Коприсоединённое представление

Коприсоединённое представление $\mathrm {Ad} ^{*}$ группы Ли $G$ — это представление, сопряжённое к присоединённому. Если ${\mathfrak {g}}$ — алгебра Ли группы $G$, соответствующее действие $G$ на пространстве ${\mathfrak {g}}^{*}$, сопряжённом к ${\mathfrak {g}}$, называется коприсоединённым действием. С геометрической точки зрения оно представляет собой действие левыми сдвигами на пространстве правоинвариантных 1-форм на $G$.

Важность коприсоединённого представления была подчёркнута в работах А. А. Кириллова, показавшего, что ключевую роль в теории представлений нильпотентных групп Ли $G$ играет понятие орбиты коприсоединённого представления (К-орбиты). В методе орбит Кириллова представления $G$ строятся геометрически, отталкиваясь от К-орбит. В некотором смысле последние заменяют собой классы сопряжённости $G$, которые могут быть устроены сложным образом, в то время как работать с орбитами сравнительно просто.

Определение

Пусть $G$ — группа Ли и ${\mathfrak {g}}$ — её алгебра Ли, $\mathrm {Ad} :G\rightarrow \mathrm {Aut} ({\mathfrak {g}})$ — присоединённое представление $G$. Тогда коприсоединённое представление $\mathrm {Ad} ^{*}:G\rightarrow \mathrm {Aut} ({\mathfrak {g}}^{*})$ определяется как $\mathrm {Ad} _{g}^{*}:=\left(\mathrm {Ad} _{g^{-1}}\right)^{*}$. Более точно,

$\langle \mathrm {Ad} _{g}^{*}f,\,X\rangle =\langle f,\,\mathrm {Ad} _{g^{-1}}X\rangle ,\qquad g\in G,\quad X\in {\mathfrak {g}},\quad f\in {\mathfrak {g}}^{*},$

где $\langle f,X\rangle$ — значение линейного функционала $f$ на векторе $X$.

Пусть $\mathrm {ad} ^{*}$ — представление алгебры Ли ${\mathfrak {g}}$ в ${\mathfrak {g}}^{*}$, индуцированное коприсоединённым представлением группы Ли $G$. Тогда для $X\in {\mathfrak {g}}$ справедливо равенство $\mathrm {ad} _{X}^{*}=-\left(\mathrm {ad} _{X}\right)^{*}$, где $\mathrm {ad}$ — присоединённое представление алгебры Ли ${\mathfrak {g}}$. Это заключение может быть сделано исходя из инфинитезимальной формы приведённого выше определяющего уравнения для $\mathrm {Ad} ^{*}$:

$\langle \mathrm {ad} _{X}^{*}f,\,Y\rangle :=\left.{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\langle \mathrm {Ad} _{\exp(tX)}^{*}f,\,Y\rangle \right|_{t=0}=\left.{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\langle f,\,\mathrm {Ad} _{\exp(-tX)}Y\rangle \right|_{t=0}=\langle f,\,-\mathrm {ad} _{X}Y\rangle ,\qquad X,Y\in {\mathfrak {g}},\quad f\in {\mathfrak {g}}^{*},$

где $\exp$ — экспоненциальное отображение из ${\mathfrak {g}}$ в $G$.

Генераторы

Пусть $\varphi \in C^{1}({\mathfrak {g}}^{*})$ — дифференцируемая функция на ${\mathfrak {g}}^{*}$. Рассмотрим изменение функции $\varphi$ при коприсоединённом действии однопараметрической подгруппы $e^{tX}\subset G$ в направлении вектора $X\in {\mathfrak {g}}$ и продифференцируем его в единице группы:

$\left.{\frac {\mathrm {d} \varphi (\mathrm {Ad} _{\exp(-tX)}^{*}f)}{\mathrm {d} t}}\right|_{t=0}=\langle \left.{\frac {\mathrm {d} \mathrm {Ad} _{\exp(-tX)}^{*}f}{\mathrm {d} t}}\right|_{t=0},\,\nabla _{f}\varphi (f)\rangle =-\langle \mathrm {ad} _{X}^{*}f,\,\nabla _{f}\varphi (f)\rangle =\langle f,\,\mathrm {ad} _{X}\nabla _{f}\varphi (f)\rangle .$

