Структурные константы

В математике структурные константы или структурные коэффициенты алгебры над полем используются для явного указания произведения двух базисных векторов в алгебре в качестве линейной комбинации. Учитывая структурные константы, результирующее произведение является билинейным и может быть однозначно расширено на все векторы в векторном пространстве, таким образом, однозначно определяя произведение для алгебры.

Используя векторное произведение в качестве скобки Ли, алгебра 3-мерных вещественных векторов является алгеброй Ли, изоморфной алгебрам Ли SU(2) и SO(3). Структурные константы: , где антисимметричный символ Леви-Чивиты.

Структурные константы используются всякий раз, когда необходимо указать явную форму алгебры. Таким образом, они часто используются при обсуждении алгебры Ли в физике, поскольку базисные векторы указывают конкретные направления в физическом пространстве или соответствуют конкретным частицам. Напомним, что алгебры Ли — это алгебры над полем, причём билинейное произведение задаётся скобкой Ли или коммутатором.

ОпределениеПравить

Учитывая набор базисный векторов   для базового векторного пространства алгебры, структурные константы или структурные коэффициенты   выражают умножение   пар векторов в качестве линейной комбинации:

 .

Верхний и нижний индексы часто не различаются, если алгебра не наделена какой-либо другой структурой, которая потребовала бы этого (например, псевдориманова метрика на алгебре неопределённой ортогональной группы so(p,q)). То есть структурные константы часто записываются с верхними или нижними индексами. Различие между верхним и нижним является условием, напоминающим читателю, что нижние индексы ведут себя как компоненты двойственного вектора, то есть ковариантно при изменении базиса, а верхние индексы — контравариантно.

Очевидно, что структурные константы зависят от выбранного базиса. Для алгебр Ли одно часто используемое соглашение о базисе выражается в терминах лестничных операторов, определённых подалгеброй Картана; это представлено ниже в статье после некоторых предварительных примеров.

Пример: алгебры ЛиПравить

Для алгебры Ли базисные векторы называются генераторами[en] алгебры, а произведение задаётся скобкой Ли. То есть, произведение алгебры   "определено" как скобка Ли: для двух векторов   и   в алгебре, результатом будет   В частности, произведение алгебры   нельзя путать с матричным произведением, поэтому иногда требуются альтернативные обозначения.

В этом случае нет особой необходимости различать верхний и нижний индексы; они могут быть записаны все вверху или все внизу. В физике обычно используются обозначения   для генераторов, а   или   (игнорируя различие между верхним и нижним) для структурных констант. Скобка Ли пар генераторов представляет собой линейную комбинацию генераторов из множества, т.е.

 .

Путём линейного расширения структурные константы полностью определяют скобки Ли всех элементов алгебры Ли.

Все алгебры Ли удовлетворяют тождеству Якоби. Для базисных векторов это можно записать как

 

и это непосредственно приводит к соответствующему тождеству в терминах структурных констант:

 

Выше и оставшаяся часть этой статьи используют соглашение Эйнштейна о суммировании для повторяющихся индексов.

Структурные константы играют роль в представлениях алгебры Ли и фактически дают в точности матричные элементы присоединённого представления. Форма Киллинга и инвариант Казимира также имеют особенно простую форму, когда записываются в терминах структурных констант.

Структурные константы часто появляются в приближении к формуле Бейкера – Кэмпбелла – Хаусдорфа для произведения двух элементов группы Ли. Для малых элементов   алгебры Ли структура группы Ли около единичного элемента задается формулой

 

Обратите внимание на коэффициент 1/2. Они также появляются в явных выражениях для дифференциалов, таких как  .

Примеры алгебры ЛиПравить

𝖘𝖚(2) и 𝖘𝖔(3)Править

Алгебра 𝖘𝖚(2) специальной унитарной группы SU(2) трёхмерна, с генераторами, заданными матрицами Паули  . Генераторы группы SU(2) удовлетворяют коммутационным соотношениям (где  символ Леви-Чивиты):

 

где

     

В этом случае структурные константы равны  . Обратите внимание, что константа 2i может быть включена в определение базисных векторов; таким образом, определяя  , можно одинаково хорошо написать

 

Это подчёркивает, что алгебра Ли 𝖘𝖚(2) группы Ли SU(2) изоморфна алгебре Ли 𝖘𝖔(3) группы SO(3). Это приводит структурные константы в соответствие с константами группа вращения SO(3). То есть коммутатор для оператора углового момента[uk] обычно записывается как

 

где

     

написаны так, чтобы подчиняться правилу правой руки для вращений в трёхмерном пространстве.

