Список моделей многогранников Веннинджера

В данной статье содержится список таких однородных многогранников и звёздчатых многогранников, которые упоминаются в книге «Модели многогранников» Магнуса Веннинджера.

Книга «Модели многогранников» Веннинджера — руководство по построению физических (например, бумажных) моделей многогранников. Книга содержит короткое описание связанной с многогранниками теории, чертежи элементов граней многогранников, рекомендации по построению моделей многогранников. Книга описывает модели непризматических однородных многогранников всех (75-и) видов однородных многогранников и модели 44-х звёздчатых форм выпуклых правильных и полуправильных многогранников (всего — 75+44 = 119).

Список создан как дань уважения работе Веннинджера и для предоставления возможности создания ссылок на 119 пронумерованных в книге моделей.

Пусть N — номер описаной в книге модели. Тогда, чтобы поставить ссылку на описанную в книге модель, укажите либо текст вида «модель Веннинджера номер N», либо текст вида W_N, где W — первая буква фамилии Веннинджера (англ. Wenninger).

Многогранники перечислены в пяти таблицах:

1. правильные многогранники (от W₁ до W₅);
2. полуправильные многогранники (от W₆ до W₁₈);
3. правильные звёздчатые многогранники (W₂₀, W₂₁, W₂₂, W₄₁);
4. звёздчатые формы многогранников и соединения многогранников (от W₁₉ до W₆₆);
5. однородные звёздчатые многогранники (от W₆₇ до W₁₁₉).

Четыре правильных звёздчатых многогранника приведены дважды, поскольку принадлежат и однородным многогранникам, и звёздчатым формам.

Правильные многогранники (плато́новы тела) (модели от W₁ до W₅)

Номер	Название	Рисунок	Имя двойственного	Рисунок двойственного	Символ Витхоффа	Вершинная фигура и символ Шлефли	Группа симметрии	U#	K#	V	E	F	Грани по типам
1	Тетраэдр		Тетраэдр		3|2 3	{3,3}	Td	U01	K06	4	6	4	4{3}
2	Октаэдр		Гексаэдр		4|2 3	{3,4}	Oh	U05	K10	6	12	8	8{3}
3	Гексаэдр (Куб)		Октаэдр		3|2 4	{4,3}	Oh	U06	K11	8	12	6	6{4}
4	Икосаэдр		Додекаэдр		5|2 3	{3,5}	Ih	U22	K27	12	30	20	20{3}
5	Додекаэдр		Икосаэдр		3|2 5	{5,3}	Ih	U23	K28	20	30	12	12{5}

Архимедовы тела (полуправильные) (модели от W₆ до W₁₈)

Номер	Название	Рисунок	Имя двойственного	Рисунок двойственного	Символ Витхоффа	Вершинная фигура и символ Шлефли	Группа симметрии	U#	K#	V	E	F	Грани по типам
6	Усечённый тетраэдр		триакистетраэдр		2 3|3	3.6.6	Td	U02	K07	12	18	8	4{3} + 4{6}
7	Усечённый октаэдр		тетракисгексаэдр		2 4|3	4.6.6	Oh	U08	K13	24	36	14	6{4} + 8{6}
8	Усечённый гексаэдр		триакисоктаэдр		2 3|4	3.8.8	Oh	U09	K14	24	36	14	8{3} + 6{8}
9	Усечённый икосаэдр		пентакисдодекаэдр		2 5|3	5.6.6	Ih	U25	K30	60	90	32	12{5} + 20{6}
10	Усечённый додекаэдр		триакисикосаэдр		2 3|5	3.10.10	Ih	U26	K31	60	90	32	20{3} + 12{10}
11	Кубооктаэдр		ромбододекаэдр		2|3 4	3.4.3.4	Oh	U07	K12	12	24	14	8{3} + 6{4}
12	Икосододекаэдр		ромботриаконтаэдр		2|3 5	3.5.3.5	Ih	U24	K29	30	60	32	20{3} + 12{5}
13	Ромбокубооктаэдр		дельтоидальный икоситетраэдр		3 4|2	3.4.4.4	Oh	U10	K15	24	48	26	8{3}+(6+12){4}
14	Ромбоикосидодекаэдр		дельтоидальный гексеконтаэдр		3 5|2	3.4.5.4	Ih	U27	K32	60	120	62	20{3} + 30{4} + 12{5}
15	Усечённый кубооктаэдр (Большой ромбокубооктаэдр)		Гекзакисоктаэдр		2 3 4|	4.6.8	Oh	U11	K16	48	72	26	12{4} + 8{6} + 6{8}
16	Ромбоусечённый икосододекаэдр (Большой ромбоикосододекаэдр)		Гекзакисикосаэдр		2 3 5|	4.6.10	Ih	U28	K33	120	180	62	30{4} + 20{6} + 12{10}
17	Плосконосый куб		пентагональный икоситетраэдр		|2 3 4	3.3.3.3.4	O	U12	K17	24	60	38	(8 + 24){3} + 6{4}
18	Плосконосый додекаэдр		пентагональный гексеконтаэдр		|2 3 5	3.3.3.3.5	I	U29	K34	60	150	92	(20 + 60){3} + 12{5}

