Коприсоединённое представление

Коприсоединённое представление группы Ли — это представление, сопряжённое[en] к присоединённому. Если алгебра Ли группы , соответствующее действие на пространстве , сопряжённом к , называется коприсоединённым действием. С геометрической точки зрения оно представляет собой действие левыми сдвигами на пространстве правоинвариантных 1-форм на .

Важность коприсоединённого представления была подчёркнута в работах А. А. Кириллова, показавшего, что ключевую роль в теории представлений нильпотентных групп Ли играет понятие орбиты коприсоединённого представления (К-орбиты). В методе орбит[en] Кириллова представления строятся геометрически, отталкиваясь от К-орбит. В некотором смысле последние заменяют собой классы сопряжённости , которые могут быть устроены сложным образом, в то время как работать с орбитами сравнительно просто.

ОпределениеПравить

Пусть   — группа Ли и   — её алгебра Ли,  присоединённое представление  . Тогда коприсоединённое представление   определяется как  . Более точно,

 

где   — значение линейного функционала   на векторе  .

Пусть   — представление алгебры Ли   в  , индуцированное коприсоединённым представлением группы Ли  . Тогда для    , где  присоединённое представление алгебры Ли  . Это заключение может быть сделано исходя из инфинитезимальной формы приведённого выше определяющего уравнения для  :

 

где  экспоненциальное отображение[en] из   в  .

ГенераторыПравить

Пусть  дифференцируемая функция на  . Рассмотрим изменение функции   при коприсоединённом действии [[Однопараметрическая группа|однопараметрической подгруппы]   в направлении вектора   и продифференцируем его в единице группы:

  (1)

Здесь  градиент функции  , который естественным образом отождествляется с элементом алгебры  . Выберем некоторый базис   в алгебре   и пусть   — взаимный ему базис в  , т. е.  ,  , где  символ Кронекера. Выберем в качестве   базисный вектор  . Тогда равенство (1) преобретает вид

 

(по дважды повторяющимся индексам здесь и ниже подразумевается суммирование), откуда видно, что в качестве базиса генераторов коприсоединённого действия можно выбрать набор векторных полей

 ,

где  структурные константы[en] алгебры  .

ИнвариантыПравить

Инварианты[en]   коприсоединённого действия удовлетворяют системе дифференциальных уравнений

  (2)

Определим антисимметричную билинейную форму   на   посредством равенства

 .

Количество независимых уравнений в системе (2) равно  . Её решения в окрестности точки общего положения (т. е. точки, в которой ранг формы   максимален) называются функциями Казимира алгебры  . Число функционально независимых нетривиальных (не тождественно постоянных) функций Казимира называется индексом алгебры   и равно

 .

Так как ранг антисимметричной формы чётен, то чётности индекса и размерности алгебры всегда совпадают.

Помимо функций Казимира  ,  , определённых в точках общего положения пространства  , могут существовать инварианты, заданные на особых подмногообразиях коприсоединённого действия, на которых ранг формы   ниже максимального. Если на особом инвариантном побмногообразии   ранг формы   равен  ,  , то непостоянные решения   системы (2), ограниченной на подмногообразие  , называются функциями Казимира типа  . Совокупность независимых функций   образует базис инвариантов коприсоединённого действия: любой инвариант может быть выражен как функция от элементов этого набора. Из вида системы (2) следует, что базис инвариантов всегда может быть составлен из однородных функций от компонент ковектора  .

К-орбитыПравить

Орбита коприсоединённого представления, или, коротко, К-орбита,  , проходящая через точку   в сопряжённом пространстве   к алгебре Ли  , может быть определена как орбита  , или, эквивалентно, как однородное пространство  , где  стабилизатор точки   относительно коприсоединённого действия группы  .

Орбиты общего положения имеют максимально возможную размерность, равную  , и называются невырожденными, или регулярными. Такие орбиты определяются через произвольный набор независимых функций Казимира уравнениями

 

Аналогично вырожденные, или сингулярные, орбиты размерности  , составляющие особые инвариантные подмногообразия  , определяются уравнениями

 

где   — количество независимых функций Казимира типа  . Если функции Казимира однозначны, каждому набору постоянных   соответствует счётное (как правило, конечное) число орбит. Ковекторы, принадлежащие (не)вырожденной орбите, также называют (не)вырожденными.

Форма КирилловаПравить

Орбиты коприсоединённого представления являются подмногообразиями чётной размерности в   и обладают естественной симплектической структурой. На каждой орбите   существует замкнутая невырожденная  -инвариантная 2-форма  , которая строится следующим образом. Пусть   — определённая выше антисимметричная билинейная форма на  . Тогда можно определить   посредством равенства

 .

Существование, невырожденность и  -инвариантность   вытекают из следующих фактов:

  • Касательное пространство   может быть отождествлено с  , где   — алгебра Ли группы  .
  • Ядро отображения   есть в точности  .
  •   инвариантно относительно действия  .

