Душа (дифференциальная геометрия)

(перенаправлено с «Теорема о душе»)

Душа риманова многообразия компактное тотально выпуклое тотально геодезическое подмногообразие, являющееся его деформационным ретрактом.

Обычно предполагается, что  — полное связное риманово многообразие с секционной кривизной K ≥ 0.

Примеры

править
  • У параболоида M = {(x,y,z) : z = x2 + y2}, начало координат (0,0,0) — душа M. При этом не любая точка x, принадлежащая M, является его душой, так как могут существовать геодезические петли, начинающиеся в точке x.
  • У бесконечного цилиндра M = {(x,y,z) : x2 + y2 = 1} любая «горизонтальная» окружность {(x,y,z) : x2 + y2 = 1} с фиксированной z является душой M.

История

править

Термин душа введён Чигером[англ.] и Громолом[англ.] в 1972 году[1] в статье, где они, в частности, доказали теорему о душе. Теорема обобщала более раннюю теорему Громола и Мейера[2]. В той же статье Чигером и Громолом сформулирована гипотеза о душе. Короткое доказательство этой гипотезы было дано Григорием Перельманом[3] в 1994 году.

Свойства

править

Ниже предполагаем, что   — это полное связное риманово многообразие с секционной кривизной K ≥ 0.

Связанные открытые вопросы

править
  • Гипотеза о двойной душе утверждает[5], что любое компактное многообразие неотрицательной секционной кривизны можно покрыть двумя расслоениями на диски.

Примечания

править
  1. Cheeger, Jeff; Gromoll, Detlef (1972), "On the structure of complete manifolds of nonnegative curvature", Annals of Mathematics. Second Series, 96: 413–443, doi:10.2307/1970819, ISSN 0003-486X, MR: 0309010
  2. Gromoll, Detlef; Meyer, Wolfgang (1969), "On complete open manifolds of positive curvature", Annals of Mathematics. Second Series, 90: 75–90, doi:10.2307/1970682, ISSN 0003-486X, MR: 0247590
  3. Perelman, Grigori (1994), "Proof of the soul conjecture of Cheeger and Gromoll" (PDF), Journal of Differential Geometry, 40 (1): 209–212, ISSN 0022-040X, MR: 1285534, Архивировано из оригинала (PDF) 23 июля 2011, Дата обращения: 23 июля 2011 Источник. Дата обращения: 23 июля 2011. Архивировано из оригинала 23 июля 2011 года.
  4. Шарафутдинов, V. A. (1979), "О выпуклых множествах в многообразии неотрицательной кривизны", Матем. заметки, 26 (1): 129—136 {{citation}}: Внешняя ссылка в |title= (справка)
  5. K. Grove, Geometry of and via symmetries