Биномиальное распределение

Биномиа́льное распределе́ние с параметрами $n$ и $p$ в теории вероятностей — распределение количества «успехов» в последовательности из $n$ независимых случайных экспериментов, таких, что вероятность «успеха» в каждом из них постоянна и равна $p$.

Биномиальное распределение
Функция вероятности
Функция распределения
Обозначение	$B(n,p)$
Параметры	$n\geqslant 0$ — число «испытаний» $0\leqslant p\leqslant 1$ — вероятность «успеха»
Носитель	$k\in \{0,\dots ,n\}$
Функция вероятности	${\binom {n}{k}}\,p^{k}q^{n-k}$
Функция распределения	$I_{1-p}(n-\lfloor k\rfloor ,1+\lfloor k\rfloor )$
Математическое ожидание	$np$
Медиана	одно из $\{\lfloor np\rfloor -1,\lfloor np\rfloor ,\lfloor np\rfloor +1\}$
Мода	$\lfloor (n+1)\,p\rfloor$
Дисперсия	$npq$
Коэффициент асимметрии	${\frac {q-p}{\sqrt {npq}}}$
Коэффициент эксцесса	${\frac {1-6pq}{npq}}$
Дифференциальная энтропия	${\frac {1}{2}}\log _{2}{\big (}2\pi e\,np(1-p){\big )}+O\left({\frac {1}{n}}\right)$
Производящая функция моментов	$(q+pe^{t})^{n}$
Характеристическая функция	$(q+pe^{it})^{n}$

Определение

Пусть ${\textstyle X_{1},\ldots ,X_{n}}$ — конечная последовательность независимых случайных величин, имеющих одинаковое распределение Бернулли с параметром $p$, то есть при каждом $i=1,\ldots ,n$ величина $X_{i}$ принимает значения $1$ («успех») и $0$ («неудача») с вероятностями $p$ и $q=1-p$ соответственно. Тогда случайная величина

$Y=X_{1}+X_{2}+\ldots +X_{n}$

имеет биномиальное распределение с параметрами $n$ и $p$. Это записывается в виде:

$Y\sim \mathrm {Bin} (n,p)$.

Случайную величину $Y$ обычно интерпретируют как число успехов в серии из $n$ одинаковых независимых испытаний Бернулли с вероятностью успеха $p$ в каждом испытании.

Функция вероятности задаётся формулой:

$p_{Y}(k)\equiv \mathbb {P} (Y=k)={\binom {n}{k}}\,p^{k}q^{n-k},\ \ k=0,\ldots ,n,$

где

${\binom {n}{k}}=C_{n}^{k}={\frac {n!}{(n-k)!\,k!}}$ — биномиальный коэффициент.

Функция распределения

Функция распределения биномиального распределения может быть записана в виде суммы:

$F_{Y}(y)\equiv \mathbb {P} (Y\leqslant y)=\sum \limits _{k=0}^{\lfloor y\rfloor }{\binom {n}{k}}\,p^{k}q^{n-k},\;y\in \mathbb {R}$,

где $\lfloor y\rfloor$ обозначает наибольшее целое, не превосходящее число $y$, или в виде неполной бета-функции:

$F_{Y}(y)\equiv \mathbb {P} (Y\leqslant y)=I_{1-p}(n-\lfloor y\rfloor ,\lfloor y\rfloor +1)$.

Моменты

Производящая функция моментов биномиального распределения имеет вид:

$M_{Y}(t)=\left(pe^{t}+q\right)^{n}$,

откуда

$\mathbb {E} [Y]=np$,

$\mathbb {E} \left[Y^{2}\right]=np(q+np)$,

а дисперсия случайной величины.

$\mathbb {D} [Y]=npq$.

Пример биноминального распределения

Свойства биномиального распределения

• Пусть $Y_{1}\sim \mathrm {Bin} (n,p)$ и $Y_{2}\sim \mathrm {Bin} (n,1-p)$. Тогда $p_{Y_{1}}(k)=p_{Y_{2}}(n-k)$.
• Пусть $Y_{1}\sim \mathrm {Bin} (n_{1},p)$ и $Y_{2}\sim \mathrm {Bin} (n_{2},p)$. Тогда $Y_{1}+Y_{2}\sim \mathrm {Bin} (n_{1}+n_{2},p)$.

Связь с другими распределениями

• Если $n=1$, то получаем распределение Бернулли.
• Если $n$ большое, то в силу центральной предельной теоремы $\mathrm {Bin} (n,p)\approx N(np,npq)$, где $N(np,npq)$ — нормальное распределение с математическим ожиданием $np$ и дисперсией $npq$.
• Если $n$ большое, а $\lambda$ — фиксированное число, то $\mathrm {Bin} (n,\lambda /n)\approx \mathrm {P} (\lambda )$, где $\mathrm {P} (\lambda )$ — распределение Пуассона с параметром $\lambda$.
• Если случайные величины $X$ и $Y$ имеют биномиальные распределения $\mathrm {Bin} (D,p)$ и $\mathrm {Bin} (N-D,p)$ соответственно, то условное распределение случайной величины $X$ при условии $X+Y=n$ – гипергеометрическое $\mathrm {HG} (D,N,n)$.

См. также

• Треугольник Паскаля
• Локальная теорема Муавра — Лапласа