(1)

Здесь $\nabla _{f}\varphi$ — градиент функции $\varphi$, который естественным образом отождествляется с элементом алгебры ${\mathfrak {g}}$. Выберем некоторый базис $\{e_{i}\}$ в алгебре ${\mathfrak {g}}$ и пусть $\{e^{i}\}$ — взаимный ему базис в ${\mathfrak {g}}^{*}$, то есть $\langle e_{i},\,e_{j}\rangle =\delta _{j}^{i}$, $i,j=1,...,\dim {\mathfrak {g}}$, где $\delta _{j}^{i}$ — символ Кронекера. Выберем в качестве $X$ базисный вектор $e_{i}$. Тогда равенство (1) приобретает вид

$\left.{\frac {\mathrm {d} \varphi (\mathrm {Ad} _{\exp(-te_{i})}^{*}f)}{\mathrm {d} t}}\right|_{t=0}=C_{ij}^{k}f_{k}{\frac {\partial \varphi (f)}{\partial f_{j}}}$

(по дважды повторяющимся индексам здесь и ниже подразумевается суммирование), откуда видно, что в качестве базиса генераторов коприсоединённого действия можно выбрать набор векторных полей

${\hat {X}}_{i}=C_{ij}^{k}f_{k}{\frac {\partial }{\partial f_{j}}},\qquad i=1,...,\dim {\mathfrak {g}}$,

где $C_{ij}^{k}$ — структурные константы алгебры ${\mathfrak {g}}$.

Инварианты

Инварианты $K$ коприсоединённого действия удовлетворяют системе дифференциальных уравнений

${\hat {X}}_{i}K\equiv C_{ij}^{k}f_{k}{\frac {\partial K(f)}{\partial f_{j}}}=0,\qquad i=1,...,\dim {\mathfrak {g}}.$

(2)

Определим антисимметричную билинейную форму $B_{f}(X,\,Y)$ на ${\mathfrak {g}}$ посредством равенства

$B_{f}(X,\,Y):=\langle f,\,[X,\,Y]\rangle ,\qquad X,Y\in {\mathfrak {g}}$.

Количество независимых уравнений в системе (2) равно $\mathrm {rank} \,B_{f}$. Её решения в окрестности точки общего положения (то есть точки, в которой ранг формы $B_{f}$ максимален) называются функциями Казимира алгебры ${\mathfrak {g}}$. Число функционально независимых нетривиальных (не тождественно постоянных) функций Казимира называется индексом алгебры ${\mathfrak {g}}$ и равно

$\mathrm {ind} \,{\mathfrak {g}}=\dim {\mathfrak {g}}-\sup \limits _{f\in {\mathfrak {g}}^{*}}\mathrm {rank} \,B_{f}$.

Так как ранг антисимметричной формы чётен, то чётности индекса и размерности алгебры всегда совпадают.

Помимо функций Казимира $K_{\mu }$, $\mu =1,...,\mathrm {ind} \,{\mathfrak {g}}$, определённых в точках общего положения пространства ${\mathfrak {g}}^{*}$, могут существовать инварианты, заданные на особых подмногообразиях коприсоединённого действия, на которых ранг формы $B_{f}$ ниже максимального. Если на особом инвариантном побмногообразии $M_{s}\subset {\mathfrak {g}}^{*}$ ранг формы $B_{f}$ равен $\dim {\mathfrak {g}}-\mathrm {ind} \,{\mathfrak {g}}-2s$, $s=1,...,(\dim {\mathfrak {g}}-\mathrm {ind} \,{\mathfrak {g}})/2$, то непостоянные решения $K^{(s)}$ системы (2), ограниченной на подмногообразие $M_{s}$, называются функциями Казимира типа $s$. Совокупность независимых функций $\{K_{\mu },K_{\nu }^{(1)},...,K_{\rho }^{((\dim {\mathfrak {g}}-\mathrm {ind} \,{\mathfrak {g}})/2)}\}$ образует базис инвариантов коприсоединённого действия: любой инвариант может быть выражен как функция от элементов этого набора. Из вида системы (2) следует, что базис инвариантов всегда может быть составлен из однородных функций от компонент ковектора $f$.

