Однородный звёздчатый многогранник

Однородный звёздчатый многогранник — самопересекающийся однородный многогранник. Эти многогранники называются также невыпуклыми многогранниками, подчёркивая самопересечение. Каждый многогранник может содержать грани в виде звёздчатых многоугольников или иметь звёздчатые вершинные фигуры, но может содержать и то, и другое.

Витрина с однородными многогранниками в Музее науки в Лондоне

Полный набор 57 непризматических однородных звёздчатых многогранников включает 4 правильных, называемых телами Кеплера — Пуансо, 5 квазиправильных, и 48 полуправильных.

Существует также два бесконечных множества однородных звёздчатых призм и антипризм.

Так же, как (невырожденные) звёздчатые многоугольники (которые имеют плотность^[англ.] большую 1) соответствуют круговым многоугольникам с перекрывающимися частями, звёздчатые многогранники, которые не проходят через центр, имеют плотность^[англ.], большую 1, и соответствуют сферическим многогранникам с перекрывающимися частями. Существует 48 таких непризматических однородных звёздчатых многогранников. Оставшиеся 9 непризматических однородных звёздчатых многогранников имеют грани, проходящие через центр, являются полумногогранниками^[англ.] и не соответствуют сферическим многогранникам, поскольку центр не может быть однозначно спроецирован на сферу.

Невыпуклые формы конструируются из треугольников Шварца.

Все треугольники, перечисленные ниже, сгруппированы по их группам симметрии, а внутри сгруппированы по расположению вершин.

Правильные многогранники помечены их символами Шлефли. Другие, неправильные однородные многогранники снабжены их вершинной конфигурацией или их номером однородного многогранника (Uniform polyhedron index, U(1-80)).

Примечание: Для невыпуклых форм ниже приводится дополнительное описание Неоднородный, когда выпуклая оболочка набора вершин^[англ.] имеет ту же топологию, но имеет неправильные грани. Например, неоднородное скашивание (удаление рёбер) может дать прямоугольники на местах удалённых рёбер, а не квадраты.

Диэдральная симметрия

См. Призматический однородный многогранник.

Тетраэдральная симметрия

Треугольники (3 3 2) на сфере

Существует один невыпуклый вид, тетрагемигексаэдр, который имеет тетраэдральную симметрию (с фундаментальной областью треугольник Мёбиуса (3 3 2)).

Существует два треугольника Шварца, из которых образуются уникальные невыпуклые однородные многогранники — прямоугольный треугольник (3/2 3 2) и один треугольник общего вида (3/2 3 3). Треугольник (3/2 3 3) генерирует октагемиоктаэдр^[англ.], который приведён ниже в разделе октаэдральной симметрии^[англ.].

Расположение вершин^[англ.] (Выпуклая оболочка)	Невыпуклые виды
Тетраэдр
Спрямлённый тетраэдр Октаэдр	(4.3/2.4.3) 3/2 3 \| 2
Усечённый тетраэдр
Скошенный тетраэдр (Кубооктаэдр)
Всеусечённый тетраэдр (Усечённый октаэдр)
Плосконосый тетраэдр (Икосаэдр)

Октаэдральная симметрия

Треугольники (4 3 2) на сфере

Существует 8 выпуклых форм и 10 невыпуклых с октаэдральной симметрией^[англ.] (с фундаментальной областью треугольник Мёбиуса (4 3 2)).

Существует четыре треугольника Шварца, которые образуют невыпуклые формы, два прямоугольных, (3/2 4 2) и (4/3 3 2), и два общего вида, (4/3 4 3) и (3/2 4 4).

Расположение вершин^[англ.] (Выпуклая оболочка)	Невыпуклые виды
Куб
Октаэдр
Кубооктаэдр	(6.4/3.6.4)^[англ.] 4/3 4 \| 3	(6.3/2.6.3)^[англ.] 3/2 3 \| 3
Усечённый куб	4.8/3.4/3.8/5) 2 4/3 (3/2 4/2) \|	(8/3.3.8/3.4)^[англ.] 3 4 \| 4/3	(4.3/2.4.4)^[англ.] 3/2 4 \| 2
Усечённый октаэдр
Ромбокубооктаэдр	(4.8.4/3.8)^[англ.] 2 4 (3/2 4/2) \|	(8.3/2.8.4)^[англ.] 3/2 4 \| 4	(8/3.8/3.3)^[англ.] 2 3 \| 4/3
Неоднородный Усечённый кубооктаэдр	(4.6.8/3)^[англ.] 2 3 4/3 \|
Неоднородный Усечённый кубооктаэдр	(8/3.6.8)^[англ.] 3 4 4/3 \|
Плосконосый куб

Икосаэдральная симметрия

Треугольники (5 3 2) на сфере

Имеется 8 выпуклых форми и 46 невыпуклых с икосаэдральной симметрией (с фундаментальной областью треугольник Мёбиуса (5 3 2)). (или 47 невыпуклых форм, если включать фигуру Скиллинга). Некоторые невыпуклые плосконосые виды имеют зеркальную вершинную симметрию.