Тела Кеплера — Пуансо (правильные звёздчатые многогранники) (модели W₂₀, W₂₁, W₂₂ и W₄₁)

Номер	Название	Рисунок	Имя двойственного	Рисунок двойственного	Символ Витхоффа	Вершинная фигура и символ Шлефли	Группа симметрии	U#	K#	V	E	F	Грани по типам
20	Малый звёздчатый додекаэдр		Большой додекаэдр		5|25/2	{5/2,5}	Ih	U34	K39	12	30	12	12{5/2}
21	Большой додекаэдр		Малый звёздчатый додекаэдр		5/2|2 5	{5,5/2}	Ih	U35	K40	12	30	12	12{5}
22	Большой звёздчатый додекаэдр		Большой икосаэдр		3|25/2	{5/2,3}	Ih	U52	K57	20	30	12	12{5/2}
41	Большой икосаэдр (16-я звёздчатая форма икосаэдра)		Большой звёздчатый додекаэдр		5/2|2 3	{3,5/2}	Ih	U53	K58	12	30	20	20{3}

Звёздчатые многогранники (модели от W₁₉ до W₆₆)

Звёздчатый октаэдр

Номер	Название	Группа симметрии	Рисунок	Грани
2	Октаэдр (правильный)	Oh
19	Звёздчатый октаэдр (Соединение двух тетраэдров)	Oh

Звёздчатые формы додекаэдра

Номер	Название	Группа симметрии	Рисунок	Грани
5	Додекаэдр (правильный)	Ih
20	Малый звёздчатый додекаэдр(правильный) (1-я звёздчатая форма додекаэдра)	Ih
21	Большой додекаэдр (правильный) (2-я звёздчатая форма додекаэдра)	Ih
22	Большой звёздчатый додекаэдр(правильный) (3-я звёздчатая форма додекаэдра)	Ih

Звёздчатые формы икосаэдра

Номер	Название	Группа симметрии	Рисунок	Грани
4	Икосаэдр (правильный)	Ih
23	Соединение пяти октаэдров (1-я составная форма звёздчатого икосаэдра)	Ih
24	Соединение пяти тетраэдров (2-я составная форма звёздчатого икосаэдра)	I
25	Соединение десяти тетраэдров (3-я составная форма звёздчатого икосаэдра)	Ih
26	Малый триамбический икосаэдр (1-я звёздчатая форма икосаэдра) (Триакисикосаэдр)	Ih
27	2-я звёздчатая форма икосаэдра	Ih
28	Выемчатый додекаэдр (3-я звёздчатая форма икосаэдра)	Ih
29	4-я звёздчатая форма икосаэдра	Ih
30	5-я звёздчатая форма икосаэдра	Ih
31	6-я звёздчатая форма икосаэдра	Ih
32	7-я звёздчатая форма икосаэдра	Ih
33	8-я звёздчатая форма икосаэдра	Ih
34	Большой триамбикикосаэдр (9-я звёздчатая форма икосаэдра)	Ih
35	10-я звёздчатая форма икосаэдра	I
36	11-я звёздчатая форма икосаэдра	I
37	12-я звёздчатая форма икосаэдра	Ih
38	13-я звёздчатая форма икосаэдра	I
39	14-я звёздчатая форма икосаэдра	I
40	15-я звёздчатая форма икосаэдра	I
41	Большой икосаэдр (правильный) (16-я звёздчатая форма икосаэдра)	Ih
42	Ехиднаэдр (Завершающая, 17-я звёздчатая форма икосаэдра)	Ih