К-орбиты

Орбита коприсоединённого представления, или, коротко, К-орбита, ${\mathcal {O}}$, проходящая через точку $f$ в сопряжённом пространстве ${\mathfrak {g}}^{*}$ к алгебре Ли ${\mathfrak {g}}$, может быть определена как орбита $\mathrm {Ad} _{G}^{*}f\subset {\mathfrak {g}}^{*}$, или, эквивалентно, как однородное пространство $G/\mathrm {Stab} (f)$, где $\mathrm {Stab} (f)\subset G$ — стабилизатор точки $f$ относительно коприсоединённого действия группы $G$.

Орбиты общего положения имеют максимально возможную размерность, равную $\dim {\mathfrak {g}}-\mathrm {ind} \,{\mathfrak {g}}$, и называются невырожденными, или регулярными. Такие орбиты определяются через произвольный набор независимых функций Казимира уравнениями

$K_{\mu }(f)=\kappa _{\mu },\qquad \mu =1,...,\mathrm {ind} \,{\mathfrak {g}}.$

Аналогично вырожденные, или сингулярные, орбиты размерности $\dim {\mathfrak {g}}-\mathrm {ind} \,{\mathfrak {g}}-2s$, составляющие особые инвариантные подмногообразия $M_{s}$, определяются уравнениями

$K_{\mu }^{(s)}(f)=\kappa _{\mu }^{(s)},\qquad \mu =1,...,r_{s},$

где $r_{s}$ — количество независимых функций Казимира типа $s$. Если функции Казимира однозначны, каждому набору постоянных $\kappa _{\mu }^{(s)}$ соответствует счётное (как правило, конечное) число орбит. Ковекторы, принадлежащие (не)вырожденной орбите, также называют (не)вырожденными.

Форма Кириллова

Орбиты коприсоединённого представления являются подмногообразиями чётной размерности в ${\mathfrak {g}}^{*}$ и обладают естественной симплектической структурой. На каждой орбите ${\mathcal {O}}$ существует замкнутая невырожденная $G$-инвариантная 2-форма $\omega _{\mathcal {O}}$, которая строится следующим образом. Пусть $B_{f}$ — определённая выше антисимметричная билинейная форма на ${\mathfrak {g}}$. Тогда можно определить $\omega _{\mathcal {O}}\in \mathrm {Hom} (\Lambda ^{2}({\mathcal {O}}),\mathbb {R} )$ посредством равенства

$\omega _{\mathcal {O}}(\mathrm {ad} _{X}^{*}f,\,\mathrm {ad} _{Y}^{*}f):=B_{f}(X,\,Y)$.

Существование, невырожденность и $G$-инвариантность $\omega _{\mathcal {O}}$ вытекают из следующих фактов:

• Касательное пространство $T_{f}({\mathcal {O}})$ может быть отождествлено с ${\mathfrak {g}}/\mathrm {stab} (f)$, где $\mathrm {stab} (f)$ — алгебра Ли группы $\mathrm {Stab} (f)$.

• Ядро отображения $B_{f}$ есть в точности $\mathrm {stab} (f)$.

• $B_{f}$ инвариантно относительно действия $\mathrm {Stab} (f)$.

Кроме того, форма $\omega _{\mathcal {O}}$ замкнута. Каноническую 2-форму $\omega _{\mathcal {O}}$ называют формой Кириллова, Кириллова — Костанта или Кириллова — Костанта — Сурио.

К-орбита ${\mathcal {O}}$ называется целочисленной, если форма Кириллова принадлежит целочисленному классу когомологий, то есть её интеграл по любому двумерному циклу $\sigma$ в ${\mathcal {O}}$ равен целому числу:

$\int \limits _{\sigma }\omega _{\mathcal {O}}=n\in Z$.

Целочисленные орбиты играют центральную роль при построении неприводимых представлений групп Ли методом орбит.

