Открыть главное меню

Коммутатором операторов и в алгебре, а также квантовой механике называется оператор . В общем случае он не равен нулю. Понятие коммутатора распространяется также на произвольные ассоциативные алгебры (не обязательно операторные). В квантовой механике за коммутатором операторов также закрепилось название квантовая скобка Пуассона.

Если коммутатор двух операторов равен нулю, то они называются коммутирующими, иначе — некоммутирующими.

Тождества с коммутаторомПравить

  • Антикоммутативность:   Из этого тождества следует что   для любого оператора  .

В ассоциативной алгебре верны также следующие тождества:

  •  . Это тождество представляет собой правило Лейбница для оператора   По этой причине оператор   называют внутренним дифференцированием в алгебре. Аналогичным свойством обладает оператор  
  • Тождество Якоби:   Алгебра, удовлетворяющая тождеству Якоби, называется алгеброй Ли. Таким образом, из любой ассоциативной алгебры можно получить алгебру Ли, если определить умножение в новой алгебре как коммутатор элементов старой алгебры.
  •   Это тождество представляет собой другую запись тождества Якоби.
  •  
  •  
  •  
  •  
  •  
  •  
  •  
  •   Эта формула справедлива в алгебрах, где может быть определена матричная экспонента, например, в Банаховой алгебре или в кольце формальных степенных рядов. Она также играет важнейшую роль в квантовой механике и квантовой теории поля при построении теории возмущений для операторов в представлении Гейзенберга и представлении взаимодействия.
  •  

Коммутатор в квантовой механикеПравить

Как известно, физическое измерение в квантовой механике соответствует действию оператора   физической величины   на вектор состояния системы. Так называемые чистые состояния, в которых физическая величина имеет строго определённое значение, соответствуют собственным векторам  , при этом значение величины в данном состоянии — это собственное число вектора чистого состояния:

 

Если две квантовомеханические величины одновременно измеримы, то в чистых состояниях они обе будут иметь определённое значение, то есть множества собственных векторов операторов величин совпадают. Но тогда они будут коммутировать:

 

Соответственно, некоммутирующие операторы соответствуют физическим величинам, не имеющим одновременно определённого значения. Типичный пример — операторы импульса (компоненты импульса)   и соответствующей координаты   (см. соотношение неопределённостей).

Законы сохраненияПравить

Собственные значения гамильтониана квантовой системы — это значения энергии в стационарных состояниях. Очевидным следствием вышеизложенного является то, что физическая величина, оператор которой коммутирует с гамильтонианом, может быть измерена одновременно с энергией системы. Однако, в квантовой механике энергия приобретает особую роль. Из уравнения Шрёдингера

 

и определения полной производной оператора по времени

 

можно получить выражение для полной производной по времени от физической величины, а именно:

 

Следовательно, если оператор физической величины коммутирует с гамильтонианом, то эта величина не изменяется с течением времени. Это соотношение является квантовым аналогом тождества

 

из классической механики, где {,} — скобка Пуассона функций. Аналогично классическому случаю, оно выражает наличие у системы определённых симметрий, порождающих интегралы движения. Именно свойство сохранения при определённых симметриях пространства кладётся в основу определения многих квантовых аналогов классических величин, например, импульс определяется как величина, сохраняющаяся при всех трансляциях системы, а момент импульса определяется как величина, сохраняющаяся при вращениях.

Некоторые соотношения коммутацииПравить

Укажем значения некоторых часто встречающихся коммутаторов.

  — оператор i-ой компоненты, соответственно, радиус-вектора, импульса и момента импульса;   — дельта Кронекера;   — абсолютно антисимметричный псевдотензор 3-го ранга.
 
 
 
 
 
 

Как правило, необходимы соотношения для нормированного момента:  

 
 
 
 

Из этих соотношений видно, что момент импульса частицы не измерим одновременно с её координатами или импульсом. Более того, за исключением случая, когда момент равен нулю, различные его компоненты не измеримы одновременно. Этим момент импульса принципиально отличается от импульса и радиус-вектора, у которых все три компоненты могут быть одновременно определены. Для момента импульса можно измерить лишь его проекцию на некоторую ось (обычно z) и квадрат его длины.

Алгебра Ли физических величинПравить

Коммутатор является квантовым аналогом скобки Пуассона в классической механике. Операция коммутатора вводит на операторах (или элементах алгебры) структуру алгебры Ли, поэтому антикоммутативное умножение в алгебре Ли также называют коммутатором.

Некоммутирующие величиныПравить

Некоммутирующими величинами A и B называются величины, коммутатор которых  .

Две физические величины одновременно измеримы тогда и только тогда когда их операторы коммутируют[1].

АнтикоммутаторПравить

Антикоммутатор — симметризующий оператор над элементами кольца, определяющий степень «антикоммутативности» умножения в кольце:

 

Через антикоммутатор вводится коммутативное «йорданово умножение». Алгебра Клиффорда всегда естественным образом связывает антикоммутатор с задающей её билинейной формой.

ПримерыПравить

ЛитератураПравить

См. такжеПравить

ПримечанияПравить