Обсуждение:Основания математики/Архив/1

Здесь находятся завершившиеся обсуждения. Просьба не вносить изменений.

Комментарий

• В нынешнем состоянии статью следует назвать "история основания математики". Списки в преамбуле это плохо — детали должны быть в тексте статьи. Bsivko (обс.) 16:08, 22 ноября 2017 (UTC)
  • Краткий обзор некоторых современных исследований я нашёл только в Энциклопедии Британника (см. ссылку в статье), но темы там слишком специфические, не знаю, как это попроще изложить читателю. Все прочие попадавшиеся мне книги и статьи по теме излагают именно историю. LGB (обс.) 18:05, 22 ноября 2017 (UTC)
• Навскидку: актуальные-открытые проблемы, перспективы, активные/исторические школы, ключевые моменты, связь с другими науками, влияние, применение, ... А вообще приятно видеть, что пишутся такие статьи и на таком уровне. Bsivko (обс.) 16:15, 22 ноября 2017 (UTC)
  • Если знаете доступные АИ, не откажите в любезности сообщить. Или сами дополните. LGB (обс.) 18:05, 22 ноября 2017 (UTC)

Рецензирование статьи Основания математики

Здесь находятся завершившиеся обсуждения. Просьба не вносить изменений.

Статья на тему, пограничную между математикой, логикой и философией. В профессиональные дебри я старался не лезть, но буду благодарен за подсказку дополнительных источников общего плана и тем, которые, возможно, освещены недостаточно. LGB (обс.) 12:02, 16 декабря 2017 (UTC)

Интереснейшая и важнейшая тема. Мне кажется, в статье стоит упомянуть HoTT. Источников, к сожалению, подсказать не могу, но что-то можно позаимствовать из статьи en:Univalent foundations. --Браунинг (обс.) 13:47, 20 декабря 2017 (UTC)

Спасибо, почитаю. Если сам пойму и смогу перевести на язык, понятный массовому читателю, то использую. LGB (обс.) 09:46, 22 декабря 2017 (UTC)

Замечания здесь и на СО помогли дополнить раздел о современном состоянии, всем спасибо. Теперь, мне кажется, статья может претендовать на статус ИС, если я ошибаюсь, меня поправят. LGB (обс.) 12:01, 12 января 2018 (UTC)

В мириаду?

Странно, что эта тема не входит даже в 10000 обязательных (я бы и в 1000 добавил).--SEA99 (обс.) 15:47, 18 марта 2018 (UTC)

написал, думаю, одну из 300 математических статей можно выкинуть ради этой.--SEA99 (обс.) 15:54, 18 марта 2018 (UTC)

Разделяю ваше недоумение. LGB (обс.) 15:56, 18 марта 2018 (UTC)

Там 4 кандидата на выкидывание. Поучаствуете?--SEA99 (обс.) 08:43, 1 апреля 2018 (UTC)

А это будет иметь какие-то последствия? Существуют ли вообще ясные правила корректировки Мириады? LGB (обс.) 11:40, 1 апреля 2018 (UTC)

Думаю, по консенсусу на СО просто можно изменить.--SEA99 (обс.) 12:54, 1 апреля 2018 (UTC)

Хм, четыре варианта от четырёх участников – это мало похоже на консенсус. LGB (обс.) 14:16, 1 апреля 2018 (UTC)

Тематическая рубрикация

Нашёл любопытный PDF-файл «Универсальная десятичная классификация (УДК)» с официальным списком тем, в том числе относящихся к Основаниям математики. Может, включить этот небольшой список (12 строк) для полноты картины отдельным разделом в конец статьи, назвать, скажем: «Тематическая рубрикация в УДК»? Какие будут мнения? LGB (обс.) 16:09, 18 марта 2018 (UTC)

Так как сам УДК не слишком хорошо известен (не знаю, насколько он глобален?), то надо объяснять что это такое, в итоге получится текст, практически не относящийся к теме статьи. Думается, лучше этот код УДК добавить в Викиданные и шаблон Внешние ссылки (если его там нет). Туда входит и свалка кодов и индексов, которая и не отвлекает и может оказаться полезной тем, кто в курсе.--SEA99 (обс.) 16:45, 18 марта 2018 (UTC)

А сам шаблон ВС надо вставлять практически везде, ИМХО.--SEA99 (обс.) 17:07, 18 марта 2018 (UTC)

Вставил шаблон ВС, но, кроме ссылок на Britannica Online и какую-то японскую парламентскую библиотеку, ничего полезного не обнаружил. LGB (обс.) 17:16, 18 марта 2018 (UTC)

Да, УДК нет, надо добавлять.--SEA99 (обс.) 17:17, 18 марта 2018 (UTC)

Подвязал свойство в Викиданных. Кстати, в статье Универсальная десятичная классификация есть более интересная ссылка.--SEA99 (обс.) 17:35, 18 марта 2018 (UTC)

Не смог я совладать с Викиданными и заполнить свойство в соответствии с примером. Как искать значения совсем неясно. Может быть здесь есть знатоки?--SEA99 (обс.) 17:52, 18 марта 2018 (UTC)Вроде настроил как надо.--SEA99 (обс.) 17:58, 18 марта 2018 (UTC)

У меня в отображении шаблона ВС ничего не изменилось. Кэш очистил. LGB (обс.) 18:36, 18 марта 2018 (UTC)

Не отображается там UDC/УДК, написал на СО шаблона, может знатоки подскажут...--SEA99 (обс.) 18:38, 18 марта 2018 (UTC)

• По-моему, надо заполнить только одно свойство, которое собственно код. Я исправил в викиданных. — Алексей Копылов 21:11, 18 марта 2018 (UTC)

• Здесь в примере 4 и в этом есть своя логика (для группировок, если иерархические группировки не поддержаны).--SEA99 (обс.) 00:42, 19 марта 2018 (UTC)
• Другое дело, что в примере используются созданные значения, но я не нашёл как искать такие значения.--SEA99 (обс.) 00:43, 19 марта 2018 (UTC)
  • Это несколько отдельных примеров этого свойства. Чтобы посмотреть как они устроены, надо пойти на конкретные элементы: например, если пойти на политика, то там видно, что это свойство равно 32. — Алексей Копылов 01:28, 19 марта 2018 (UTC)

• Так как шаблон не заработал, можно добавить вручную ссылку сюда.— SEA99 (обс.) 09:59, 1 декабря 2019 (UTC)
  • Только отдельный раздел слишком жирно, если его сделать, то он в итоге станет тем же подвалом «Нормативный контроль», с которым сейчас борются на форуме, так как в США более популярна другая классификация, а там и остальные подтянутся.— SEA99 (обс.) 10:04, 1 декабря 2019 (UTC)

Про теорию категорий

Хотелось бы спросить авторов этой статьи, что это за "новое перспективное направление, связывающее основания математики с теорией категорий"? И где эта "аксиоматика теории множеств, преобразованная на языке теории категорий" описана?