Звёздчатые формы кубооктаэдра

Номер	Название	Группа симметрии	Рисунок	Грани (октаэдральные плоскости)	Грани (кубические плоскости)
11	Кубооктаэдр (правильный)	Oh
43	Соединение куба и октаэдра (1-я звёздчатая форма кубооктаэдра)	Oh
44	2-я звёздчатая форма кубооктаэдра	Oh
45	3-я звёздчатая форма кубооктаэдра	Oh
46	4-я звёздчатая форма кубооктаэдра	Oh

Звёздчатые формы икосододекаэдра

Номер	Название	Группа симметрии	Рисунок	Грани (икосоэдральные плоскости)	Грани (додекаэдральные плоскости)
12	Икосододекаэдр (правильный)	Ih
47	1-я звёздчатая форма икосододекаэдра Соединение додекаэдра и икосаэдра	Ih
48	2-я звёздчатая форма икосододекаэдра	Ih
49	3-я звёздчатая форма икосододекаэдра	Ih
50	4-я звёздчатая форма икосододекаэдра (Соединение малого звёздчатого додекаэдра и триакисикосаэдра)	Ih
51	5-я звёздчатая форма икосододекаэдра ( Соединение малого звёздчатого додекаэдра и пяти октаэдров)	Ih
52	6-я звёздчатая форма икосододекаэдра	Ih
53	7-я звёздчатая форма икосододекаэдра	Ih
54	8-я звёздчатая форма икосододекаэдра (Соединение пяти тетраэдров и большого додекаэдра)	I
55	9-я звёздчатая форма икосододекаэдра	Ih
56	10-я звёздчатая форма икосододекаэдра	Ih
57	11-я звёздчатая форма икосододекаэдра	Ih
58	12-я звёздчатая форма икосододекаэдра	Ih
59	13-я звёздчатая форма икосододекаэдра	Ih
60	14-я звёздчатая форма икосододекаэдра	Ih
61	Соединение большого звёздчатого додекаэдра и большого икосаэдра	Ih
62	15-я звёздчатая форма икосододекаэдра	Ih
63	16-я звёздчатая форма икосододекаэдра	Ih
64	17-я звёздчатая форма икосододекаэдра	Ih
65	18-я звёздчатая форма икосододекаэдра	Ih
66	19-я звёздчатая форма икосододекаэдра	Ih

Однородные невыпуклые тела (модели от W₆₇ до W₁₁₉)