Расположение вершин^[англ.] (Выпуклая оболочка)	Невыпуклые виды
Икосаэдр	{5,5/2}	{5/2,5}	{3,5/2}
Неоднородный Усечённый икосаэдр 2 5 \|3	U37^[англ.] 2 5/2 \| 5	U61^[англ.] 5/2 3 \| 5/3	U67^[англ.] 5/3 3 \| 2	U73^[англ.] 2 5/3 (3/2 5/4) \|
Неоднородный Усечённый икосаэдр 2 5 \|3	U38^[англ.] 5/2 5 \| 2	U44^[англ.] 5/3 5 \| 3	U56^[англ.] 2 3 (5/4 5/2) \|
Неоднородный Усечённый икосаэдр 2 5 \|3	U32^[англ.] \| 5/2 3 3
Икосододекаэдр 2 \| 3 5	U49^[англ.] 3/2 3 \| 5	U51^[англ.] 5/4 5 \| 5	U54 2 \| 3 5/2	U70^[англ.] 5/3 5/2 \| 5/3	U71^[англ.] 3 3 \| 5/3	U36 2 \| 5 5/2	U62^[англ.] 5/3 5/2 \| 3	U65^[англ.] 5/4 5 \| 3
Усечённый додекаэдр 2 3 \| 5	U42^[англ.]	U48^[англ.]	U63^[англ.]
Неоднородный усечённый додекаэдр	U72^[англ.]
Додекаэдр	{5/2,3}	U30^[англ.]	U41^[англ.]	U47^[англ.]
Ромбоикосододекаэдр	U33^[англ.]	U39^[англ.]	U58^[англ.]
Додекаэдр со снятыми кромками	U55^[англ.]
Неоднородный Ромбоикосододекаэдр	U31^[англ.]	U43^[англ.]	U50^[англ.]	U66^[англ.]
Неоднородный ромбоикосододекаэдр	U75^[англ.]	U64^[англ.]	Тело Скиллинга^[англ.] (см. ниже)
Неоднородный Ромбоусечённый икосододекаэдр	U45^[англ.]
Неоднородный Ромбоусечённый икосододекаэдр	U59^[англ.]
Неоднородный Ромбоусечённый икосододекаэдр	U68^[англ.]
Неоднородный Плосконосый додекаэдр	U40^[англ.]	U46^[англ.]	U57^[англ.]	U69	U60^[англ.]	U74

Тело Скиллинга

Ещё одним невыпуклым многогранником является большой биплосконосый биромбододекаэдр^[англ.], известный также как тело Скиллинга, которое вершинно однородно, но имеет разделяемые общие для граней пары рёбер, так что четыре грани имеют одно общее ребро. Иногда его причисляют к однородным многогранникам, но не всегда. Тело имеет симметрию I_h.

Вырожденные случаи

Коксетер с помощью построения Витхоффа определил некоторое число вырожденных звёздчатых многогранников, которые имеют перекрывающиеся рёбра или вершины. Эти вырожденные формы включают:

См. также

Примечания

Литература

H. S. M. Coxeter, M. S. Longuet-Higgins, J. C. P. Miller. Uniform polyhedra // Philosophical Transactions of the Royal Society of London. Series A. Mathematical and Physical Sciences. — The Royal Society, 1954. — Т. 246, вып. 916. — С. 401–450. — ISSN 0080-4614. — doi:10.1098/rsta.1954.0003. — JSTOR 91532.
М. Веннинджер. Модели многогранников. — «Мир», 1974.
M. Brückner. Vielecke und vielflache. Theorie und geschichte. — Leipzig, Germany: Teubner, 1900.
С.П. Сопов. Доказательство полноты перечня элементарных однородных многогранников // Украинский геометрический сборник. — 1970. — Вып. 8. — С. 139–156.
J. Skilling. The complete set of uniform polyhedra // Philosophical Transactions of the Royal Society of London. Series A. Mathematical and Physical Sciences. — 1975. — Т. 278. — С. 111–135. — ISSN 0080-4614. — doi:10.1098/rsta.1975.0022. — JSTOR 74475.
Har'El, Z. Uniform Solution for Uniform Polyhedra., Geometriae Dedicata 47, 57-110, 1993. Zvi Har’El, Kaleido software, Images, dual images
R. E. Mäder. Uniform Polyhedra // Mathematica. — 1993. — Вып. 3. — С. 48-57. [1] Архивная копия от 7 сентября 2015 на Wayback Machine
Peter W. Messer. Closed-Form Expressions for Uniform Polyhedra and Their Duals // Discrete & Computational Geometry. — 2002. — Вып. 27. — С. 353-375.
Richard Klitzing, 3D, uniform polyhedra Архивная копия от 23 октября 2015 на Wayback Machine

Ссылки

Weisstein, Eric W. Uniform Polyhedron (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.