Скобка Березина

Форма $B_{f}$ снабжает пространство ${\mathfrak {g}}^{*}$ структурой Пуассонова многообразия со скобкой Ли — Пуассона

$\{\varphi ,\,\psi \}_{LP}=B_{f}(\mathrm {d} \varphi ,\,\mathrm {d} \psi )=C_{ij}^{k}f_{k}{\frac {\partial \varphi (f)}{\partial f_{i}}}{\frac {\partial \psi (f)}{\partial f_{j}}},\qquad \varphi ,\psi \in C^{2}({\mathfrak {g}}^{*})$,

являющейся вырожденной скобкой Пуассона: из вида генераторов коприсоединённого действия очевидно, что функции Казимира (и только они) коммутируют относительно неё с любой функцией на ${\mathfrak {g}}^{*}$. Ограничение этой скобки на орбиты коприсоединённого представления, называемое скобкой Березина, невырожденно и совпадает со скобкой Пуассона $\{\cdot ,\,\cdot \}_{\omega _{\mathcal {O}}}$, порождаемой формой Кириллова:

$\{\varphi ,\,\psi \}_{\omega _{\mathcal {O}}}=\omega _{\mathcal {O}}(\mathrm {sgrad} \,\varphi ,\,\mathrm {sgrad} \,\psi )=\left.\{\varphi ,\,\psi \}_{LP}\right|_{\mathcal {O}}$.

Здесь $\mathrm {sgrad} \,\varphi$ — гамильтоново векторное поле с гамильтонианом $\varphi$.

Свойства К-орбит

• Коприсоединённое действие на К-орбите $({\mathcal {O}},\omega _{\mathcal {O}})$ являетсяa гамильтоновым $G$-действием с отображением момента ${\mathcal {O}}\hookrightarrow {\mathfrak {g}}^{*}$.
• Если для орбиты ${\mathcal {O}}$ существует поляризация, то вложение ${\mathcal {O}}\hookrightarrow {\mathfrak {g}}^{*}$ может быть реализовано функциями $f_{i}(q,p),\ i=1,...,\dim {\mathfrak {g}}$, линейными по $1/2\,\dim {\mathcal {O}}$ переменным $p$, где $(q,\,p)$ — канонические координаты для формы Кириллова на орбите ${\mathcal {O}}$.

Примеры

Группа E(2)

Алгебра Ли ${\mathfrak {e}}(2)$ группы $E(2)$ движений евклидовой плоскости определяется коммутационными соотношениями

$[e_{1},\,e_{2}]=0,\qquad [e_{1},\,e_{3}]=e_{2},\qquad [e_{2},\,e_{3}]=-e_{1}$

(коммутирующие элементы $e_{1}$ и $e_{2}$ соответствуют трансляциям плоскости в направлении двух координатных осей, а элемент $e_{3}$ — вращению вокруг некоторой точки; таким образом, группа $E(2)$ трёхмерна). Соответственно, матрица формы $B_{f}$ имеет вид

$(B_{f})={\begin{pmatrix}0&0&f_{2}\\0&0&-f_{1}\\-f_{2}&f_{1}&0\end{pmatrix}}$

Её ранг равен двум всюду, кроме прямой $f_{1}=f_{2}=0$, представляющей собой особое инвариантное подмногообразие $M_{1}$ коприсоединённого действия группы $E(2)$ на ${\mathfrak {e}}(2)^{*}$, поэтому невырожденные К-орбиты двумерны. По генераторам этого действия

${\hat {X}}_{1}=f_{2}{\frac {\partial }{\partial f_{3}}},\qquad {\hat {X}}_{2}=-f_{1}{\frac {\partial }{\partial f_{3}}},\qquad {\hat {X}}_{3}=-f_{2}{\frac {\partial }{\partial f_{1}}}+f_{1}{\frac {\partial }{\partial f_{2}}}$

выписываются два независимых уравнения

$f_{2}{\frac {\partial K(f)}{\partial f_{3}}}=-f_{2}{\frac {\partial K(f)}{\partial f_{1}}}+f_{1}{\frac {\partial K(f)}{\partial f_{2}}}=0,\qquad f_{1}^{2}+f_{2}^{2}\neq 0$,

определяющие единственную функцию Казимира. Неособые многообразия её уровня

$K(f)=f_{1}^{2}+f_{2}^{2}=\kappa \equiv j^{2},\qquad j\neq 0$,

каждое из которых состоит из одной орбиты, представляют собой цилиндры с общей осью $M_{1}$. Особое многообразие уровня ($j=0$) совпадает с $M_{1}$ и состоит из (нульмерных) сингулярных орбит $f_{1}=f_{2}=0$, $f_{3}=\kappa ^{(1)}$. Форма Кириллова

$\omega _{\mathcal {O}}={\frac {\mathrm {d} f_{3}\wedge \mathrm {d} f_{2}}{f_{1}}}$

приводится к каноническому виду $\omega _{\mathcal {O}}=\mathrm {d} p\wedge \mathrm {d} q$ в цилиндрических координатах, ограниченных на фиксированную орбиту $j=const$:

$f_{1}=j\cos q,\qquad f_{2}=j\sin q,\qquad f_{3}=p$.