С 1960-х годов, начиная с работ Уильяма Ловера, появилось новое перспективное направление, связывающее основания математики (и, возможно, физики) с так называемой теорией категорий. Её можно нестрого представлять как теорию структурированных множеств, свойства которых не задаются дополнительно к базовому множеству, а включены изначально в определение объекта, так что изоморфные множества не различаются. Аксиоматика теории множеств может быть преобразована на языке теории категорий, и результат имеет определённые преимущества по сравнению с теоретико-множественным: общность, конструктивный характер, акцент на алгебраическое (а не теоретико-множественное) обоснование. Высказываются надежды на плодотворность такого подхода

Eozhik (обс.) 12:03, 24 марта 2018 (UTC)

Как я понимаю, автор этого абзаца -- участник LGB: [1]. LGB, это очень серьезное заявление:

Аксиоматика теории множеств может быть преобразована на языке теории категорий, и результат имеет определённые преимущества по сравнению с теоретико-множественным

Его нужно доказывать. А для профессионального математика это звучит очень странно. Где доказательства? Eozhik (обс.) 04:07, 25 марта 2018 (UTC)

Обсуждаемый абзац представляет собой краткий конспект трёх указанных в конце абзаца источников. Аналог фразы об аксиоматике содержится в статье Родина (стр. 8):

Теория категорий может служить не только для формулировки и уточнения существующих теорий, но и для создания принципиально новой математики. Новый этап в развитии теории категорий связан с работами Ловера, который в начале 1960-х годов начал работать над программой построения категорных оснований математики[20] [21]. Проект категорных оснований содержит несколько принципиальных идей. Мы упомянем здесь только две из них, которые имеют отношение к использованию теории категорий в физике.

(i) Говоря о категориях, в которых объектами являются множества с дополнительной структурой, мы всякий раз негласно предполагали, что объекты и морфизмы этих категорий определены заранее независимо от данной категории. Однако на эту конструкцию можно посмотреть и с обратной стороны. Рассмотрим для определенности случай категории множеств. Вместо того, чтобы предполагать множества и функции заданными заранее с помощью какой-либо общепринятой аксиоматической теории множеств (вроде популяной системы Цермело-Френкеля ZF ), мы начнем с того, что рассмотрим категорию множеств как абстрактную категорию самого общего вида, а затем постулируем, что данная категория обладает неким конечный набором свойств, который отличает категорию множеств от любой другой категории. В результате мы получаем альтернативную теорию множеств, в которой в качестве примитивного используется не отношение принадлежности элемента множества данному множеству как в ZF и пообных теориях, а понятие функции. Впервые такая категорная теория множеств была предложена Ловером в работе [19], которая также содержит набросок доказательства того факта, что предложенная автором теория эквивалентна ZF.

О предполагаемых преимуществах категорного подхода пишет Яшин (стр. 69): «Преимуществом категориального подхода в обосновании математики были его общность, конструктивный подход к математической деятельности в анализе морфизмов, а также возможность иметь дело не столько с самими математическими объектами, сколько заниматься изучением их структурных характеристик».

Если вы считаете формулировку в статье неудачной, предложите свою, обсудим. LGB (обс.) 11:47, 25 марта 2018 (UTC)

И где здесь "аксиоматика теории множеств, преобразованная на языке теории категорий"? Eozhik (обс.) 13:59, 25 марта 2018 (UTC)

Впервые такая категорная теория множеств была предложена Ловером в работе [19], которая также содержит набросок доказательства того факта, что предложенная автором теория эквивалентна ZF. Как я понимаю, эквивалентной аксиоматике может быть только другая аксиоматика. А вы как поняли эту фразу? LGB (обс.) 14:07, 25 марта 2018 (UTC)

Я ожидал увидеть прямую ссылку на текст с системой аксиом. Ловер ссылается на Эйленберга и Маклейна, которые в свою очередь пишут очень небрежно. Есть какой-нибудь текст, где все эти взгляды излагаются аккуратно, без недомолвок, пробелов и отсылок на куски конструкции в других источниках? Eozhik (обс.) 14:45, 25 марта 2018 (UTC)

• Я так понял вы смотрели Lawvere, "Elementary theory of the category of sets", 1964. Я добавил ссылку на Lawvere, "The Category of Categories as a Foundation for Mathematics", 1966. Там есть аксиоматика без пробелов. Тут эта статья доступна: [2] — Алексей Копылов 20:46, 25 марта 2018 (UTC)

• Да, теперь вижу. Странная какая картина. Интересно было бы поглядеть, что вторичные источники об этом пишут. В какой мере оправданы претензии автора, что это может заменить теорию множеств? В частности, кто-нибудь исследовал это на непротиворечивость? И где вообще вторичные источники? Eozhik (обс.) 04:57, 27 марта 2018 (UTC)

• Оппоненты! Вы здесь? Без доказательств теперь это заявление повисает в воздухе:

  и результат имеет определённые преимущества по сравнению с теоретико-множественным

  То, что вы там приводите в списке этих преимуществ не звучит серьезно, потому что общность и в теории множеств есть, а конструктивность и акценты - дело вкуса. Что могло бы быть действительно важным - это если бы обнаружилось, что подход Ловера приводит к непротиворечивой теории. Но именно этот пункт вызывает наибольшие сомнения, потому что теоремы Геделя, устанавливающие связь любой теории 1 порядка (в том числе и к теориям Ловера это должно быть применимо) с теорией множеств и арифметикой, никто не отменял. Eozhik (обс.) 07:11, 29 марта 2018 (UTC)
  • Не наша задача оценивать серьезность преимуществ. То что вы пишите о теореме Геделя, это конечно так, но я не вижу, как это противоречит тому, что написано в статье. — Алексей Копылов 01:55, 30 марта 2018 (UTC)

• Не понял, что чему противоречит? Eozhik (обс.) 03:42, 30 марта 2018 (UTC)
  • Прошу прощения, пропустил частицу "не", в прошлом ответе. — Алексей Копылов 07:26, 30 марта 2018 (UTC)

• результат имеет определённые преимущества по сравнению с теоретико-множественным: общность, конструктивный характер, акцент на алгебраическое (а не теоретико-множественное) обоснование.

