Преобразование Лежандра

Преобразование Лежандра для заданной функции $f(x)$ — это построение функции $f^{*}(p)$, двойственной ей по Юнгу. Если исходная функция была определена на векторном пространстве $V$, её преобразованием Лежандра будет функция, определённая на сопряжённом пространстве $V^{*}$, то есть на пространстве линейных функционалов на пространстве $V$.

Мотивация

Возможная мотивация может быть выражена в виде менее общего определения. Преобразование Лежандра — это такая замена функции и переменной, при которой старая производная принимается за новую переменную, а старая переменная — за новую производную.

Выражение для дифференциала

$df(x)=f'(x)\,dx$

в силу того, что $d(xf')=f'\,dx+x\,df'$, может быть записано в виде

$d(xf'-f)=x\,df'.$

Если теперь принять, что

$F=xf'-f,\quad y=f'(x),$

что и является преобразованием Лежандра $(f,x)\to (F,y)$, тогда

$dF(y)=F'(y)\,dy,\quad x=F'(y).$

При этом новая переменная $y$ равна старой производной, а старая переменная $x$ равна новой производной:

$y=f'(x),\quad x=F'(y).$

Определения могут отличаться знаком $F$. Если исходных переменных $x$ больше, чем одна, преобразование Лежандра может быть осуществлено по любому подмножеству из них.

Определение

Аналитическое определение

Преобразованием Лежандра функции $f$, заданной на подмножестве $M$ векторного пространства $V$, называется функция $f^{*}$, определенная на подмножестве $M^{*}$ сопряжённого пространства $V^{*}$ по формуле

$f^{*}(p)=\sup _{x\in M}{\big (}\langle p,x\rangle -f(x){\big )},\quad p\in M^{*}=\left\{p:\sup _{x\in M}{\big (}\langle p,x\rangle -f(x){\big )}<\infty \right\},$

где $\langle p,x\rangle$ — значение линейного функционала $p$ на векторе $x$. В случае гильбертова пространства $\langle p,x\rangle$ — обычное скалярное произведение. В частном случае дифференцируемой функции, заданной в ${\mathcal {R}}^{n}$, переход к сопряженной функции осуществляется по формулам

$f^{*}(p)=\langle p,x\rangle -f(x),\quad p={\frac {\partial f}{\partial x}}=\operatorname {grad} f,$

причём $x$ нужно выразить через $p$ из второго уравнения.

Геометрический смысл

См. также: Двойственная поверхность

Для выпуклой функции $f(x)$ её надграфик $\operatorname {epi} f=\{(x,y)\mid y\geqslant f(x)\}$ есть выпуклое замкнутое множество, границей которого является график функции $f(x)$. Множество опорных гиперплоскостей к надграфику функции $f(x)$ есть естественная область определения её преобразованием Лежандра $f^{*}(p).$ Если $p$ — опорная гиперплоскость (в нашем случае касательная) к надграфику, она пересекает ось $y$ в некоторой единственной точке. Её $y$-координата, взятая со знаком минус, и есть значение функции $f^{*}(p)$.

Соответствие $x\to p$ определено однозначно в области, где функция $f(x)$ дифференцируема. Тогда $p$ — касательная гиперплоскость к графику $f(x)$ в точке $x$. Обратное соответствие $p\to x$ определено однозначно тогда и только тогда, когда функция $f(x)$ строго выпукла. В этом случае $x$ — единственная точка касания опорной гиперплоскости $p$ с графиком функции $f(x).$

Если функция $f(x)$ дифференцируема и строго выпукла, определено соответствие $p(x)\leftrightarrow df(x),$ сопоставляющее гиперплоскости $p$ дифференциал функции $f(x)$ в точке $x$. Это соответствие взаимно однозначно и позволяет перенести область определения функции $f^{*}(p)$ в пространство ковекторов $V^{*},$ которыми являются дифференциалы функции $f(x)$.

В общем случае произвольной невыпуклой функции геометрический смысл преобразования Лежандра сохраняется. В силу опорного принципа, выпуклая оболочка надграфика $\varphi$ является пересечением полупространств, задаваемых всеми опорными гиперплоскостями, поэтому для преобразования Лежандра существенна лишь выпуклая оболочка надграфика $\varphi$. Таким образом, случай произвольной функции легко сводится к случаю выпуклой. Функция даже не обязана быть дифференцируемой или непрерывной, её преобразование Лежандра всё равно будет выпуклой полунепрерывной снизу функцией.

Свойства

1. Теорема Фенхеля — Моро: для собственной выпуклой полунепрерывной снизу функции f, заданной на рефлексивном пространстве, преобразование Лежандра является инволютивным, то есть $f^{**}(x)=f(x)$. Легко убедиться, что если выпуклым замыканием функции f является функция g, то f* = g*. Отсюда следует, что для невыпуклой функции, выпуклое замыкание которой — собственная функция,

   $f^{**}(x)=\operatorname {\overline {co}} f(x)$,

   где $\operatorname {\overline {co}} f$ — выпуклое замыкание функции f.

2. Непосредственно из аналитического определения следует неравенство Юнга — Фенхеля:

   $f(x)+f^{*}(p)\geqslant \langle p,x\rangle$, причём равенство достигается, только если p = F́(x).

   (Часто неравенством Юнга называют частный случай этого неравенства для функции $F(x)=x^{a}/a$, a > 1.)

3. В вариационном исчислении (и основанной на нём лагранжевой механике) преобразование Лежандра обычно применяется к лагранжианам действия $L(t,x,{\dot {x}})$ по переменной ${\dot {x}}$. Образом лагранжиана становится гамильтониан действия H(t, x, p), а уравнения Эйлера — Лагранжа для оптимальных траекторий преобразуются в уравнения Гамильтона.
4. Используя тот факт, что $p=\nabla _{x}f$, легко показать, что $\nabla _{p}f^{*}(p)=-x$.

