Геометрическое распределение

Геометрическое распределение

Функция вероятности
Функция распределения
Обозначение	$\mathrm {Geom} (p)$
Параметры	$n\geq 0$ — число «неудач» до первого «успеха» $0<p\leq 1$ — вероятность «успеха» $\ q\equiv 1-p$ — вероятность «неудачи»	$n\geq 1$ — номер первого «успеха» $0<p\leq 1$ — вероятность «успеха» $\ q\equiv 1-p$ — вероятность «неудачи»
Носитель	$n\in \{0,1,2,3,\dots \}$	$n\in \{1,2,3,\dots \}$
Функция вероятности	$q^{n}p$	$q^{n-1}p$
Функция распределения	$1-q^{n+1}$	$1-q^{n}$
Математическое ожидание	${\frac {q}{p}}$	${\frac {1}{p}}$
Медиана	N/A	N/A
Мода	$0$	$1$
Дисперсия	${\frac {q}{p^{2}}}$	${\frac {q}{p^{2}}}$
Коэффициент асимметрии	${\frac {2-p}{\sqrt {1-p}}}$	${\frac {2-p}{\sqrt {1-p}}}$
Коэффициент эксцесса	$6+{\frac {p^{2}}{1-p}}$	$6+{\frac {p^{2}}{1-p}}$
Информационная энтропия	$-\log _{2}p-{\frac {q}{p}}\log _{2}{q}$	$-\log _{2}p-{\frac {q}{p}}\log _{2}{q}$
Производящая функция моментов	${\frac {p}{1-qe^{t}}};t<-\ln(q)$	${\frac {pe^{t}}{1-qe^{t}}}$
Характеристическая функция	${\frac {p}{1-qe^{it}}}$	${\frac {pe^{it}}{1-qe^{it}}}$

Под геометри́ческим распределе́нием в теории вероятностей подразумевают одно из двух распределений дискретной случайной величины:

• распределение вероятностей случайной величины $X$ равной номеру первого «успеха» в серии испытаний Бернулли и принимающей значения $n=1,2,3,...$;
• распределение вероятностей случайной величины $Y=X-1$ равной числу «неудач» до первого «успеха» и принимающей значения $n=0,1,2,...$.

Определение

• Говорят, что случайная величина $X$ имеет геометрическое распределение с параметром $p\in (0,1)$, и пишут $\mathrm {Geom} _{1}(p)$, если принимает значения $n=1,2,3,...$ с вероятностями $\mathbb {P} (X=n)=(1-p)^{n-1}p$. Случайная величина с таким распределением имеет смысл номера первого успешного испытания в схеме Бернулли с вероятностью успеха $p$.

• Пусть $Z_{1},\ldots ,Z_{n},\ldots$ — бесконечная последовательность независимых случайных величин с распределением Бернулли, то есть

$Z_{i}=\left\{{\begin{matrix}1,&p\\0,&q\equiv 1-p\end{matrix}}\right.,\;i=1,2,\ldots$.

Построим случайную величину $Y=\min \left\{i\mid Z_{i}=1\right\}-1$ — число «неудач» до первого «успеха». Распределение случайной величины $Y$ называется геометрическим с вероятностью «успеха» $p$, что обозначается следующим образом: $Y\sim \mathrm {Geom} _{0}(p)$. Функция вероятности случайной величины $Y$ имеет вид: $\mathbb {P} (Y=n)=q^{n}p,\;n=0,1,2,\ldots$.

Замечание

• Иногда полагают по определению, что $X$ — номер первого «успеха». Тогда функция вероятности принимает форму $\mathbb {P} (X=n)=q^{n-1}p,\;$ где $n=1,2,3,\ldots$. В таблице справа приведены формулы для обоих вариантов.
• Функция вероятности является геометрической прогрессией, откуда и происходит название распределения.

Моменты

Пусть $X\sim \mathrm {Geom} _{1}(p)$ и $Y\sim \mathrm {Geom} _{0}(p)$. Тогда производящая функция моментов геометрического распределения имеет вид:

$M_{Y}(t)={\frac {pe^{t}}{1-qe^{t}}}$,

откуда

$\mathbb {E} [X]={\frac {1}{p}}$,

$\mathrm {D} [X]={\frac {q}{p^{2}}}$.

Справедливо, что $\mathbb {E} [Y]=\mathbb {E} [X-1]={\frac {1}{p}}-1={\frac {1-p}{p}}={\frac {q}{p}}$.

Свойства геометрического распределения

• Из всех дискретных распределений с носителем $\{1,2,3,\dots \}$ и фиксированным средним $\mu >1$ геометрическое распределение $\mathrm {Geom} (1/\mu )$ является одним из распределений с максимальной информационной энтропией.
• Если $X_{1},\ldots ,X_{n}$ независимы и $X_{i}\sim \mathrm {Geom} (p_{i}),\;i=1,\ldots ,n$, то

$X=\min \limits _{i}(X_{i})\sim \mathrm {Geom} \left(1-\prod \limits _{i=1}^{n}(1-p_{i})\right)$.

• Геометрическое распределение бесконечно делимо.

Отсутствие памяти

Если $X\sim \mathrm {Geom} (p)$, то $\mathbb {P} (X>m+n\mid X\geq m)=\mathbb {P} (X>n)\;,\forall m,n\in \mathbb {N} \cup \{0\}$, то есть число прошлых «неудач» не влияет на число будущих «неудач».

Геометрическое распределение — это единственное дискретное распределение со свойством отсутствия памяти.

Связь с другими распределениями

• Геометрическое распределение является частным случаем отрицательного биномиального распределения: $\mathrm {Geom} (p)\equiv \mathrm {NB} (1,p)$.
• Если $Y_{1},\ldots ,Y_{n}$ независимы и $Y_{i}\sim \mathrm {Geom} (p),\;i=1,\ldots ,n$, то

$\sum \limits _{i=1}^{n}Y_{i}\sim \mathrm {NB} (n,p)$.

• Если в отрицательном биномиальном распределении параметр r=1, то отрицательное биномиальное распределение становится геометрическим распределением. Последнее распределение является распределением Бозе-Эйнштейна для одного источника (a single source)

Пример

Пусть игральная кость кидается до выпадания первой шестёрки.

• Рассчитайте вероятность того, что число испытаний, проводимых до первого успеха, включая последнее, успешное испытание будет не больше трёх.

Положим $X\sim \mathrm {Geom} _{1}(p=1/6)$. Тогда

$\mathbb {P} (X\leq 3)=\mathbb {P} (X=1)+\mathbb {P} (X=2)+\mathbb {P} (X=3)=$

$=\left({\frac {5}{6}}\right)^{\!0}\left({\frac {1}{6}}\right)+\left({\frac {5}{6}}\right)^{\!1}\left({\frac {1}{6}}\right)+\left({\frac {5}{6}}\right)^{\!2}\left({\frac {1}{6}}\right)\approx 0{,}42$.

• Рассчитайте вероятность того, что число «неудач» до первого «успеха» будет не больше двух.

Положим $Y\sim \mathrm {Geom} _{0}(p=1/6)$. Тогда

$\mathbb {P} (Y\leq 2)=\mathbb {P} (Y=0)+\mathbb {P} (Y=1)+\mathbb {P} (Y=2)=$

$=\left({\frac {5}{6}}\right)^{0}\left({\frac {1}{6}}\right)+\left({\frac {5}{6}}\right)^{1}\left({\frac {1}{6}}\right)+\left({\frac {5}{6}}\right)^{2}\left({\frac {1}{6}}\right)\approx 0{,}42$.

См. также

• Биномиальное распределение.