Список моделей многогранников Веннинджера

Статья содержит список однородных и звёздчатых многогранников из книги Модели многогранников Магнуса Веннинджера.

Книга написана как руководство по построению физических моделей многогранников. Книга включает чертежи элементов граней для построения, рекомендации, полезные для построения, а также короткое описание теории, связанной с этими фигурами. Книга содержит 75 непризматических однородных многогранников и 44 звёздчатых форм выпуклых правильных и полуправильных многогранников.

Этот список создан как дань уважения ранней работе Веннинджера и чтобы дать детальные ссылки на 119 пронумерованных моделей книги.

На модели, перечисленные здесь, можно ссылаться как на «Модель Веннинджера Номер N» или, для краткости, WN.

Многогранники собраны в пять таблиц: правильные (1–5), полуправильные (6–18), правильные звёздчатые многогранники (20–22, 41), звёздчатые формы и соединения (19–66) и однородные звёздчатые многогранники (67–119). Четыре правильных звёздчатых многогранника приведены дважды, поскольку они принадлежат как однородным многогранникам, так и звёздчатым формам.

Правильные многогранники (плато́новы тела) W1 to W5Править

Номер Название Рисунок Имя двойственного Рисунок двойственного Символ
Витхоффа
[en]
Вершинная фигура
и символ Шлефли
Группа симметрии U# K# V E F Грани по типам
1 Тетраэдр   Тетраэдр   3|2 3  
{3,3}
Td U01 K06 4 6 4 4{3}
2 Октаэдр   Гексаэдр   4|2 3  
{3,4}
Oh U05 K10 6 12 8 8{3}
3 Гексаэдр (Куб)   Октаэдр   3|2 4  
{4,3}
Oh U06 K11 8 12 6 6{4}
4 Икосаэдр   Додекаэдр   5|2 3  
{3,5}
Ih U22 K27 12 30 20 20{3}
5 Додекаэдр   Икосаэдр   3|2 5  
{5,3}
Ih U23 K28 20 30 12 12{5}

Архимедовы тела (Полуправильные) W6 to W18Править

Номер Название Рисунок Имя двойственного Рисунок двойственного Символ
Витхоффа
[en]
Вершинная фигура
и символ Шлефли
Группа симметрии U# K# V E F Грани по типам
6 Усечённый тетраэдр   триакистетраэдр   2 3|3  
3.6.6
Td U02 K07 12 18 8 4{3} + 4{6}
7 Усечённый октаэдр   тетракисгексаэдр   2 4|3  
4.6.6
Oh U08 K13 24 36 14 6{4} + 8{6}
8 Усечённый гексаэдр   триакисоктаэдр   2 3|4  
3.8.8
Oh U09 K14 24 36 14 8{3} + 6{8}
9 Усечённый икосаэдр   пентакисдодекаэдр   2 5|3  
5.6.6
Ih U25 K30 60 90 32 12{5} + 20{6}
10 Усечённый додекаэдр   триакисикосаэдр   2 3|5  
3.10.10
Ih U26 K31 60 90 32 20{3} + 12{10}
11 Кубооктаэдр   ромбододекаэдр   2|3 4  
3.4.3.4
Oh U07 K12 12 24 14 8{3} + 6{4}
12 Икосододекаэдр   ромботриаконтаэдр   2|3 5  
3.5.3.5
Ih U24 K29 30 60 32 20{3} + 12{5}
13 Ромбокубооктаэдр   дельтоидальный икоситетраэдр   3 4|2  
3.4.4.4
Oh U10 K15 24 48 26 8{3}+(6+12){4}
14 Ромбоикосидодекаэдр   дельтоидальный гексеконтаэдр   3 5|2  
3.4.5.4
Ih U27 K32 60 120 62 20{3} + 30{4} + 12{5}
15 Усечённый кубооктаэдр
(Большой ромбокубооктаэдр)
  ромбоусечённый додекаэдр[en]   2 3 4|  
4.6.8
Oh U11 K16 48 72 26 12{4} + 8{6} + 6{8}
16 Ромбоусечённый икосододекаэдр
(Большой ромбоикосододекаэдр)
  Гекзакисикосаэдр   2 3 5|  
4.6.10
Ih U28 K33 120 180 62 30{4} + 20{6} + 12{10}
17 Плосконосый куб   пятиугольный икосотетраэдр   |2 3 4  
3.3.3.3.4
O U12 K17 24 60 38 (8 + 24){3} + 6{4}
18 Плосконосый додекаэдр   пятиугольный гексаконтаэдр   |2 3 5  
3.3.3.3.5
I U29 K34 60 150 92 (20 + 60){3} + 12{5}