Номер	Название	Рисунок	Название двойственного	Рисунок двойственного	Символ Витхоффа	Вершинная фигура	Группа симметрии	U#	K#	V	E	F	Грани по типам
67	Тетрагемигексаэдр		Тетрагемигексакрон		3/23|2	4.3/2.4.3	Td	U04	K09	6	12	7	4{3}+3{4}
68	Октагемиоктаэдр		Октагемиоктакрон		3/23|3	6.3/2.6.3	Oh	U03	K08	12	24	12	8{3}+4{6}
69	Малый кубокубооктаэдр		Малый гексакронный икосотетраэдр		3/24|4	8.3/2.8.4	Oh	U13	K18	24	48	20	8{3}+6{4}+6{8}
70	Малый битригональный икосододекаэдр		Малый триамбический икосаэдр		3|5/23	(5/2.3)3	Ih	U30	K35	20	60	32	20{3}+12{5/2}
71	Малый икосоикосододекаэдр		Малый икосакронный гексаконтаэдр		5/23|3	6.5/2.6.3	Ih	U31	K36	60	120	52	20{3}+12{5/2}+20{6}
72	Малый додекоикосододекаэдр		Малый додекакронный гексаконтаэдр		3/25|5	10.3/2.10.5	Ih	U33	K38	60	120	44	20{3}+12{5}+12{10}
73	Додекододекаэдр		Средний ромбический триаконтаэдр		2|5/25	(5/2.5)2	Ih	U36	K41	30	60	24	12{5}+12{5/2}
74	Малый ромбододекаэдр		Малый ромбододекакрон		25/25|	10.4.10/9.4/3	Ih	U39	K44	60	120	42	30{4}+12{10}
75	Усечённый большой додекаэдр		Малый звёздчатый пентакисдодекаэдр		25/2|5	10.10.5/2	Ih	U37	K42	60	90	24	12{5/2}+12{10}
76	Ромбододекододекаэдр		Средний дельтоидный гексаконтаэдр		5/25|2	4.5/2.4.5	Ih	U38	K43	60	120	54	30{4}+12{5}+12{5/2}
77	Большой кубокубооктаэдр		Большой гексакронный икосотетраэдр		3 4|4/3	8/3.3.8/3.4	Oh	U14	K19	24	48	20	8{3}+6{4}+6{8/3}
78	Кубогемиоктаэдр		Гексагемиоктакрон		4/34|3	6.4/3.6.4	Oh	U15	K20	12	24	10	6{4}+4{6}
79	Кубоусечённый кубооктаэдр (Кубооктаусечённый кубооктаэдр)		Тетрадиакисгексаэдр		4/33 4|	8/3.6.8	Oh	U16	K21	48	72	20	8{6}+6{8}+6{8/3}
80	Битригональный додекаэдр		Средний триамбикикосаэдр Перенаправить на Большой триамбикикосаэдр		3|5/35	(5/3.5)3	Ih	U41	K46	20	60	24	12{5}+12{5/2
81	Большой битригональный додекоикосододекаэдр		Большой битриагональный додекакронный гексаконтаэдр		3 5|5/3	10/3.3.10/3.5	Ih	U42	K47	60	120	44	20{3}+12{5}+12{10/3}
82	Малый битригональный додекоикосододекаэдр		Малый битриагональный додекакронный гексаконтаэдр		5/33|5	10.5/3.10.3	Ih	U43	K48	60	120	44	20{3}+12{5/2}+12{10}
83	Икосододекододекаэдр		Средний икосакронный гексаконтаэдр		5/35|3	6.5/3.6.5	Ih	U44	K49	60	120	44	12{5}+12{5/2}+20{6}
84	Икосоусечённый додекододекаэдр (Икосододекоусечённый икосододекаэдр)		Тридиакисикосаэдр		5/33 5|	10/3.6.10	Ih	U45	K50	120	180	44	20{6}+12{10}+12{10/3}
85	Невыпуклый большой ромбокубооктаэдр (Квазиромбокубооктаэдр)		Большой дельтоидный икосотетраэдр		3/24|2	4.3/2.4.4	Oh	U17	K22	24	48	26	8{3}+(6+12){4}
86	Малый ромбогексаэдр		Малый ромбогексакрон		3/22 4|	4.8.4/3.8	Oh	U18	K23	24	48	18	12{4}+6{8}
87	Большой битригональный икосододекаэдр		Большой триамбикикосаэдр		3/2|3 5	(5.3.5.3.5.3)/2	Ih	U47	K52	20	60	32	20{3}+12{5}
