимно однородные функции» этой статьи.

Однородные обобщённые функции

Обобщённые функции или распределения определяются как линейные непрерывные функционалы, заданные на пространстве «достаточно хороших» функций. В случае однородных обобщённых функций в качестве «достаточно хороших» функций удобно использовать пространство  $\mathbb {S}$  функций  $\varphi (x)=\varphi (x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}),$  имеющих производные любого порядка и при  $\left|x\right|\to \infty$  убывающих быстрее любой степени  ${\frac {1}{\left|x\right|}}.$  При этом любой обычной функции $f(x)$,  интегрируемой в любой конечной области, ставится в соответствие функционал

$T_{f}\left[\varphi \right]=\int _{-\infty }^{+\infty }f(x)\varphi (x)dx,$

определённый в пространстве  $\varphi \in \mathbb {S}$  и являющийся очевидным образом линейным и непрерывным. Обобщённые функции позволяют упростить рассмотрение многих вопросов анализа (так, всякая обобщённая функция имеет производные любого порядка, допускает преобразование Фурье и т. д.), а также узаконить такие экзотические объекты, как  $\delta$-функция и её производные.

Для обычных интегрируемых функций  $f(x_{1},\dots ,x_{n}),$  являющихся однородными с показателем однородности  $q,$  справедливо легко проверяемое тождество

$T_{f}\left[\varphi \left({\frac {x_{1}}{\lambda }},{\frac {x_{2}}{\lambda }},\dots ,{\frac {x_{n}}{\lambda }}\right)\right]=\lambda ^{q+n}T_{f}\left[\varphi \left(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}\right)\right].\qquad \qquad \qquad (**)$

Данное тождество принимается за определение обобщённой однородной функции: однородная обобщённая функция с показателем однородности  $q$  (вообще говоря, комплексным) есть линейный непрерывный функционал, определённый в пространстве  $\varphi \in \mathbb {S}$  и удовлетворяющий тождеству (**).

Похожим способом определяются присоединённые однородные обобщённые функции. Присоединённая однородная обобщённая функция  $T_{k}\left[\varphi \right]$  порядка  $k$  с показателем однородности  $q$ — это линейный непрерывный функционал, для всякого  $\lambda >0$  удовлетворяющий соотношению

$T_{k}\left[\varphi \left({\frac {x_{1}}{\lambda }},{\frac {x_{2}}{\lambda }},\dots ,{\frac {x_{n}}{\lambda }}\right)\right]=\lambda ^{q+n}T_{k}\left[\varphi \left(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}\right)\right]+\lambda ^{q+n}\log \lambda \cdot T_{k-1}\left[\varphi \left(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}\right)\right],$

где  $T_{k-1}\left[\varphi \right]$ — это некоторая присоединённая однородная обобщённая функция  $(k-1)$ —го порядка с показателем однородности  $q.$  Присоединённая однородная обобщённая функция нулевого порядка  с показателем однородности  $q$ — это обычная однородная обобщённая функция с показателем однородности  $q.$ 

Пример. Обобщённая функция  $\delta (x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})$ — однородная обобщённая функция с показателем однородности  $(-n)$  поскольку  $\delta [\varphi ({x_{1}}/\lambda ,{x_{2}}/\lambda ,\dots ,{x_{n}}/\lambda )]=\varphi (0,0,\dots ,0)=\delta [\varphi (x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})].$ 

Исследование однородных обобщённых функций позволяет придать содержательный смысл интегралам с сингулярными особенностями, в обычном смысле не интегрируемыми. Например, рассмотрим обобщённую функцию  $T_{q}^{+}\left[\varphi \right]=\int _{0}^{+\infty }x^{q}\varphi (x)dx.$  Этот функционал определён при  $Re(q)>-1$  и, как легко проверить, является однородной обобщённой функцией с показателем однородности  $q.$  Величину  $T_{q}^{+}$  при фиксированном выборе пробной функции  $\varphi \left(x\right)$  можно рассматривать как функцию комплексного переменного  $q$  и, вообще говоря, аналитически продолжить её вне данного диапазона. А именно, правая и левая части равенства

 $\int _{0}^{+\infty }x^{q}\varphi (x)dx=\int _{1}^{+\infty }x^{q}\varphi (x)dx+\int _{0}^{1}x^{q}\left(\varphi (x)-\sum _{k=0,n}x^{k}{\frac {\varphi ^{(k)}(0)}{k!}}\right)dx+\sum _{k=0,n}{\frac {\varphi ^{(k)}(0)}{k!(q+k+1)}},$ 

аналитичны по переменной  $q$  и тождественно равны друг другу при  $Re(q)>-1.$  Однако правая часть равенства имеет смысл и аналитична также и при  $Re(q)>-n.$  В силу этого правая часть равенства — это аналитическое продолжение левой части равенства для  $Re(q)>-n.$  Как результат, равенство

 $T_{q}^{+}[\varphi (x)]=\int _{1}^{+\infty }x^{q}\varphi (x)dx+\int _{0}^{1}x^{q}\left(\varphi (x)-\sum _{k=0,n}x^{k}{\frac {\varphi ^{(k)}(0)}{k!}}\right)dx+\sum _{k=0,n}{\frac {\varphi ^{(k)}(0)}{k!(q+k+1)}},$ 

задаёт линейный непрерывный функционал, являющийся расширением определённого ранее функционала  $T_{q}^{+}$  вплоть до значений  $Re(q)>-n.$  Формулы для  $Re(q)>-n$  и для  $Re(q)>-m$  дают один и тот же результат при одинаковых значениях  $q,$  при которых они обе имеют смысл: это определение непротиворечиво. Обобщённая функция  $T_{q}^{+},$  определённая теперь для всех  $q,$ , по-прежнему является однородной обобщённой функцией, поскольку соотношение однородности сохраняется при аналитическом продолжении.

С помощью  $T_{q}^{+}\left[\varphi \right]$  определятся регуляризированные значения интеграла  $\int _{0}^{+\infty }x^{q}\varphi (x)dx,$  имеющие смысл при любых комплексных  $q.$  Исключениями являются целочисленные значения  $q=-1,-2,\dots ,-n,\dots ,$  где регуляризированный интеграл является сингулярным: функционал  $T_{q}^{+}\left[\varphi \right]$  как функция переменной  $q$  в точке  $q=-n$  имеет простой полюс с вычетом  $\varphi ^{(n-1)}(0)/(n-1)!.$ 

По той же схеме может быть аналитически продолжена для  $Re(q)\leq -1$  присоединённая однородная функция  $T_{p,q}^{+}\left[\varphi \right]=\int _{0}^{+\infty }x^{q}\log ^{p}(x)\varphi (x)dx.$  С её помощью определяются регуляризированные значения для интегралов  $\int _{0}^{+\infty }x^{q}\log ^{p}(x)\varphi (x)dx,$  имеющие смысл при  $Re(q)\leq -1.$ 

Аналогичным, но более сложным образом конструируются однородные обобщённые функции и присоединённые однородные обобщённые функции для случая  $n$  переменных. Подробности могут быть найдены в цитируемой здесь библиографии. Теория однородных обобщённых функций позволяет конструктивно осмыслить применительно к пространству обобщённых функций обычные функции, имеющие неинтегрируемые особенности — вычислять интегралы от таких функций, находить их преобразование Фурье и т. д.

Библиография: И. М. Гельфанд, З. Я. Шапиро. Однородные функции и их приложения. Успехи математических наук, т. 10 (1955) вып. 3, стр. 3—70.

См. также

• Однородный многочлен
• Однородное уравнение
• Однородное дифференциальное уравнение
• Однородные координаты