Тела Кеплера — Пуансо (Правильные звёздчатые многогранники) W20, W21, W22 и W41Править

Номер Название Рисунок Имя двойственного Рисунок двойственного Символ
Витхоффа
[en]
Вершинная фигура
и символ Шлефли
Группа симметрии U# K# V E F Грани по типам
20 Малый звёздчатый додекаэдр   Большой додекаэдр   5|25/2  
{5/2,5}
Ih U34 K39 12 30 12 12{5/2}
21 Большой додекаэдр   Малый звёздчатый додекаэдр   5/2|2 5  
{5,5/2}
Ih U35 K40 12 30 12 12{5}
22 Большой звёздчатый додекаэдр   Большой икосаэдр   3|25/2  
{5/2,3}
Ih U52 K57 20 30 12 12{5/2}
41 Большой икосаэдр
(16-ая звёздчатая форма икосаэдра)
  Большой звёздчатый додекаэдр   5/2|2 3  
{3,5/2}
Ih U53 K58 12 30 20 20{3}

Звёздчатые многогранники: модели от W19 до W66Править

Звёздчатый октаэдрПравить

Номер Название Группа симметрии Рисунок Грани
2 Октаэдр
(правильный)
Oh    
19 Звёздчатый октаэдр
(Соединение двух тетраэдров)
Oh    

Звёздчатые формы додекаэдраПравить

Номер Название Группа симметрии Рисунок Грани
5 Додекаэдр (правильный) Ih    
20 Малый звёздчатый додекаэдр(правильный)
(Первая звёздчатая форма додекаэдра)
Ih    
21 Большой додекаэдр (правильный)
(Вторая звёздчатая форма додекаэдра)
Ih    
22 Большой звёздчатый додекаэдр(правильный)
(Третья звёздчатая форма додекаэдра)
Ih    

Звёздчатые формы икосаэдраПравить

Номер Название Группа симметрии Рисунок Грани
4 Икосаэдр (правильный) Ih    
23 Соединение пяти октаэдров
(Первая составная форма звёздчатого икосаэдра)
Ih    
24 Соединение пяти тетраэдров
(Вторая составная форма звёздчатого икосаэдра)
I    
25 Соединение десяти тетраэдров[en]
(Третья составная форма звёздчатого икосаэдра)
Ih    
26 Малый триамбический икосаэдр
(Первая звёздчатая форма икосаэдра)
(Триакисикосаэдр)
Ih    
27 Вторая звёздчатая форма икосаэдра Ih    
28 Выемчатый додекаэдр[en]
(Третья звёздчатая форма икосаэдра)
Ih    
29 Четвёртая звёздчатая форма икосаэдра[en] Ih    
30 Пятая звёздчатая форма икосаэдра[en] Ih    
31 Шестая звёздчатая форма икосаэдра[en] Ih    
32 Седьмая звёздчатая форма икосаэдра[en] Ih    
33 Восьмая звёздчатая форма икосаэдра[en] Ih    
34 Девятая звёздчатая форма икосаэдра[en]
Большой триамбикикосаэдр[en]
Ih    
35 Десятая звёздчатая форма икосаэдра[en] I    
36 Одиннадцатая звёздчатая форма икосаэдра[en] I    
37 Двенадцатая звёздчатая форма икосаэдра[en] Ih    
38 Тринадцатая звёздчатая форма икосаэдра[en] I    
39 Четырнадцатая звёздчатая форма икосаэдра[en] I    
40 Пятнадцатая звёздчатая форма икосаэдра[en] I    
41 Большой икосаэдр (правильный)
(Шестнадцатая звёздчатая форма икосаэдра)
Ih    
42 Ехиднаэдр
(Завершающая, семнадцатая звёздчатая форма икосаэдра)
Ih    