88	Большой икосоикосододекаэдр		Большой икосакронный гексаконтаэдр		3/25|3	6.3/2.6.5	Ih	U48	K53	60	120	52	20{3}+12{5}+20{6}
89	Малый икосогемидодекаэдр		Малый икосогемидодекакрон		3/23|5	10.3/2.10.3	Ih	U49	K54	30	60	26	20{3}+6{10}
90	Малый додекоикосаэдр		Малый додекоикосакрон		3/23 5|	10.6.10/9.6/5	Ih	U50	K55	60	120	32	20{6}+12{10}
91	Малый додекогемидодекаэдр		Малый додекогемидодекакрон		5/45|5	10.5/4.10.5	Ih	U51	K56	30	60	18	12{5}+6{10}
92	Звёздчатый усечённый гексаэдр (Квазиусечённый гексаэдр)		Большой триакисоктаэдр		2 3|4/3	8/3.8/3.3	Oh	U19	K24	24	36	14	8{3}+6{8/3}
93	Большой усечённый кубооктаэдр (Квазиусечённый кубооктаэдр)		Большой дисдиакисдодекаэдр		4/32 3|	8/3.4.6	Oh	U20	K25	48	72	26	12{4}+8{6}+6{8/3}
94	Большой икосододекаэдр		Большой ромбический тридцатигранник		2|5/23	(5/2.3)2	Ih	U54	K59	30	60	32	20{3}+12{5/2}
95	Усечённый большой икосаэдр		Большой звёздчатый пентакисдодекаэдр		25/2|3	6.6.5/2	Ih	U55	K60	60	90	32	12{5/2}+20{6}
96	Ромбоикосаэдр		Ромбоикоакрон		25/23|	6.4.6/5.4/3	Ih	U56	K61	60	120	50	30{4}+20{6}
97	Малый звёздчатый усечённый додекаэдр (Квазиусечённый звёздчатый додекаэдр)		Большой пентакисдодекаэдр		2 5|5/3	10/3.10/3.5	Ih	U58	K63	60	90	24	12{5}+12{10/3}
98	Усечённый додекадодекаэдр (Квазиусечённый додекаэдр)		Средний дисдиакистриаконтаэдр		5/32 5|	10/3.4.10	Ih	U59	K64	120	180	54	30{4}+12{10}+12{10/3}
99	Большой додекоикосододекаэдр		Большой додекакроникгексаконтаэдр		5/23|5/3	10/3.5/2.10/3.3	Ih	U61	K66	60	120	44	20{3}+12{5/2}+12{10/3 }
100	Малый додекогемиикосаэдр		Малый додекогемиикосакрон		5/35/2|3	6.5/3.6.5/2	Ih	U62	K67	30	60	22	12{5/2}+10{6}
101	Большой додекоикосаэдр		Большой додекоикосакрон		5/35/23|	6.10/3.6/5.10/7	Ih	U63	K68	60	120	32	20{6}+12{10/3}
102	Большой додекогемиикосаэдр		Большой додекогемиикосакрон		5/45|3	6.5/4.6.5	Ih	U65	K70	30	60	22	12{5}+10{6}
103	Большой ромбогексаэдр		Большой ромбогексакрон		4/33/22|	4.8/3.4/3.8/5	Oh	U21	K26	24	48	18	12{4}+6{8/3}
104	Большой звёздчатый усечённый додекаэдр (Квазиусечённый большой звёздчатый додекаэдр)		Большой триакисикосаэдр		2 3|5/3	10/3.10/3.3	Ih	U66	K71	60	90	32	20{3}+12{10/3}
105	Невыпуклый большой ромбоикосододекаэдр (Квазиромбоикосододекаэдр)		Большой дельтоидальный гексаконтаэдр		5/33|2	4.5/3.4.3	Ih	U67	K72	60	120	62	20{3}+30{4}+12{5/2}
106	Большой икосогемидодекаэдр		Большой икосогемидодекакрон		3 3|5/3	10/3.3/2.10/3.3	Ih	U71	K76	30	60	26	20{3}+6{10/3}
107	Большой додекогемидодекаэдр		Большой додекогемидодекакрон		5/35/2|5/3	10/3.5/3.10/3.5/2	Ih	U70	K75	30	60	18	12{5/2}+6{10/3}
108	Большой усечённый икосододекаэдр (Большой квазиусечённый икосододекаэдр)		Большой дисдиакистриаконтаэдр		5/32 3|	10/3.4.6	Ih	U68	K73	120	180	62	30{4}+20{6}+12{10/3}