  -- Кто автор этой фразы и где у нее подтверждения? Eozhik (обс.) 12:45, 30 марта 2018 (UTC)

• Автор этой фразы в Википедии — я, а в реале она пересказывает слова Б. Л. Яшина, уже процитированные выше. Для справки: Борис Леонидович Яшин — профессор, математик по образованию, доктор философских наук. Если вы считаете, что его мнение ошибочно, то согласно правилам Википедии вы должны привести точную ссылку на доступное АИ с иным мнением, и мы немедленно внесём дополнение в статью. Аргументация без ссылок на АИ, при всём уважении, не учитывается. LGB (обс.) 13:14, 30 марта 2018 (UTC)

@LGB: 1. Б.Л.Яшин, как легко проверить, не математик: [3]. В связи с этим вопрос: почему его текст должен считаться авторитетным источником в статье про математику?

2. Вы, как автор этой фразы, наверное, можете объяснить, что Вы (с Яшиным) имели в виду заявлением про общность? В каком смысле категории Ловера более общи, чем теория множеств? Нынешняя теория множеств лежит в фундаменте всей математики. Что, есть какие-то разделы математики, которые теорией множеств не описываются, но зато описываются категориями Ловера? Или о чем речь?

3. То же самое с конструктивным характером. Чем категории Ловера конструктивнее теории множеств?

4. Где у Яшина говорится про алгебраическое обоснование, и что здесь имеется в виду?

Преимуществом категориального подхода в обосновании математики были его общность, конструктивный подход к математической деятельности в анализе морфизмов, а также возможность иметь дело не столько с самими математическими объектами, сколько заниматься изучением их структурных характеристик

Eozhik (обс.) 13:50, 30 марта 2018 (UTC)

Подключим тяжёлую артиллерию. @Alexei Kopylov:, @Bezik:, что вы думаете про обсуждаемую фразу? LGB (обс.) 15:08, 25 марта 2018 (UTC)

С этими собеседниками я думаю, что знаю, каким будет результат: [4].

@LGB:, давайте я Вам объясню, в чем проблема. Теории множеств, такие, как ZFC, NBG, MK, описываются как теории 1 порядка. Это, в частности, значит, что когда люди их описывают, они не ссылаются на другие теории Например, не говорят, что множество - это объект какой-то категории. С теорией категорий все (обычно) иначе: ее когда описывают, как правило ссылаются на теорию множеств. Например, в английской Википедии: en:Category (mathematics). Если Вы приглядитесь, то увидите, что там в определении используется понятие класса (а это объект теории множеств NBG или MK). Я не видел, чтобы теория категорий где-нибудь описывалась по-другому, как теория 1 порядка (без ссылок на какую-нибудь теорию множеств, явных или неявных). Поэтому когда кто-то говорит, что теория категорий может существовать без теории множеств или даже может заменить ее - это звучит очень странно. Ловер пишет в этой своей статье, что он понимает определение категории Эйленберга и Маклейна как описание теории 1 порядка, но это звучит тоже очень странно, потому что Эйленберг и Маклейн нигде про первый порядок не говорят, а используют приемы "наивной теории множеств" (что, конечно, не красит их статью). Поэтому когда читаешь такое, возникает естественный вопрос: где, собственно говоря, все эти взгляды аккуратно прописаны? Eozhik (обс.) 15:39, 25 марта 2018 (UTC)

• Я переписал спорную фразу следующим образом: "Вместо аксиоматики теории множеств в качестве основания математики может быть использован язык теории категорий". Так думаю точнее, так как меняется не только аксиоматика, но и язык. — Алексей Копылов 20:38, 25 марта 2018 (UTC)

А это доказывать, по-вашему, не нужно? Eozhik (обс.) 20:46, 25 марта 2018 (UTC)

Нашёл сравнительно недавнюю книгу (и её пересказ), в значительной степени посвящённую обсуждаемому вопросу. Судя по ней, вопрос действительно неоднозначный и не так-то легко формализуемый. --Браунинг (обс.) 09:43, 29 марта 2018 (UTC)

• Мне кажется, это хороший источник. Не могли бы вы по нему написать пару предложений (или больше)?.. — Алексей Копылов 01:53, 30 марта 2018 (UTC)

• При ближайшем рассмотрении оказалось, что возможность сформулировать теорию категорий, не опираясь на теорию множеств — утверждение, не подвергаемое сомнению, а споры идут о том, можно ли и нужно ли всё-таки использовать теорию категорий в качестве оснований. Дописал, опираясь на другой текст того же автора. Полагаю, что сейчас это место в статье удовлетворительно, хоть и не отвечает на все вопросы читателя. А вот в раздел "Назначение" надо будет дописать кое-что. --Браунинг (обс.) 11:58, 2 апреля 2018 (UTC)

• Под "изоморфными множествами" видимо имеются в виду "изоморфные объекты". Вы уж и это поправьте, а то режет глаз, среди прочего. Eozhik (обс.) 07:52, 6 апреля 2018 (UTC)
• Вообще эту фразу надо или убрать, или переформулировать так чтобы звучало яснее, уж очень это странно:

  , так что изоморфные множества не различаются

  Eozhik (обс.) 07:59, 6 апреля 2018 (UTC)
  • Переформулировал. Так лучше? — Алексей Копылов 01:03, 7 апреля 2018 (UTC)
  • По-моему, нет. Во-первых, Вы попутно заменили "структурированные множества" на "структурированные объекты", и если относительно первого еще можно догадываться, что под этим подразумевается, то второму смысл придать, я думаю, будет невозможно. А, во-вторых, получающаяся фраза

    , так что изоморфные объекты в этой теории не различаются.

    все равно звучит странно. В теории категорий изоморфные объекты могут совпадать, но как правило (в теоремах) бывают различны. Eozhik (обс.) 05:10, 7 апреля 2018 (UTC)
    • А сейчас? — Алексей Копылов 06:03, 7 апреля 2018 (UTC)

• Нет, наверное, это тоже плохо, потому что там же должен быть предикат равенства, и если объекты изоморфны, но не равны, все равно получается, что они "отличаются по свойствам". При этом, фраза

  свойства которых не задаются дополнительно к базовому множеству

  -- тоже звучит коряво. Eozhik (обс.) 06:36, 7 апреля 2018 (UTC)

Про "Дальнейшее развитие"

Я выделю это в отдельную тему, учитывая что к теории категорий это отношения не имеет. Eozhik (обс.) 21:24, 30 марта 2018 (UTC)

Вообще в этом разделе, "Дальнейшее развитие", куда ни глянь - все вызывает или недоумение, или протест. Какое, например, отношение имеет нестандартный анализ к основаниям математики? Как и обычный анализ, он строится на системе аксиом теории множеств (ZFC, NBG или MK, по выбору), ничего в ней не меняя, только добавляя новые определения (точнее, это дефинициальное расширение обычной теории вещественных чисел). Аксиома выбора у вас "необщепринятая". При том, что без нее даже элементарные утверждения обычной университетской математики, типа теоремы Больцано-Вейерштрасса, доказать невозможно. Кановей объявляется автором глупостей про абсолютные истины:

Поскольку разные варианты математики нередко содержат разные результаты, математика не может более рассматриваться как источник абсолютных истин.