Звёздчатые формы кубооктаэдраПравить

Номер Название Группа симметрии Рисунок Грани (октаэдральные плоскости) Грани (кубические плоскости)
11 Кубооктаэдр (правильный) Oh      
43 Соединение куба и октаэдра[en]
(Первая звёздчатая форма кубооктаэдра)
Oh      
44 Вторая звёздчатая форма кубооктаэдра Oh      
45 Третья звёздчатая форма кубооктаэдра Oh      
46 Четвёртая звёздчатая форма кубооктаэдра Oh      

Звёздчатые формы икосододекаэдраПравить

Номер Название Группа симметрии Рисунок Грани (икосоэдральные плоскости) Грани (додекаэдральные плоскости)
12 Икосододекаэдр
(правильный)
Ih      
47 (Первая звёздчатая форма икосододекаэдра)
Соединение додекаэдра и икосаэдра[en]
Ih      
48 Вторая звёздчатая форма икосододекаэдра Ih      
49 Третья звёздчатая форма икосододекаэдра Ih      
50 Четвёртая звёздчатая форма икосододекаэдра
(Соединение малого звёздчатого додекаэдра
и триакисикосаэдра)
Ih      
51 Пятая звёздчатая форма икосододекаэдра
( Соединение малого звёздчатого додекаэдра
и пяти октаэдров)
Ih      
52 Шестая звёздчатая форма икосододекаэдра Ih      
53 Седьмая звёздчатая форма икосододекаэдра Ih      
54 Восьмая звёздчатая форма икосододекаэдра
(Соединение пяти тетраэдров
и большого додекаэдра)
I      
55 Девятая звёздчатая форма икосододекаэдра Ih      
56 Десятая звёздчатая форма икосододекаэдра Ih      
57 Одиннадцатая звёздчатая форма икосододекаэдра Ih      
58 Двенадцатая звёздчатая форма икосододекаэдра Ih      
59 Тринадцатая звёздчатая форма икосододекаэдра Ih      
60 Четырнадцатая звёздчатая форма икосододекаэдра Ih      
61 Соединение большого звёздчатого додекаэдра и большого икосаэдра[en] Ih      
62 Пятнадцатая звёздчатая форма икосододекаэдра Ih      
63 Шестнадцатая звёздчатая форма икосододекаэдра Ih      
64 Семнадцатая звёздчатая форма икосододекаэдра Ih      
65 Восемнадцатая звёздчатая форма икосододекаэдра Ih      
66 Девятнадцатая звёздчатая форма икосододекаэдра Ih      