109	Большой ромбододекаэдр		Большой ромбододекакрон		3/25/32|	4.10/3.4/3.10/7	Ih	U73	K78	60	120	42	30{4}+12{10/3}
110	Малый плосконосый икосоикосододекаэдр		Малый шестиугольный гексаконтаэдр		|5/23 3	3.3.3.3.3.5/2	Ih	U32	K37	60	180	112	(40+60){3}+12{5/2}
111	Плосконосый додекододекаэдр		Средний пятиугольный гексаконтаэдр		|25/25	3.3.5/2.3.5	I	U40	K45	60	150	84	60{3}+12{5}+12{5/2}
112	Плосконосый икосододекододекаэдр		Средний шестиугольный гексаконтаэдр		|5/33 5	3.3.3.3.5.5/3	I	U46	K51	60	180	104	(20+6){3}+12{5}+12{5/2}
113	Большой вывернутый плосконосый икосододекаэдр		Большой вывернутый пятиугольный гексаконтаэдр		|5/32 3	3.3.3.3.5/3	I	U69	K74	60	150	92	(20+60){3}+12{5/2}
114	Вывернутый плосконосый додекододекаэдр		Малый вывернутый пятиугольный гексаконтаэдр		|5/32 5	3.5/3.3.3.5	I	U60	K65	60	150	84	60{3}+12{5}+12{5/2}
115	Большой плосконосый додекоикосододекаэдр		Большой шестиугольный гексаконтаэдр		|5/35/23	3.5/3.3.5/2.3.3	I	U64	K69	60	180	104	(20+60){3}+(12+12){5/2}
116	Большой плосконосый икосододекаэдр		Большой пятиугольный гексаконтаэдр		|25/25/2	3.3.3.3.5/2	I	U57	K62	60	150	92	(20+60){3}+12{5/2}
117	Большой вывернутый обратноплосконосый икосододекаэдр		Большой пентаграммный гексаконтаэдр		|3/25/32	(3.3.3.3.5/2)/2	I	U74	K79	60	150	92	(20+60){3}+12{5/2}
118	Малый вывернутый обратноплосконосый икосоикосододекаэдр		Малый гексаграммный гексаконтаэдр		|3/23/25/2	(3.3.3.3.3.5/2)/2	Ih	U72	K77	180	60	112	(40+60){3}+12{5/2}
119	Большой биромбоикосододекаэдр		Большой биромбоикосододекрон		|3/25/335/2	(4.5/3.4.3.4.5/2.4.3/2)/2	Ih	U75	K80	60	240	124	40{3}+60{4}+24{5/2}

См. также

• Список однородных многогранников
• Список пятидесяти девяти икосаэдров

Литература

• М. Веннинджер. Модели многогранников. — «Мир», 1974.
  Ошибки в книге Веннинджера. Для многогранника W₉₀ вершинная фигура ошибочно показана как имеющая параллельные рёбра. Для многогранника W₁₀₆ даны неверные чертежи заготовок, вследствие чего в получаемой модели отсутствуют некоторые видимые части однородного многогранника.
• Magnus Wenninger. Spherical Models. — Cambridge University Press, 1979. — ISBN 0-521-29432-0.

Ссылки

• Magnus J. Wenninger
• Для создания изображений для этой статьи использовалось следующее ПО:
  • Stella: Polyhedron Navigator Stella (software) - ПО, способное создать и распечатать nets для всех многогранников, упомянутых в книге Веннинджера;
  • Polyhedra Stellations — аплет Владимира Булатова;
  • Polyhedra Stellations — аплет Владимира Булатова, оформленный в виде пакета для OS X.
• M. Wenninger, Polyhedron Models, Errata — ошибки, найденные в разных изданиях.