Кроме того, форма   замкнута. Каноническую 2-форму   называют формой Кириллова, Кириллова — Костанта[en] или Кириллова — Костанта — Сурио.

К-орбита   называется целочисленной, если форма Кириллова принадлежит целочисленному классу когомологий, т. е. её интеграл по любому двумерному циклу   в   равен целому числу:

 .

Целочисленные орбиты играют центральную роль при построении неприводимых представлений групп Ли методом орбит.

Скобка БерезинаПравить

Форма   снабжает пространство   структурой Пуассонова многообразия[en] со скобкой Ли — Пуассона

 ,

являющейся вырожденной скобкой Пуассона: из вида генераторов коприсоединённого действия очевидно, что функции Казимира (и только они) коммутируют относительно неё с любой функцией на  . Ограничение этой скобки на орбиты коприсоединённого представления, называемое скобкой Березина[1], невырожденно и совпадает со скобкой Пуассона  , порождаемой формой Кириллова:

 .

Здесь   — гамильтоново векторное поле с гамильтонианом  .

Свойства К-орбитПравить

  • Коприсоединённое действие на К-орбите   являетсяa гамильтоновым  -действием[en] с отображением момента[en]  .
  • Если для орбиты   существует поляризация, то вложение   может быть реализовано функциями  , линейными по   переменным  , где  канонические координаты для формы Кириллова на орбите  .[2][3]

ПримерыПравить

Группа  Править

Алгебра Ли   группы   движений евклидовой плоскости определяется коммутационными соотношениями

 

(коммутирующие элементы   и   соответстуют трансляциям плоскости в направлении двух координатных осей, а элемент   — вращению вокруг некоторой точки; таким образом, группа   трёхмерна). Соответственно, матрица формы   имеет вид

 

Её ранг равен двум всюду, кроме прямой  , представляющей собой особое инвариантное подмногообразие   коприсоединённого действия группы   на  , поэтому невырожденные К-орбиты двумерны. По генераторам этого действия

 

выписываются два независимых уравнения

 ,

определяющие единственную функцию Казимира. Неособые многообразия её уровня

 ,

каждое из которых состоит из одной орбиты, представляют собой цилиндры с общей осью  . Особое многообразие уровня ( ) совпадает с   и состоит из (нульмерных) сингулярных орбит  ,  . Форма Кириллова

 

приводится к каноническому виду   в цилиндрических координатах, ограниченных на фиксированную орбиту  :

 .

Заметим, что переход к каноническим переменным в данном случае линеен по  . Возможность линейного по «импульсу»  - -перехода гарантируется наличием в   двумерной подалгебры трансляций, натянутой на вектора  ,  , являющейся в силу своей коммутативности поляризацией для любой невырожденной К-орбиты.

Группа  Править

  — (трёхмерная) группа вращений трёхмерного евклидова пространства. Коммутационные соотношения в её алгебре Ли  

 

(каждый базисный вектор соответствует генератору вращения в одной из трёх взаимно перпендикулярных плоскостей) определяют вид матрицы формы  :

 .

Из трёх генераторов коприсоединённого представления в каждой точке   линейно независимы только два, поэтому несингулярные орбиты двумерны. Они представляют собой концентрические сферы

 ,

с центром в начале координат. Особое подмногообразие   состоит из одной точки  , так как только в ней все три генератора становятся нулевыми.

Поскольку в алгебре   нет двумерных подалгебр, то регулярные ковекторы не имеют поляризаций, соответственно, вложение регулярных орбит в пространство   не может быть реализовано функциями, линейными по каноническим  -переменным для формы Кириллова

 .

Однако (комплексные) двумерные подалгебры, подчинённые невырожденным ковекторам, имеются в  , комплексификации алгебры   (например, для ковектора   таковой является подалгебра  ), поэтому такое вложение оказывается возможным посредством переменных, принимающих комплексные значения:

 .

Легко проверить, что этим преобразованием форма   действительно приводится к каноническому виду.

См. такжеПравить

ЛитератураПравить

ПримечанияПравить

  1. А. В. Борисов, И. С. Мамаев. Скобки Дирака в геометрии и механике. В книге: Дирак П. А. М. Лекции по теоретической физике. — Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2001. — С. 191 – 230. — 240 с. — ISBN 5-93972-026-9.
  2. С. П. Барановский, И. В. Широков. Деформации векторных полей и канонические координаты на орбитах коприсоединенного представления (рус.) // Сибирский математический журнал. — 2009. — Июль — август (т. 50, № 4). — С. 737 — 745. — ISSN 0037-4474.
  3. Do Ngoc Diep. Quantum strata of coadjoint orbits (англ.) // arXiv.org. — 2000. — May. — P. 1 — 27. — ISSN 2331-8422.

СсылкиПравить