Тому, кто все это писал, хорошо бы о совести задуматься. Непонятно, как математики могут это читать спокойно. Или я первый?.. Eozhik (обс.) 16:04, 30 марта 2018 (UTC)

Грубое нарушение правил ВП:ЭП и ВП:НО. Я прекращаю общение с вами вплоть до принесения публичных извинений. В случае попытки продолжения высокомерного хамства буду требовать применения жёстких административных санкций. LGB (обс.) 16:45, 30 марта 2018 (UTC)

А по существу есть что-нибудь? Eozhik (обс.) 17:14, 30 марта 2018 (UTC)

Джентльмены, тут проблема-то есть. Если относиться к работе добросовестно, то этот раздел нужно полностью переписывать. В частности, этот пассаж про абсолютные истины в ссылках, которыми он сопровождается, отсутствует. И было бы странно, если бы было по-другому, потому что звучит он абсурдно. Как раз утверждения современной математики можно считать независящими ни от каких условий, потому что все, какие нужно условия (язык, логические правила вывода и посылки, из которых выводится данное утверждение) нынешние математики аккуратно прописывают (в разделе своей науки, называемой "Основания математики"). И относятся к этому соответственно. Например, в статье Ю.И.Янова, упоминаемой в ссылках, на этот счет пишется так:

естественнонаучные истины имеют относительный характер, поскольку зависят от накопленных экспериментальных данных и в особенности от их интерпретации, в то время как математические понятия и факты являются абсолютными, не зависящими от каких-либо внешних условий

Ваша проблема в том, что вы слишком увлечены поверхностными эффектами, в ущерб существу дела. Eozhik (обс.) 21:24, 30 марта 2018 (UTC)

• > этот пассаж про абсолютные истины в ссылках, которыми он сопровождается, отсутствует
  А что сказано в тех ссылках?
  Я не думаю, что фраза из статьи Янова противоречит тому, что сказано у нас. Просто разный смысл вкладывается в слово "абсолютно" и из контекста это понятно. — Алексей Копылов 05:29, 31 марта 2018 (UTC)

• Вы почитайте и увидите, что там сказано. А что касается того, что там не сказано, и что именно и представляет интерес в этом обсуждении, то этого там нет:

  Поскольку разные варианты математики нередко содержат разные результаты, математика не может более рассматриваться как источник абсолютных истин.

  Это чистая отсебятина. И тому, что пишет Янов, она противоречит:

  математические понятия и факты являются абсолютными, не зависящими от каких-либо внешних условий

  Вы потратьте время, найдите ресурсы, если Вам это сложно. Eozhik (обс.) 07:20, 31 марта 2018 (UTC)
  • Несложно: "Математика была вынуждена бесповоротно отказаться от претензий на абсолютную достоверность или значимость своих результатов" (Панов) — Алексей Копылов 02:17, 7 апреля 2018 (UTC)

u:Alexei Kopylov кто такой Панов Владилен Федорович, автор книги "Математика древняя и юная", на которую Вы ссылаетесь? Математик В.Ф.Панов, специалист по математической физике, работающий в Пермском государственном университете, зовется Вячеслав Федорович. Других математиков В.Ф.Пановых на сайте Академии наук не упоминается. Почему ссылка на нематематика должна считаться авторитетным источником в статье по математике в Википедии? Eozhik (обс.) 11:58, 6 сентября 2018 (UTC)

Профессора МГТУ им. Баумана. Панов работает на кафедре прикладной математики МГТУ, в том числе читает спецкурс по истории математики. Можете смело считать его математиком. 85.140.170.209 12:57, 6 сентября 2018 (UTC)

Мне недостаточно Вашего разрешения. Чтобы объявить кого-то математиком, необходимым условием обычно считается наличие у этого человека научных работ по математике. А процитированное u:Alexei Kopylov высказывание с этим требованием плохо согласуется. Eozhik (обс.) 19:25, 6 сентября 2018 (UTC)

• Зато редактор книги упоминается. Книга издана ВУЗом, который входит в пятерку наиболее известных вузов России. Книга рецензируемая, и рецензенты в книге указаны. На книгу ссылаются, автор книги профессор математики, и у него есть другие книги и учебники. Такой источник по умолчанию является АИ, если не преведено другого АИ, который бы ставил под сомнение авторитетность этой книги. — Алексей Копылов 23:53, 6 сентября 2018 (UTC)

• Этот АИ также упоминается в статье: написанное у Янова

  естественнонаучные истины имеют относительный характер, поскольку зависят от накопленных экспериментальных данных и в особенности от их интерпретации, в то время как математические понятия и факты являются абсолютными, не зависящими от каких-либо внешних условий

  -- противоречит написанному у Панова

  Математика была вынуждена бесповоротно отказаться от претензий на абсолютную достоверность или значимость своих результатов

  Второе абсурдно как если бы врач заявил, что

  Медицина была вынуждена бесповоротно отказаться от претензий на лечение больных

  Eozhik (обс.) 03:38, 7 сентября 2018 (UTC)

u:Eozhik, все авторы Википедии -- добровольцы, живые люди, которые получают от своей работы здесь удовольствие (и перестанут ей заниматься, если перестанут получать удовольствие), а не нейросети, которые преобразуют ценные замечания в тексты статей. Если вы действительно хотите, чтобы ваша квалифицированная (здесь нет иронии) критика не пропала втуне, извинитесь, пожалуйста, перед LGB, зачеркните с помощью <s></s> свою реплику и перепишите её так, чтобы у её читателя возникло желание разобраться в ней содержательно, а не закрыть эту страницу и не заходить на неё никогда (а сейчас она, к сожалению, производит именно такой эффект). Это нисколько не уронит вашего авторитета, а, наоборот, продемонстрирует ценное качество -- умение работать в команде. Вежливость и доброжелательность здесь -- насущная необходимость, как бы не было тяжело воздерживаться от выражения эмоций (здесь опять же, нет иронии -- сдержать возмущение ошибкой и правда неприятно, я понимаю). --Браунинг (обс.) 17:23, 1 апреля 2018 (UTC)

• u:Colt browning, это гораздо более длинный разговор, чем Вы ожидаете. По правде говоря, меня удивляют эти церемонии. У меня тоже есть опыт с Википедией, и, по моим наблюдениям, люди здесь не так щепетильны, как Вы это описываете. Например, вот такой тезис 4 года назад здесь не встретил ни у кого возмущения:

