Пространственная форма

Пространственная форма — связное полное риманово многообразие постоянной секционной кривизны $k$ .

Пространственная форма называется сферической, евклидовой или гиперболической если соответственно $k>0$ , $k=0$ , $k<0$ .

С помощью перенормировки метрики классификацию пространственных форм можно свести к трём случаям: $k=-1,0,+1$ .

Примеры

Евклидовы пространственные формы:
- Евклидово пространство.
- Плоский тор $\mathbb {T} ^{n}=\mathbb {E} ^{n}/\Gamma$ , где $\Gamma$ — $n$ -мерная решётка в $\mathbb {E} ^{n}$ ,.
- Бутылка Клейна с плоской метрикой.
- При $n=3$ имеется $6$ классов ориентируемых и $4$ класса неориентируемых аффинно не эквивалентных компактных евклидовых пространственных форм
- Двумерная некомпактная евклидова пространственная форма, отличная от $\mathbb {E} ^{2}$ , гомеоморфна цилиндру, либо листу Мёбиуса.
Сферические пространственные формы:
- Сфера $\mathbb {S} ^{n}$ в $\mathbb {E} ^{n+1}$ радиуса $r>0$ есть сферическая пространственная форма кривизны $k=1/r^{2}$ .
- Линзовое пространство с метрикой постоянной кривизны
- Сфера Пуанкаре с метрикой постоянной кривизны
- Вещественное проективное пространство с метрикой постоянной кривизны
Гиперболические пространственные формы:
- Пространство Лобачевского $\mathbb {H} ^{n}$ .
- Двумерную ориентированную компактную гипрболическую пространственную форму рода $m$ можно склеить из выпуклого $4m$ -угольника в плоскости Лобачевского с попарно равными сторонами и суммой углов равной $2\pi$ . Семейство неизоморфных компактных гиперболических пространственных форм размерности $2$ рода $m$ зависит от $6m-6$ вещественных параметров.
- Примеры гиперболических пространственных форм приведены в^[1].

Общие свойства

При произвольном $n$ и $k$ существует единственная с точностью до изометрии $n$ -мерная односвязная пространственная форма $M_{k}^{n}$ кривизны $k$ . Если $k>0$ то это $n$ -мерная сфера радиуса $1/{\sqrt {k}}$ , при $k=0$ это евклидово пространство и при $k<0$ это $n$ -мерное пространство Лобачевского.
- Универсальное накрытие любой $n$ -мерной пространственной формы кривизны $k$ с поднятой метрикой изометрично $M_{k}^{n}$ .
- Иначе говоря, любая $n$ -мерная пространственная форма кривизны $k$ может быть получена из $M_{k}^{n}$ факторизацией по дискретной группе $\Gamma$ движений, действующих свободно (то есть без неподвижных точек); при этом два пространства $L=M_{k}^{n}/\Gamma$ и $L'=M_{k}^{n}/\Gamma '$ изометричны в том и только в том случае, когда $\Gamma$ и $\Gamma '$ сопряжены в группе всех движений $M_{k}^{n}$ . Тем самым проблема классификации пространственных форм сводится к задаче описания всех несопряженных групп движений пространств $\mathbb {S} ^{n}$ , $\mathbb {E} ^{n}$ и $\mathbb {H} ^{n}$ , действующих дискретно и свободно.

Свойства сферических пространственных форм

Исчерпывающая классификация сферических пространственных форм получена в^[2]

Если $n$ чётно, то единственным движением сферы $\mathbb {S} ^{n}$ без неподвижных точек является центральная симметрия, переводящая каждую точку сферы в диаметрально противоположную. Факторпространство $\mathbb {R} \mathrm {P} ^{n}=\mathbb {S} ^{n}/\Gamma$ по группе $\Gamma$ , порожденное этим движением, есть вещественная проективная плоскость с метрикой постоянной кривизны (также называется пространство Римана или эллиптическое пространство). В частности
- Любая сферическая пространственная форма чётной размерности $n$ изометрична либо $\mathbb {S} ^{n}$ , либо $\mathbb {R} \mathrm {P} ^{n}$ .
Любая конечная циклическая группа может служить фундаментальной группой сферической пространственной формы (см. линзовое пространство).
Чтобы нециклическая группа порядка $N$ могла служить фундаментальной группой $n$ -мерной сферической пространственной формы, необходимо (но не достаточно), чтобы $N$ было взаимно просто с $n+1$ и делилось на квадрат какого-либо целого числа.