Однородные невыпуклые тела W67 - W119Править

Номер Название Рисунок Название
двойственного
Рисунок двойственного Символ
Витхоффа
[en]
Вершинная фигура Группа симметрии U# K# V E F Грани по типам
67 Тетрагемигексаэдр   Тетрагемигексакрон[en]   3/23|2  
4.3/2.4.3
Td U04 K09 6 12 7 4{3}+3{4}
68 Октагемиоктаэдр[en]   Октагемиоктакрон[en]   3/23|3  
6.3/2.6.3
Oh U03 K08 12 24 12 8{3}+4{6}
69 Малый кубокубооктаэдр[en]   Малый гексакронный икосотетраэдр[en]   3/24|4  
8.3/2.8.4
Oh U13 K18 24 48 20 8{3}+6{4}+6{8}
70 Малый битригональный икосододекаэдр[en]   Малый триамбический икосаэдр   3|5/23  
(5/2.3)3
Ih U30 K35 20 60 32 20{3}+12{5/2}
71 Малый икосоикосододекаэдр[en]   Малый икосакронный гексаконтаэдр[en]   5/23|3  
6.5/2.6.3
Ih U31 K36 60 120 52 20{3}+12{5/2}+20{6}
72 Малый додекоикосододекаэдр[en]   Малый додекакронный гексаконтаэдр[en]   3/25|5  
10.3/2.10.5
Ih U33 K38 60 120 44 20{3}+12{5}+12{10}
73 Додекододекаэдр   Средний ромбический триаконтаэдр[en]   2|5/25  
(5/2.5)2
Ih U36 K41 30 60 24 12{5}+12{5/2}
74 Малый ромбододекаэдр[en]   Малый
ромбододекакрон
[en]
  25/25|  
10.4.10/9.4/3
Ih U39 K44 60 120 42 30{4}+12{10}
75 Усечённый большой додекаэдр[en]   Малый звёздчатый пентакисдодекаэдр[en]   25/2|5  
10.10.5/2
Ih U37 K42 60 90 24 12{5/2}+12{10}
76 Ромбододекододекаэдр[en]   Средний дельтоидный гексаконтаэдр[en]   5/25|2  
4.5/2.4.5
Ih U38 K43 60 120 54 30{4}+12{5}+12{5/2}
77 Большой кубокубооктаэдр[en]   Большой гексакронный икосотетраэдр[en]   3 4|4/3  
8/3.3.8/3.4
Oh U14 K19 24 48 20 8{3}+6{4}+6{8/3}
78 Кубогемиоктаэдр[en]   Гексагемиоктакрон[en]   4/34|3  
6.4/3.6.4
Oh U15 K20 12 24 10 6{4}+4{6}
79 Кубоусечённый кубооктаэдр[en]
(Кубооктаусечённый кубооктаэдр)
  Тетрадиакисгексаэдр[en]   4/33 4|  
8/3.6.8
Oh U16 K21 48 72 20 8{6}+6{8}+6{8/3}
80 Битригональный додекаэдр[en]   Средний триамбикикосаэдр[en]   3|5/35  
(5/3.5)3
Ih U41 K46 20 60 24 12{5}+12{5/2
81 Большой битригональный додекоикосододекаэдр[en]   Большой битриагональный додекакронный гексаконтаэдр[en]   3 5|5/3  
10/3.3.10/3.5
Ih U42 K47 60 120 44 20{3}+12{5}+12{10/3}
82 Малый битригональный додекоикосододекаэдр[en]   Малый битриагональный додекакронный гексаконтаэдр[en]   5/33|5  
10.5/3.10.3
Ih U43 K48 60 120 44 20{3}+12{5/2}+12{10}
83 Иикосододекододекаэдр[en]   Средний икосакронный
гексаконтаэдр
[en]
  5/35|3  
6.5/3.6.5
Ih U44 K49 60 120 44 12{5}+12{5/2}+20{6}
84 Икосоусечённый додекододекаэдр[en]
(Икосододекоусечённый икосододекаэдр)
  Тридиакисикосаэдр[en]   5/33 5|  
10/3.6.10
Ih U45 K50 120 180 44 20{6}+12{10}+12{10/3}
85 Невыпуклый большой ромбокубооктаэдр[en]
(Квазиромбокубооктаэдр)
  Большой дельтоидный икосотетраэдр[en]   3/24|2  