Примеры

Степенная функция

Рассмотрим преобразование Лежандра функции $f(x)=x^{n}$, ($n>0$, $n\neq 1$), определённой на $\mathbb {R^{+}}$. В случае чётного n можно рассматривать $\mathbb {R}$.

$p(x)={\frac {df}{dx}}=n\cdot x^{n-1}.$

Отсюда выражаем $x=x(p)$, получаем

$x(p)=\left({\frac {p}{n}}\right)^{\frac {1}{n-1}}.$

Итого получаем преобразование Лежандра для степенной функции:

$f^{*}(p)=px-f(x)=\left({\frac {p}{n}}\right)^{\frac {n}{n-1}}\cdot (n-1).$

Легко проверить, что повторное преобразование Лежандра даёт исходную функцию $f(x)$.

Функция многих переменных

Рассмотрим функцию многих переменных, определённую на пространстве $\mathbb {R} ^{n}$ следующего вида:

$f(x)=\langle x,Ax\rangle +c.$

$A$ действительная, положительно определённая матрица, $c$ константа. Прежде всего убедимся, что сопряженное пространство, на котором определено преобразование Лежандра, совпадает с $\mathbb {R} ^{n}$. Для этого нам нужно убедиться в существовании экстремума функции $\phi =\langle p,x\rangle -\langle x,Ax\rangle -c$.

$\nabla _{x}\phi =p-2Ax,$

$\nabla _{x}\nabla _{x}\phi =-2A.$

В силу положительной определённости матрицы $A$, мы получаем, что точка экстремума является максимумом. Таким образом для каждого $p$ существует супремум. Вычисление преобразования Лежандра проводится непосредственно:

$f^{*}(p)={\frac {1}{4}}\langle p,A^{-1}p\rangle -c.$

Применения

Гамильтонова механика

В лагранжевой механике система описывается функцией Лагранжа. Для типичной задачи функция Лагранжа выглядит следующим образом:

$L(q,u)={\frac {1}{2}}\langle u,Mu\rangle -V(q),$

$(q,u)\in \mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R} ^{n}$, со стандартными евклидовым скалярным произведением. Матрица $M$ считается действительной, положительно определённой. В том случае, когда лагранжиан не вырожден по скоростям, то есть

$p=\nabla _{u}L(q,u)\neq 0,$

можно сделать преобразование Лежандра по скоростям и получить новую функцию, называемую гамильтонианом:

$H(p,q)=pq'-L={\frac {1}{2}}\langle p,M^{-1}p\rangle +V(q).$

Термодинамика

В термодинамике очень часто встречаются самые разные термодинамические функции, дифференциал которых выглядит в самом общем случае как

$dL=X\,dx+Y\,dy+Z\,dz+\ldots$

К примеру, дифференциал для внутренней энергии выглядит следующим образом:

$dE=T\,dS-P\,dV.$

Энергия тут представлена как функция переменных $S,V$. Подобные переменные называются естественными. Например, свободная энергия получается как преобразования Лежандра внутренней энергии:

$F=E-TS,$

$dF=-S\,dT-P\,dV.$

В общем случае, если мы хотим перейти от функции $L=L(x,y,z,\ldots )$ к функции $L=L(X,y,z,\ldots )$, то следует сделать преобразование Лежандра:

$L(X,y,z,\ldots )=L-xX,$

$dL(X,y,z,\ldots )=-x\,dX+Y\,dy+Z\,dz+\ldots$

Теория поля. Функциональное преобразование Лежандра

В квантовой теории поля очень часто используется функциональное преобразование Лежандра. Исходным объектом являются связные функции Грина, которые обозначаются $W(A)$, где $A$ — некоторые внешние поля. Преобразованием Лежандра по полю А называют следующую функцию:

$\Gamma (\alpha )=W{\big (}A(\alpha ){\big )}-\int dx\cdot \alpha A.$

Знак интегрирование обычно не пишут. $\alpha$ определяется следующим выражением:

$\alpha (x)={\frac {\delta {W}}{\delta {A(x)}}},$

$\delta$ означает вариационную производную. При помощи свойства вариационной производной несложно вывести следующее соотношение, связывающее $W$ и $\Gamma$. Действительно:

$\delta (x-y)={\frac {\delta A(x)}{\delta A(y)}}=\int dz\,{\frac {\delta A(x)}{\delta \alpha (z)}}{\frac {\delta \alpha (z)}{\delta A(y)}}=-\int dz\,{\frac {\delta ^{2}\Gamma }{\delta \alpha (x)\delta \alpha (z)}}{\frac {\delta ^{2}W}{\delta A(z)\delta A(y)}}.$

Другими словами, функционалы $W_{2}={\frac {\delta ^{2}W}{\delta A(z)\delta A(y)}}$ и $\Gamma _{2}={\frac {\delta ^{2}\Gamma }{\delta \alpha (x)\delta \alpha (z)}}$, с точностью до знака, являются обратными друг к другу. Символически это записывают следующим образом:

$W_{2}\cdot \Gamma _{2}=-1.$

Литература

• Половинкин Е. С., Балашов М. В. Элементы выпуклого и сильно выпуклого анализа Архивная копия от 1 апреля 2022 на Wayback Machine. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004. — 416 с. — ISBN 5-9221-0499-3.
• Васильев А. Н. Функциональные методы в квантовой теории поля и статистике. — Л., 1976. — 295 с.