Свойства eвклидовых пространственных форм

Фундаментальные группы компактных eвклидовых пространственных форм являются частным случаем кристаллографических групп.

Теорема Бибербаха о кристаллографической группе приводит к структурной теории компактных евклидовых пространственных форм произвольной размерности:

Для любого $n\geq 2$ существует только конечное число разных классов аффинно не эквивалентных компактных евклидовых пространственных форм размерности $n$ .
Две компактные евклидовы пространственные формы $M=\mathbb {E} ^{n}/\Gamma$ и $M'=\mathbb {E} ^{n}/\Gamma '$ аффинно эквивалентны, тогда и только тогда, когда их фундаментальные группы $\Gamma$ и $\Gamma '$ изоморфны.
- Например, любая двумерная компактная евклидова пространственная форма гомеоморфна (а следовательно, аффинно эквивалентна) либо плоскому тору, либо плоской бутылке Клейна.
Абстрактная группа $\Gamma$ тогда и только тогда может служить фундаментальной группой компактной eвклидовой пространственной формы $M^{n}$ , когда
1. $\Gamma$ имеет нормальную абелеву подгруппу $\Gamma ^{*}$ конечного индекса, изоморфную $\mathbb {Z} ^{n}$ ;
2. $\Gamma ^{*}$ совпадает со своим централизатором в $\Gamma$ ;
3. $\Gamma$ не имеет элементов конечного порядка.
- Если такая группа $\Gamma$ реализована в виде дискретной подгруппы в группе всех движений пространства $\mathbb {E} ^{n}$ , то $\Gamma ^{*}$ совпадает с множеством параллельных сдвигов, принадлежащих $\Gamma$ , и имеется нормальное накрытие пространства $M$ плоским тором $\mathbb {T} ^{n}=\mathbb {E} ^{n}/\Gamma ^{*}$ .
- Конечная группа $\Gamma /\Gamma ^{*}$ изоморфна группе голономии пространства $M^{n}$ .
Компактная евклидова пространственная форма всегда имеет конечную группу голономии.
- Справедливо и обратное утверждение: компактное риманово пространство, группа голономии которого конечна, является плоским.
Любая конечная группа изоморфна группе голономии некоторой компактной евклидовой пространственной формы.
Любая некомпактная евклидова пространственная форма допускает вещественноаналитическую ретракцию на компактное вполне геодезическое плоское подмногообразие (см. теорема о душе).
- В частности класс фундаментальных групп некомпактных eвклидовых пространственных форм совпадает с классом фундаментальных групп компактных евклидовых пространственных форм.

Свойства гиперболических пространственных форм

Компактные гиперболические пространственные формы размерности $n\geq 3$ , имеющие изоморфные фундаментальные группы, изометричны.

История

Исследование двумерных гиперболических пространственных форм по существу началось в 1888, когда Пуанкаре изучая дискретные группы дробно-линейных преобразований комплексной полуплоскости $Im(z)>0$ — фуксовы группы, заметил, что их можно трактовать как группы движений плоскости Лобачевского.

Проблема классификации $n$ -мерных римановых пространств произвольной постоянной кривизны была сформулирована Киллнигом^[нем.], который назвал её проблемой пространственных форм Клиффорда — Клейна; современная формулировка этой проблемы была дана Хопфом (1925).

Вариации и обобщения

Кроме римановых пространственных форм изучались их обобщения: псевдоримановы, аффинные и комплексные пространственные формы и пространственные формы симметрических пространств.

Литература

↑ Винберг Э. Б. «Матем. сб.». — 1969, т. 78, № 4. — С. 633—39.
↑ Вольф Дж. Пространства постоянной кривизны, пер. с англ. — М., 1982.

[1] Винберг Э. Б. «Матем. сб.». — 1969, т. 78, № 4. — С. 633—39.

[2] Вольф Дж. Пространства постоянной кривизны, пер. с англ. — М., 1982.

[1]

[2]