Заметим, что переход к каноническим переменным в данном случае линеен по $p$. Возможность линейного по «импульсу» $q$-$p$-перехода гарантируется наличием в ${\mathfrak {e}}(2)$ двумерной подалгебры трансляций, натянутой на векторы $e_{1}$, $e_{2}$, являющейся в силу своей коммутативности поляризацией для любой невырожденной К-орбиты.

Группа SO(3)

$SO(3)$ — (трёхмерная) группа вращений трёхмерного евклидова пространства. Коммутационные соотношения в её алгебре Ли ${\mathfrak {so}}(3)$

$[e_{1},\,e_{2}]=e_{3},\qquad [e_{1},\,e_{3}]=-e_{2},\qquad [e_{2},\,e_{3}]=e_{1}$

(каждый базисный вектор соответствует генератору вращения в одной из трёх взаимно перпендикулярных плоскостей) определяют вид матрицы формы $B_{f}$:

$(B_{f})={\begin{pmatrix}0&f_{3}&-f_{2}\\-f_{3}&0&f_{1}\\f_{2}&-f_{1}&0\end{pmatrix}}$.

Из трёх генераторов коприсоединённого представления в каждой точке $f\in {\mathfrak {so}}(3)^{*}\backslash \{0\}$ линейно независимы только два, поэтому несингулярные орбиты двумерны. Они представляют собой концентрические сферы

$K(f)=f_{1}^{2}+f_{2}^{2}+f_{3}^{2}=\kappa \equiv j^{2},\qquad j\neq 0$,

с центром в начале координат. Особое подмногообразие $M_{1}$ состоит из одной точки $\{0\}$, так как только в ней все три генератора становятся нулевыми.

Поскольку в алгебре ${\mathfrak {so}}(3)$ нет двумерных подалгебр, то регулярные ковекторы не имеют поляризаций, соответственно, вложение регулярных орбит в пространство ${\mathfrak {so}}(3)^{*}$ не может быть реализовано функциями, линейными по каноническим $p$-переменным для формы Кириллова

$\omega _{\mathcal {O}}={\frac {\mathrm {d} f_{1}\wedge \mathrm {d} f_{2}}{f_{3}}}$.

Однако (комплексные) двумерные подалгебры, подчинённые невырожденным ковекторам, имеются в ${\mathfrak {so}}(3)^{\mathbb {C} }$, комплексификации алгебры ${\mathfrak {so}}(3)$. Например, для ковектора $j\,e^{3}$ таковой является подалгебра $\{e_{1}+ie_{2},\,e_{3}\}$, поэтому такое вложение оказывается возможным посредством переменных, принимающих комплексные значения:

$f_{1}={\frac {i}{2}}\left(1-q^{2}\right)p+j\,q,\qquad f_{2}=-{\frac {1}{2}}\left(1+q^{2}\right)p-ij\,q,\qquad f_{3}=-i\,q\,p+j,\qquad q,\ p\in \mathbb {C} ,\quad |p|\leqslant j$.

Легко проверить, что этим преобразованием форма $\omega _{\mathcal {O}}$ действительно приводится к каноническому виду.

См. также

• Присоединённое представление
• Метод орбит Кириллова
• Теорема Бореля — Вейля — Ботта
• Формула характера Кириллова

Литература

• А. А. Кириллов. Элементы теории представлений. — М.: Наука, 1978. — 343 с.
• Kirillov, A. A., Lectures on the Orbit Method, Graduate Studies in Mathematics, Vol. 64, American Mathematical Society, ISBN 0821835300, ISBN 978-0821835302

Ссылки

• Coadjoint orbit (англ.) на сайте PlanetMath.