Разница в множителе «2i» между этими двумя наборами структурных констант может приводить в бешенство, поскольку включает в себя некоторую тонкость. Таким образом, например, двумерному комплексному векторному пространству можно придать реальную структуру. Это приводит к двум неэквивалентным двумерным фундаментальному представлению группы (2), которые изоморфны, но являются комплексно сопряжённым представлением; оба, однако, считаются действительными представлениями именно потому, что они действуют в пространстве с реальной структурой[1]. В случае трёх измерений существует только одно трёхмерное представление, присоединённое представление, которое является действительным представлением; точнее, это то же самое, что и его двойное представление, показанное выше. Другими словами, транспонировать является минусом самого себя:  

В любом случае группы Ли считаются действительными именно потому, что можно записать структурные константы так, чтобы они были чисто действительными.

𝖘𝖚(3)Править

Менее тривиальный пример даётся в SU(3)[2].

Его генераторы "T" в определяющем представлении таковы:

 

где   матрицы Гелл-Манна являются SU(3) аналогом матриц Паули для SU(2):

     
     
   

Они подчиняются отношениям

 
 

Структурные константы полностью антисимметричны. Их дают:

 
 
 

и все другие  , не связанные с ними перестановкой индексов, равны нулю.

d принимают значения:

 
 
 

Примеры из других алгебрПравить

Полиномы ХоллаПравить

Полиномы Холла - это структурные константы алгебры Холла[en].

Алгебры ХопфаПравить

В дополнение к произведению копроизведение и антипод алгебры Хопфа могут быть выражены в терминах структурных констант. Соединяющая аксиома, которая определяет условие согласованности алгебры Хопфа, может быть выражена как связь между этими различными структурными константами.

ПриложенияПравить

 
где fabc — структурные константы SU(3). Обратите внимание, что правила отжимания или опускания индексов a, b или c являются тривиальными, (+, ... +), так что fabc = fabc = fa
bc
, тогда как для индексов μ или ν существуют нетривиальные релятивистские правила, соответствующие, например, метрической подписи (+ - - -).

Выбор базиса для алгебры ЛиПравить

Один из традиционных подходов к обеспечению основы алгебры Ли заключается в использовании так называемых «лестничных операторов», которые появляются как собственные векторы подалгебры Картана. Здесь кратко описывается построение этого базиса с использованием общепринятых обозначений. Альтернативная конструкция (конструкция Серра) может быть найдена в статье "Полупростая алгебра Ли".

Для алгебры Ли   подалгебра Картана   является максимальной абелевой подалгеброй. По определению, он состоит из тех элементов, которые коммутируют друг с другом. Ортонормированный[en] базис можно свободно выбирать на  ; запишите эту основу как   с

 

где   — это внутреннее произведение в векторном пространстве. Размерность   этой подалгебры называется рангом алгебры. Матрицы   в присоединённом представлении взаимно коммутируют и могут быть одновременно диагонализованы. Матрицы   имеют (одновременные) собственные векторы; которые с ненулевым собственным значением   обычно обозначаются  . Вместе с   они охватывают всё векторное пространство  . Тогда коммутационные соотношения имеют вид:

 

Собственные векторы   определяются только до общего масштаба; обычную нормализацию можно установить

 

Это позволяет записать оставшиеся коммутационные соотношения в виде

 

и

 

с этим последним при условии, что корни (определённые ниже)   с ненулевым значением:  .   иногда называют операторами лестницы, поскольку они обладают этим свойством повышения/понижения значения  .

Для данного   существует столько  , сколько имеется  , поэтому можно определить вектор  , этот вектор называется корень алгебры. Корни алгебр Ли появляются в регулярных структурах (например, в простая алгебра Ли корни могут иметь только две разные длины); подробности см. в корневой системе.

Структурные константы   имеют свойство отличаться от нуля только тогда, когда   является корнем. Кроме того, они антисимметричны:

 

и всегда можно выбрать так, чтобы

 

Они также подчиняются условиям коцикла[5]:

 

всякий раз, когда  , а также что

 

всякий раз, когда  .

ПримечанияПравить

  1. Fulton, William; Harris, Joe (1991). Representation theory. A first course. Graduate Texts in Mathematics, Readings in Mathematics. 129. New York: Springer-Verlag. doi:10.1007/978-1-4612-0979-9. ISBN 978-0-387-97495-8. MR 1153249. OCLC 246650103.
  2. Weinberg, Steven. The Quantum Theory of Fields. — Cambridge University Press, 1995. — Vol. 1 Foundations. — ISBN 0-521-55001-7.
  3. Raghunathan, Madabusi S. 2. Lattices in Nilpotent Lie Groups // Discrete Subgroups of Lie Groups. — Springer, 2012. — ISBN 978-3-642-86428-5.
  4. Eidemüller, M.; Dosch, H.G.; Jamin, M. (2000) [1999]. “The field strength correlator from QCD sum rules”. Nucl. Phys. B Proc. Suppl. 86: 421—5. arXiv:hep-ph/9908318. Bibcode:2000NuPhS..86..421E. DOI:10.1016/S0920-5632(00)00598-3.
  5. Cornwell, J.F. Group Theory In Physics. — Academic Press, 1984. — Vol. 2 Lie Groups and their applications. — ISBN 0121898040.