4.3/2.4.4
Oh U17 K22 24 48 26 8{3}+(6+12){4}
86 Малый ромбогексаэдр[en]   Малый ромбогексакрон[en]   3/22 4|  
4.8.4/3.8
Oh U18 K23 24 48 18 12{4}+6{8}
87 Большой битригональный икосододекаэдр[en]   Большой триамбикикосаэдр[en]   3/2|3 5  
(5.3.5.3.5.3)/2
Ih U47 K52 20 60 32 20{3}+12{5}
88 Большой икосоикосододекаэдр[en]   Большой икосакронный гексаконтаэдр[en]   3/25|3  
6.3/2.6.5
Ih U48 K53 60 120 52 20{3}+12{5}+20{6}
89 Малый икосогемидодекаэдр[en]   Малый икосогемидодекакрон[en]   3/23|5  
10.3/2.10.3
Ih U49 K54 30 60 26 20{3}+6{10}
90 Малый додекоикосаэдр[en]   Малый додекоикосакрон[en]   3/23 5|  
10.6.10/9.6/5
Ih U50 K55 60 120 32 20{6}+12{10}
91 Малый додекогемидодекаэдр[en]   Малый додекогемидодекакрон[en]   5/45|5  
10.5/4.10.5
Ih U51 K56 30 60 18 12{5}+6{10}
92 Звёздчатый усечённый гексаэдр[en]
(Квазиусечённый гексаэдр)
  Большой триакисоктаэдр[en]   2 3|4/3  
8/3.8/3.3
Oh U19 K24 24 36 14 8{3}+6{8/3}
93 Большой усечённый кубооктаэдр[en]
(Квазиусечённый кубооктаэдр)
  Большой дисдиакисдодекаэдр[en]   4/32 3|  
8/3.4.6
Oh U20 K25 48 72 26 12{4}+8{6}+6{8/3}
94 Большой икосододекаэдр[en]   Большой ромботриаконтаэдр[en]   2|5/23  
(5/2.3)2
Ih U54 K59 30 60 32 20{3}+12{5/2}
95 Усечённый большой икосаэдр[en]   Большой звёздчатый пентакисдодекаэдр[en]   25/2|3  
6.6.5/2
Ih U55 K60 60 90 32 12{5/2}+20{6}
96 Ромбоикосаэдр[en]   Ромбоикоакрон[en]   25/23|  
6.4.6/5.4/3
Ih U56 K61 60 120 50 30{4}+20{6}
97 Малый звёздчатый усечённый додекаэдр[en]
(Квазиусечённый звёздчатый додекаэдр)
  Большой пентакисдодекаэдр[en]   2 5|5/3  
10/3.10/3.5
Ih U58 K63 60 90 24 12{5}+12{10/3}
98 Усечённый додекадодекаэдр[en]
(Квазиусечённый додекаэдр)
  Средний дисдиакистриаконтаэдр[en]   5/32 5|  
10/3.4.10
Ih U59 K64 120 180 54 30{4}+12{10}+12{10/3}
99 Большой додекоикосододекаэдр[en]   Большой додекакроникгексаконтаэдр[en]   5/23|5/3  
10/3.5/2.10/3.3
Ih U61 K66 60 120 44 20{3}+12{5/2}+12{10/3 }
100 Малый додекогемиикосаэдр[en]   Малый додекогемиикосакрон[en]   5/35/2|3  
6.5/3.6.5/2
Ih U62 K67 30 60 22 12{5/2}+10{6}
101 Большой додекоикосаэдр[en]   Большой додекоикосакрон[en]   5/35/23|  
6.10/3.6/5.10/7
Ih U63 K68 60 120 32 20{6}+12{10/3}
102 Большой додекогемиикосаэдр[en]   Большой додекогемиикосакрон[en]   5/45|3  
6.5/4.6.5
Ih U65 K70 30 60 22 12{5}+10{6}
103 Большой ромбогексаэдр   Большой ромбогексакрон   4/33/22|  
4.8/3.4/3.8/5
Oh U21 K26 24 48 18 12{4}+6{8/3}
104 Большой звёздчатый усечённый додекаэдр[en]
(Квазиусечённый большой звёздчатый додекаэдр)
  Большой триакисикосаэдр[en]   2 3|5/3  
10/3.10/3.3
Ih U66 K71 60 90 32 20{3}+12{10/3}
105 Невыпуклый большой ромбоикосододекаэдр[en]