  «Ваше мнение по вопросу о Гегеле для Википедии незначимо, поскольку Вы не являетесь авторитетным источником»

  Я, помнится, тогда пожаловался, но извиняться передо мной никто не стал. Или вот такая картина: тогда же, 4 года назад здесь были удалены две мои статьи, причем первая - не дожидаясь итога посредника (что вызвало у него протесты, но тоже без толку). Или относительно недавняя история с участником Алексеем Копыловым: здесь и здесь. После эпизода с Гегелем можно было бы ожидать, что хотя бы в математических вопросах ко мне прислушаются, но нет. Вы не преувеличиваете важность, того, о чем говорите? Eozhik (обс.) 20:13, 1 апреля 2018 (UTC)

• Да, часто советы, данные с лучшими побуждениями, оказываются встречены не так, как хотелось бы, а собеседники ведут себя не так, как хотелось бы. Так давайте же сделаем шаг к исправлению этого положения -- а как именно, я объяснил. Я уверен, после этого вам пойдут навстречу -- и это будет приятно вам же. Что же касается важности, то вы же сами видите, как реагируют на ваши замечания -- обидой и (с моей стороны) длинными сторонними разговорами. Это потому, что неудачная форма даже самых полезных замечаний реально очень мешает воспринимать их смысл. --Браунинг (обс.) 20:26, 1 апреля 2018 (UTC)

• Нет-нет, Браунинг, в истории с Парадоксом Рассела никто мне не пенял, что я говорю что-то обидное. Но результат был тем же: термин "конгломераты", на который я жаловался, удален не был. Я вижу здесь повторяемость, и дело не в том, что критика была как-то не так высказана, а совсем в другом. Eozhik (обс.) 20:37, 1 апреля 2018 (UTC)

• Тем не менее просто попробуйте последовать моему совету (только полноценно, а не как в анекдоте: "Марьиванна не дура? Марьиванна не дура?! Ну, извините!"). Впрочем, если и сейчас не захотите -- больше беспокоить по этому поводу не буду. --Браунинг (обс.) 20:47, 1 апреля 2018 (UTC)

• Браунинг, такие вещи во избежание путаницы делаются в порядке очередности. Eozhik (обс.) 21:00, 1 апреля 2018 (UTC)

(Остальным) Суть замечаний, высказанных в этом разделе:

• Нестандартный анализ, как и обычный анализ, строится на системе аксиом теории множеств (ZFC, NBG или MK, по выбору), ничего в ней не меняя, только добавляя новые определения (точнее, это дефинициальное расширение обычной теории вещественных чисел). Поэтому, возможно, он не имеет отношения к основаниям математики.
• Аксиома выбора, возможно, на самом деле общепринятая.
• Утверждение про абсолютные истины, возможно, противоречит написанному в источниках.

Сам я во всём этом пока не разбирался. --Браунинг (обс.) 21:06, 1 апреля 2018 (UTC)

• Думаю вот что:
  • В статье и не утверждается, что нестандартный анализ — возможные основания математики. Его упоминание не является необходимым, но вполне объяснимо и допустимо.
  • Назвать аксиому выбора необщепринятой — кажется, действительно не очень корректно: в тех областях математики, где от неё вообще что-то зависит, её, видимо, действительно обычно принимают, а если нет — то в первую очередь как раз для того, чтобы посмотреть, что будет. Другое дело, что упоминание аксиомы выбора в контексте нестандартного анализа вообще кажется не очень нужным, так что можно просто удалить фразу «Нестандартный анализ опирается...».
  • Действительно, абсолютные истины — понятие относительное. Так давайте разжуём в статье, что имеется в виду, и тогда противоречие с источниками (присутствующее или отсутствующее, в зависимости от трактовки) исчезнет. Что-то вроде: «...математика не может более рассматриваться как источник абсолютных истин, справедливых независимо от способа формального обоснования математической теории».
• @LGB, Alexei Kopylov: что думаете? --Браунинг (обс.) 13:46, 2 апреля 2018 (UTC)

• • • Про нестандартный анализ: упоминанием аксиомы выбора я хотел отметить, что он отличается от стандартного не только неархимедовостью, но и неконструктивностью (упорядоченность, скажем, бесконечно малых диктуется директивно, выбором ультрафильтра, а не задаётся ясным алгоритмом). Но я не довёл эту мысль до конца, поэтому эту фразу можно и вычеркнуть. LGB (обс.) 17:19, 2 апреля 2018 (UTC)
    • Про аксиому выбора: странно считать общепринятой аксиому, у которой имеется с десяток вариаций, как в сторону ослабления, так и в сторону усиления, да плюс альтернативная ей аксиома детерминированности, используемая, скажем, в дескриптивной теории множеств. Если она общепризнана, то зачем принято особо отмечать случаи её использования? В наши дни активное отторжение AC как будто не имеет места, скорее пассивный скептицизм — не мешает, ну и пусть себе лежит. Не беру на себя смелость оценивать, сколько процентов математиков принимает AC безоговорочно, но явно не 100%, тем более что для конечных множеств она не нужна, а для счётных слишком сильна. Ну вот, что первое из источников попалось: Вербицкий. LGB (обс.) 17:19, 2 апреля 2018 (UTC)
    • Про истинность — загляните в источник. Когда у Янова говорится, что «математические понятия и факты являются абсолютными, не зависящими от каких-либо внешних условий», то он имеет в виду вовсе не то, что теорема «из A следует B» утверждает абсолютную истинность B — абсолютно истинной является импликация в целом. Иначе встанет вопрос — какая аксиома геометрии абсолютно истинна — Евклида или Лобачевского? Немного ранее Янов говорит об этом прямо:

Благодаря созданию формализованной математической логики и, соответственно, математических понятий доказательства и непротиворечивости, метаматематическое понятие истинности окончательно приобрело однозначный внутриматематический характер: теорема истинна, если она формально-логически следует из аксиом непротиворечивой теории. Такое понятие истинности абсолютно в том смысле, что оно не зависит от каких-либо неоднозначных внешних условий.

• • • Таким образом, фраза в статье «математика не может более рассматриваться как источник абсолютных истин» вполне адекватно пересказывает мысль источника. Аналогичные фразы встречаются у Клайна и Панова. LGB (обс.) 17:19, 2 апреля 2018 (UTC)
  • Мое мнение:

1. Нестандартный анализ. Основания математики включает в себя не только аксиоматику, но и определения основных понятий. Поэтому если стандартный анализ и нестандартный анализ - определяют понятие числа по-разному - то это разные основания математики, даже если оба эти подхода опираются на одну и ту же аксиоматику теории множеств.
2. Аксиома выбора. LGB подробно написал почему AC нельзя считать общепринятой. Достаточно существования аксиомы детерминированности. И если нестандартный анализ опирается на AC, то не вижу причин удалять эту фразу. Она вполне органически связывает текст со следующим параграфом.
3. Абсолютные истины. Я согласен, что лучше разжевать. Дополнение Браунинга мне нравится, только вместо слова "обоснования" видимо лучше сказать "основания".

