Преобразование Мёбиуса

(перенаправлено с «Преобразование Кэли»)

Преобразова́ние Мёбиуса — преобразование одноточечной компактификации евклидова пространства , представляющее собой композицию конечного числа инверсий относительно гиперсфер и отражений относительно гиперплоскостей[1].

Вид преобразований на комплексной плоскости (серая) и сфере Римана (чёрная)

На комплексной плоскости преобразования Мёбиуса суть простейшие конформные преобразования, а в многомерных расширенных вещественных пространствах размерностей больше двух все конформные отображения мёбиусовы по теореме Лиувилля[1].

В англоязычной литературе термин «преобразование Мёбиуса» часто определяют только для частного случая преобразования Мёбиуса, задаваемого двумя условиями:

Это определение может рассматриваться как частный случай общего для , поскольку если расширенную комплексную плоскость представить себе как , то определения эквивалентны. В русскоязычной литературе для дробно-линейных функций комплексных чисел используют термин дробно-линейное преобразование.

Для случая одноточечная компактификация прямой представляет собой проективно расширенную числовую прямую. На ней преобразования Мёбиуса могут быть определены аналогично комплексному случаю с помощью дробно-линейных функций.

Проективно расширенная числовая прямая

править

В случае   пространство   представляет собой расширенную числовую прямую. В этом случае преобразование Мёбиуса допускает альтернативное определение при помощи дробно-линейной функции:

 

Расширенная комплексная плоскость

править

В случае   пространство   можно рассматривать как расширенную комплексную плоскость. При таком рассмотрении частный случай преобразования Мёбиуса также называется дробно-линейным преобразованием и допускает альтернативное определение при помощи дробно-линейной функции:

 

В пространстве размерности 2 преобразование Мёбиуса переводит обобщённые окружности в обобщённые окружности.

Легко проверяются следующие простые свойства:

  1. Тождественное отображение   также является частным случаем дробно-линейной функции. Достаточно подставить  
  2. Суперпозиция дробно-линейных отображений также будет представлять собой дробно-линейную функцию.
  3. Функция, обратная дробно-линейной, также будет являться такой.

Отсюда следует, что дробно-линейные отображения будут образовывать группу относительно операции суперпозиции (группа автоморфизмов сферы Римана, именуемая также группой Мёбиуса). Эта группа является комплексно-трёхмерной группой Ли.

Алгебраические свойства

править

При умножении параметров  ,  ,  ,   на ненулевое комплексное число преобразование не меняется. Говоря формально, группа Мёбиуса является проективизацией группы  , то есть имеет место эпиморфизм:  .

Группа Мёбиуса изоморфна специальной ортохронной группе Лоренца  .

Предположим, что матрица, соответствующая преобразованию, нормализована, то есть удовлетворяет условию  . Тогда, в зависимости от следа этой матрицы, равного  , можно классифицировать все дробно-линейные отображения на три типа:

  • эллиптические:  ;
  • параболические:  ;
  • гиперболические:  .

Геометрические свойства

править

Во-первых, любое дробно-линейное отображение может быть представлено в виде комбинации сдвигов, инверсий, поворотов и растяжений. Это доказывается просто — произвольное отображение   разложимо в суперпозицию четырёх функций:

 

где

 

Во-вторых, непосредственно из этого сразу следует свойство сохранения углов и сохранения окружностей при дробно-линейном отображении, так как все отображения, входящие в суперпозицию, конформны. Здесь подразумеваются окружности на сфере Римана, в число которых входят прямые на плоскости.

Далее, для трёх попарно различных точек   существует единственное дробно-линейное отображение, переводящее эти три точки в заданные три попарно различные точки  . Оно строится, исходя из того, что дробно-линейные отображения сохраняют ангармоническое отношение четырёх точек комплексной плоскости. Если точка   является образом точки  , то выполняется равенство

 

которое (при условии, что   при  ) однозначно определяет искомое отображение  

Преобразование Мёбиуса и единичный круг

править

Преобразование Мёбиуса

 

является автоморфизмом единичного круга   тогда и только тогда, когда   и  .

Как для сферы Римана, так и для единичного круга дробно-линейными функциями исчерпываются все конформные автоморфизмы. Автоморфизмы единичного круга образуют вещественно-трёхмерную подгруппу группы Мёбиуса; каждый из них выражается в виде:

 

Примеры

править

Одним из важных примеров дробно-линейной функции является преобразование Кэли:

 

Оно связывает две канонические области на комплексной плоскости, отображая верхнюю полуплоскость   в единичный круг  .

Пространства старших размерностей

править

Начиная с   любое конформное отображение является преобразованием Мёбиуса. Преобразования Мёбиуса имеют один из следующих видов:

  •  
  •  ,

где  ,  ортогональная матрица.

Примечания

править

Источники

править
  • Шабат Б. В. Введение в комплексный анализ. — М.: Наука, 1969. — 577 с.
  • Крушкаль С. Л. Предисловие редактора перевода // Альфорс Л. Преобразования Мёбиуса в многомерном пространстве: Пер. с англ. Н. А. Гусевского. Под ред. С. Л. Крушкаля. М.: Мир, 1986. 112 с., ил. [Современная математика. Вводные курсы.] [Ahlfors Lars V. Möbius Transformations in Several Dimensions. School of Mathematics, University of Minnesota, 1981.]
  • Иванов А. Б. Круговое преобразование // Математическая энциклопедия: Гл. ред. И. М. Виноградов, т. 3 Коо—Од. М.: «Советская Энциклопедия», 1982. 1184 стб., ил. С. 122.

Ссылки

править