(Квазиромбоикосододекаэдр)
  Большой дельтоидальный гексаконтаэдр[en]   5/33|2  
4.5/3.4.3
Ih U67 K72 60 120 62 20{3}+30{4}+12{5/2}
106 Большой икосогемидодекаэдр[en]   Большой икосогемидодекакрон[en]   3 3|5/3  
10/3.3/2.10/3.3
Ih U71 K76 30 60 26 20{3}+6{10/3}
107 Большой додекогемидодекаэдр[en]   Большой додекогемидодекакрон[en]   5/35/2|5/3  
10/3.5/3.10/3.5/2
Ih U70 K75 30 60 18 12{5/2}+6{10/3}
108 Большой усечённый икосододекаэдр[en]
(Большой квазиусечённый икосододекаэдр)
  Большой дисдиакистриаконтаэдр[en]   5/32 3|  
10/3.4.6
Ih U68 K73 120 180 62 30{4}+20{6}+12{10/3}
109 Большой ромбододекаэдр[en]   Большой ромбододекакрон[en]   3/25/32|  
4.10/3.4/3.10/7
Ih U73 K78 60 120 42 30{4}+12{10/3}
110 Малый плосконосый икосоикосододекаэдр[en]   Малый шестиугольный гексаконтаэдр[en]   |5/23 3  
3.3.3.3.3.5/2
Ih U32 K37 60 180 112 (40+60){3}+12{5/2}
111 Плосконосый додекододекаэдр[en]   Средний пятиугольный гексаконтаэдр[en]   |25/25  
3.3.5/2.3.5
I U40 K45 60 150 84 60{3}+12{5}+12{5/2}
112 Плосконосый икосододекододекаэдр[en]   Средний шестиугольный гексаконтаэдр[en]   |5/33 5  
3.3.3.3.5.5/3
I U46 K51 60 180 104 (20+6){3}+12{5}+12{5/2}
113 Большой вывернутый плосконосый икосододекаэдр[en]   Большой вывернутый пятиугольный гексаконтаэдр[en]   |5/32 3  
3.3.3.3.5/3
I U69 K74 60 150 92 (20+60){3}+12{5/2}
114 Вывернутый плосконосый додекододекаэдр[en]   Малый вывернутый пятиугольный гексаконтаэдр[en]   |5/32 5  
3.5/3.3.3.5
I U60 K65 60 150 84 60{3}+12{5}+12{5/2}
115 Большой плосконосый додекоикосододекаэдр[en]   Большой шестиугольный гексаконтаэдр[en]   |5/35/23  
3.5/3.3.5/2.3.3
I U64 K69 60 180 104 (20+60){3}+(12+12){5/2}
116 Большой плосконосый икосододекаэдр[en]   Большой пятиугольный гексаконтаэдр[en]   |25/25/2  
3.3.3.3.5/2
I U57 K62 60 150 92 (20+60){3}+12{5/2}
117 Большой вывернутый обратноплосконосый икосододекаэдр   Большой пентаграммный гексаконтаэдр[en]   |3/25/32  
(3.3.3.3.5/2)/2
I U74 K79 60 150 92 (20+60){3}+12{5/2}
118 Малый вывернутый обратноплосконосый икосоикосододекаэдр[en]   Малый гексаграммный гексаконтаэдр[en]   |3/23/25/2  
(3.3.3.3.3.5/2)/2
Ih U72 K77 180 60 112 (40+60){3}+12{5/2}
119 Большой биромбоикосододекаэдр[en]   Большой биромбоикосододекрон[en]   |3/25/335/2  
(4.5/3.4.3.4.5/2.4.3/2)/2
Ih U75 K80 60 240 124 40{3}+60{4}+24{5/2}

См. такжеПравить

ЛитератураПравить

  • М. Веннинджер. Модели многогранников. — «Мир», 1974. Ошибки: В книге Веннинджера вершинная фигура для многогранника W90 ошибочно показана как имеющая параллельные рёбра.
  • Magnus Wenninger. Spherical Models. — Cambridge University Press, 1979. — ISBN 0-521-29432-0.

СсылкиПравить