— Алексей Копылов 00:38, 3 апреля 2018 (UTC)

И мое мнение:

1. Я нашел упоминание нестандартного анализа в книге по основаниям математики: Kenneth Kunen, The Foundations of Mathematics, 2009. Теперь согласен, что можно это упомянуть (с этой ссылкой). Для справки, нестандартный анализ -- не единственная математическая теория, в которой числа определяются иначе, чем в теории действительных чисел, есть, например, еще теория p-адических чисел. Ее в таких книжках я не видел. (Скрыто нарушение ВП:ЭП.) <Однако, возможно, это место лучше исправить:>

   Нестандартный анализ опирается на необщепринятую аксиому выбора, но и в стандартном анализе эта аксиома используется — например, в теории меры Лебега без неё невозможно доказать существование неизмеримых по Лебегу множеств.

   Нестандартный анализ и аксиома выбора - независимые вещи, их нужно отделять.
2. Насчет аксиомы детерминированности. Между существованием и распространенностью имеется разница:

   Достаточно существования аксиомы детерминированности.

   Недостаточно существовать, чтобы альтернативу сочли необщепринятой. Кто-нибудь из вас знает учебник по матанализу, в котором вместо аксиомы выбора использовалась бы аксиома детерминированности? В отличие от нее аксиома выбора используется везде: например, П.С.Александров во "Введение в теорию множеств и общую топологию" (1977 год издания, с. 74-75) пишет, что даже равносильность определений предела по Коши и по Гейне без нее не докажешь:

   При этом оказалось, что мы не умеем обойтись без применения аксиомы Цермело при доказательстве некоторых элементарных теорем, относящихся даже не к теории множеств в собственном смысле слова, а просто к математическому анализу.

   Везде, где используется прием бесконечнократного выбора (а математики его используют перманентно), явно или неявно (второе чаще, потому что все время об этом говорить - язык отвалится; но в этом отношении аксиома выбора не отличается от других аксиом, на которые тоже никто на таких этапах не ссылается) используется аксиома выбора. Поэтому все математики, без исключения, используют аксиому выбора, когда, например, объясняют у доски студентам матанализ. Но я берусь утверждать, что очень мало кто из них знает о существовании аксиомы детерминированности. И единицы смогут ее сформулировать (из-за ее весьма экзотической формулировки). Писать, что аксиома выбора необщепринята -- вводить читателя в заблуждение.
3. LGB, вот это софистика:

   Про истинность — загляните в источник. Когда у Янова говорится, что «математические понятия и факты являются абсолютными, не зависящими от каких-либо внешних условий», то он имеет в виду вовсе не то, что теорема «из A следует B» утверждает абсолютную истинность B — абсолютно истинной является импликация в целом. Иначе встанет вопрос — какая аксиома геометрии абсолютно истинна — Евклида или Лобачевского?... Таким образом, фраза в статье «математика не может более рассматриваться как источник абсолютных истин» вполне адекватно пересказывает мысль источника.

   (Скрыто нарушение ВП:ЭП.) <Янов пишет:>

   математические понятия и факты являются абсолютными, не зависящими от каких-либо внешних условий

   А Вы это утверждение превращаете в противоположное:

   Поскольку разные варианты математики нередко содержат разные результаты, математика не может более рассматриваться как источник абсолютных истин.

   Не думаю, что кто-нибудь из присутствующих сможет воспроизвести ход Ваших рассуждений. Eozhik (обс.) 05:50, 3 апреля 2018 (UTC)

Мне очевидно, что эта идея про "абсолютные истины" растет отсюда:

Иначе встанет вопрос — какая аксиома геометрии абсолютно истинна — Евклида или Лобачевского?

(Скрыто нарушение ВП:ЭП.) <Такая постановка вопроса скрывает> разницу между выбором подходящей теории и утверждениями которые какая-то теория делает. (Скрыто нарушение ВП:ЭП.) <Согласно этой формулировке,> сама теория, прямо в аксиомах, должна быть "абсолютной истиной". Но такого не бывает. Нигде в математике не говорится, что какая-то теория (или ее аксиомы) во всех ситуациях лучше какой-то другой (с ее аксиомами), и поэтому именно она и есть абсолютная истина. Например, никто не говорит, что геометрия Евклида лучше геометрии Лобачевского (или наоборот). Все утверждения математики имеют вид следствий из каких-то посылок:

В этом языке из вот таких посылок (аксиом) при таких правилах вывода получаются вот такие следствия.

И когда это сформулировано и доказано, оно становится абсолютной истиной, если уж Вам непременно хочется этого термина. В том смысле, что уже никакие новые наблюдения изменить этот факт не могут. Янов по этому поводу удачно цитирует Каца и Улама:

«В одном отношении математика стоит особняком среди других наук: никакой её результат не может быть зачеркнут дальнейшим развитием науки. Однажды доказанная теорема уже никогда не станет неверной, хотя впоследствии может выясниться, что она является лишь тривиальным частным случаем какой-то более общей истины. Математические знания не подлежат пересмотру, и общий их запас может лишь возрастать».

(Скрыто нарушение ВП:ЭП.) <И>менно это нужно сообщить читателю(Скрыто нарушение ВП:ЭП.) . Eozhik (обс.) 05:50, 3 апреля 2018 (UTC)

Отдельно об М.Клайне, на которого тут охотно ссылаются. Вот что о нем пишет Янов:

Решительная апология прагматического подхода к математике с детальным историческим обзором содержится в книге [Кла], но современное состояние оснований математики в этой книге отражено слишком тенденциозно (и к тому же некомпетентно).

Вы поаккуратнее с ним. Eozhik (обс.) 05:50, 3 апреля 2018 (UTC)

Одна реплика перемещена в Обсуждение участника:Eozhik.

--Браунинг (обс.) 07:35, 3 апреля 2018 (UTC)

1. Аксиома выбора и её упоминание в абзаце про нестандартный анализ: Алексей, эта фраза, может, и связывает абзац про нестандартный анализ со следующим, но сам абзац она разрывает пополам, отрывая отсутствие бесконечно малых от аксиомы Архимеда. Так что раз уж и LGB согласен, я предпочёл бы её убрать.
2. Абсолютные истины: LGB, даже в приводимых вами цитатах написано, что истины абсолютные, хоть и не в том смысле, что и раньше. А цитаты Eozhik'а ещё красноречивее показывают, что в нынешнем виде этот пассаж недостаточно ясно передаёт источники (хотя и выглядит эффектно). Так что мой вариант (с учётом правки Алексея): «...математика не может более рассматриваться как источник абсолютных истин, справедливых независимо от формальных оснований математической теории» -- это minimum minimorum того, что нужно добавить/исправить в этом месте.

--Браунинг (обс.) 21:26, 5 апреля 2018 (UTC)

1. • 1. Ну можно и убрать. — Алексей Копылов 09:28, 6 апреля 2018 (UTC)

Не возражаю в обоих случаях. LGB (обс.) 12:14, 6 апреля 2018 (UTC)

Там еще много странного. Например, это:

Практически это означает, что существует не одна математика, а целое бесконечное их семейство, члены которого несовместимы друг с другом — например, та же аксиома выбора и альтернативная ей аксиома детерминированности.

Во-первых, про "бесконечное семейство математик" -- это звучит громко, и я такое слышу впервые. Откуда это? Во--вторых, что аксиома выбора несовместима с аксиомой детерминированности -- это требует ссылки (если это действительно так). Eozhik (обс.) 16:25, 6 апреля 2018 (UTC)

• Про несовместимость AC и AD есть, например, у Кановея (ссылка 77). Слово "бесконечное" можно убрать - у Панова сказано, что число возможных вариантов оказывается "ошеломляюще большим". Хотя конечно бесконечное число построить не составляет труда (например, добавляя каждый раз к теории в качестве аксиомы утверждение о ее непротиворечивости). — Алексей Копылов 01:25, 7 апреля 2018 (UTC)

• Где именно Кановей и Панов об этом говорят? Eozhik (обс.) 05:14, 7 апреля 2018 (UTC)
  • Об этом говорит Кановей, страницы указаны в сноске. В частности на стр. 3 — Алексей Копылов 05:50, 7 апреля 2018 (UTC)

• А где про "семейство математик" кто-нибудь из них говорит? Eozhik (обс.) 06:39, 7 апреля 2018 (UTC)

О Гильберте

Несколько вопросов по поводу этого раздела:

1.

В отличие от Рассела, Гильберт брал первичные понятия в математике, а не в логике.

Где у М.Клайна, на которого дается ссылка, взята эта фраза? И как это вообще понимать? Eozhik (обс.) 10:04, 9 сентября 2018 (UTC)

Я думаю, что этой фразе вообще никакого смысла приписать невозможно. Eozhik (обс.) 13:49, 22 сентября 2018 (UTC)

2.

Гильберт строго определил логические («метаматематические») правила проведения доказательства, которые позволяли преобразовать формулы аксиом и уже доказанных теорем так, что в итоге чисто формально получалась формулировка новой теоремы.

-- Что здесь имеется в виду? Eozhik (обс.) 10:04, 9 сентября 2018 (UTC)

Здесь наверное может иметься в виду, что Гильберт с учениками определили систему формальной записи математических утверждений и формальные правила вывода на этом языке новых утверждений, и на этот язык можно перевести все известные математические результаты. Так и надо написать. Eozhik (обс.) 13:49, 22 сентября 2018 (UTC)

3.

Чтобы сделать свою идеологию общеприемлемой, Гильберт исключил из числа допустимых логических действий многие из самых спорных моментов — доказательство от противного, актуально бесконечные множества, непредикативные определения, трансфинитную индукцию.

-- Это тоже странное заявление. Откуда оно взялось и что означает? Eozhik (обс.) 10:04, 9 сентября 2018 (UTC)

Здесь догадаться что имел в виду автор, я думаю, невозможно. Если это понимать так как оно написано, то это утверждение ложно. Потому что в созданной Гильбертом и его школой системе (исчисление предикатов, нагляднее всего изложенное в интерпретации Генцена) и доказательства от противного, и бесконечные множества, и трансфинитная индукция, все это остается. И формализуется оно в нынешних аксиоматических теориях множеств. Как раз сохранив все это, Гильберт, считается, что и спас математику. Eozhik (обс.) 13:49, 22 сентября 2018 (UTC)

• В приведенном источнике говориться: "В метаматематике Гильберт предложил использовать особую логику, которая не вызывала бы никаких возражений. Истинность ее законов должна быть настолько очевидной, что всякий мог бы принять их без тени сомнения. По существу эти идеи Гильберта были весьма близки принципам интуиционизма. Все спорные моменты – доказательство существования от противного, трансфинитная индукция, актуально бесконечные множества, непредикативные определения – старательно изгонялись." То что в исчислении предикатов может быть доказательство от противного, никак этому не противоречит. Поэтому возвращаю это в текст. — Алексей Копылов 00:16, 10 октября 2018 (UTC)

• Алексей Копылов это заявление М.Клайна совсем не согласуется с тем, что в созданной Гильбертом логике предикатов (см. "Математическая энциклопедия", том 4, стр.577-580) закон исключенного третьего благополучно присутствует (в виде аксиомы 11 на стр.578). А в строимых на этом исчислении аксиоматических теориях множеств есть и трансфинитная индукция, и бесконечные множества, и все, что Вы тут так последовательно клеймите. Вы если восстановили этот кусок, наверное, можете объяснить этот парадокс? И заодно прокомментировать отзыв логика Ю.И.Янова о книге Клайна:

  современное состояние оснований математики в этой книге отражено слишком тенденциозно (и к тому же некомпетентно)

  Eozhik (обс.) 05:41, 11 октября 2018 (UTC)
• А вот, между прочим, цитата из "Математической энциклопедии" (содержащая цитату из самого Гильберта, и прямо противоречащая написанному у М. Клайна), 1985 год, том 3, статья "Математическая логика", страница 571:

  Д. Гильберт писал, что парадоксы теории множеств вызваны не законом исключенного третьего, а "скорее тем, что математики пользуются недопустимыми и бессмысленными образованиями понятий, к-рые в моей теории доказательств исключаются сами собой. ...Отнять у математиков закон исключенного третьего - это то же, что забрать у астрономов телескоп или запретить боксерам использовать кулаки".

  Спрашивается, кому в этой непростой ситуации верить: Д.Гильберту, Математической энциклопедии, или же все-таки М. Клайну с Алексеем Копыловым? Eozhik (обс.) 08:49, 11 октября 2018 (UTC)

4.

Однако формализм потерял доверие учёных, когда в 1931 году появились теоремы Гёделя о неполноте,

-- Это тоже откуда? Eozhik (обс.) 10:04, 9 сентября 2018 (UTC)

Это тоже выглядит абсурдом, потому что как раз на исчислении предикатов строятся нынешние аксиоматические теории множеств. А на них вся остальная математика (за исключением некоторых экзотических разделов логики). Eozhik (обс.) 13:49, 22 сентября 2018 (UTC)

5.

Доказать непротиворечивость арифметики удалось только с привлечением трансфинитной индукции (Генцен, 1936 год)

-- Это звучит как заявление, что Генцену удалось доказать непротиворечивость арифметики. Что неправда: ему удалось доказать только что непротиворечивость арифметики следует из непротиворечивости другой теории, которую он для этого специально придумал (а ее непротиворечивость остается недоказанной, и, более того, по теореме Геделя не может быть доказана). Eozhik (обс.) 10:04, 9 сентября 2018 (UTC)

• Генцен доказал непротиворечивость арифметики используя аксиомы другой теории. Но это верно для любой теоремы, так что уточнение тут не обязательно. — Алексей Копылов 18:47, 13 сентября 2018 (UTC)

Что верно для любой теоремы?

Но это верно для любой теоремы

Eozhik (обс.) 19:10, 13 сентября 2018 (UTC)

Так что с этим? Eozhik (обс.) 13:49, 22 сентября 2018 (UTC)

6.

Отсюда следует, что аксиоматика натуральных чисел (любая, не только предложенная Пеано) не охватывает всё содержание арифметики.

-- Это тоже требует объяснений. Что под этим понимается? Eozhik (обс.) 10:04, 9 сентября 2018 (UTC)

• На мой взгляд, из текста это ясно: существуют истиные теоремы, которые нельзя доказать, существуют нестандартные модели. — Алексей Копылов 18:47, 13 сентября 2018 (UTC)

Что такое "истинные теоремы, которые нельзя доказать"?

существуют истиные теоремы, которые нельзя доказать

Eozhik (обс.) 19:10, 13 сентября 2018 (UTC)

И с этим. Eozhik (обс.) 13:49, 22 сентября 2018 (UTC)

7. Вот это тоже красиво звучит:

Гильберт верил, что для каждой математической теории можно найти систему аксиом, из которых чисто синтаксическими преобразованиями выводится любая математическая теорема данной теории, причём непротиворечивость, независимость и полноту этой системы можно будет, по его мнению, строго логически доказать.

Получается, любая теория должна быть непротиворечива, полна и обладать системой независимых аксиом. В том числе если теория с самого начала противоречива или неполна. Чтобы такое Гильберту приписывать нужно иметь серьезные доказательства. Где он это брякнул? Eozhik (обс.) 07:28, 12 сентября 2018 (UTC)

• Очевидно, что "математическая теория" здесь означает не систему аксиому, а понимается в неформальном смысле, как любая из существующих математических теорий таких, как арифметика, геометрия, анализ. В этом значении такое утверждение до открытия теорем Геделя было вполне правдободобно. — Алексей Копылов 18:47, 13 сентября 2018 (UTC)

Арифметикой, геометрией и анализом список математических теорий уже во времена Гильберта не исчерпывался (а сейчас тем более). Если Гильберт говорил о них, то так и надо написать. А если о чем-то другом, то нужно объяснить, о чем. И ссылку хорошо бы дать, чтобы читатель мог проверить это заявление. Eozhik (обс.) 19:10, 13 сентября 2018 (UTC)

И между этим

для каждой математической теории

и этим

любая из существующих математических теорий

-- имеется разница. Eozhik (обс.) 19:19, 13 сентября 2018 (UTC)

И это тоже, очевидно, какое-то эзотерическое знание. Eozhik (обс.) 13:49, 22 сентября 2018 (UTC)

8. И вот это:

Гильберт заметил (1904), что логика в ходе своего развития впитала в себя неустранимое понятие целого числа, поэтому обоснование числа с помощью логики есть движение по замкнутому кругу.

Откуда вы все это берете? Eozhik (обс.) 15:32, 16 сентября 2018 (UTC)

Это тоже звучит совсем странно. Потому что в современных теориях 1 порядка (в том числе аксиоматических теориях множеств), которые строятся на исчислении предикатов, созданном школой Гильберта, понятие числа благополучно конструируется из аксиом этих теорий. Что могло здесь иметься в виду -- большая загадка. Eozhik (обс.) 13:49, 22 сентября 2018 (UTC)

Авторы, вы где? Eozhik (обс.) 06:23, 11 сентября 2018 (UTC)

Господа, долго вы там будете думать? Eozhik (обс.) 06:28, 13 сентября 2018 (UTC)

Авторы Википедии не получают денег за свою работу, поэтому подгонять их считается невежливым. Основной автор этой статьи был неактивен за последние 4 дня. Вероятно у него есть другие дела. Набиритесь терпения. На часть вопросов я ответил. — Алексей Копылов 18:47, 13 сентября 2018 (UTC)

Я тоже не получаю денег за расчистку этих конюшен. Авторы, проблема так и осталась нерешенной. В настоящем виде статья выставляет Гильберта каким-то идиотом. При том, что именно этот человек внес главный вклад в разрешение кризиса математики начала 20 века. Написанное здесь производит впечатление каких-то обрывочных фраз, произнесенных кем-то когда-то (даже не самим Гильбертом) и вдобавок преобразованных до неузнаваемости по испорченному телефону. Это не называется аккуратно проделанная работа. И должно быть переделано. Eozhik (обс.) 11:32, 22 сентября 2018 (UTC)

u:Colt browning это выглядит неприлично. Вы если взялись так последовательно поучать меня ВП:ЭП все-таки высказались бы по этому поводу там, где мы это с Вами в последний раз обсуждали. Как насчет "ворот" в той истории? У меня Вы блох старательно выискиваете. Что у других? Eozhik (обс.) 12:42, 22 сентября 2018 (UTC)

Я поправил этот раздел в соответствии с высказаннами здесь замечаниями. Eozhik (обс.) 11:04, 2 октября 2018 (UTC)

О ссылках в разделе о формализме

Все, что я там написал — очевидные для математика (и общеизвестные в математической среде) вещи. В частности,

1. Что в аксиоматических теориях множеств удалось избавиться от старых парадоксов — известный (и очевидный) факт. Он следует из того, хотя бы, что Гильберт, Гёдель и другие математики пытались доказать непротиворечивость математики. Если бы какие-то парадоксы, например, в теории Цермело-Френкеля, сохранились, никто бы о доказательстве непротиворечивости не думал, потому что математика была бы противоречивой. (И все думали бы о том, чтобы сначала избавиться от этих противоречий, а уж потом только доказывать, что в будущем новых противоречий не появится. И как раз так оно исторически и было.) Но явно сформулированным где-то это заявление (что в нынешних аксиоматических теориях множеств противоречий пока не нашлось) я не вижу в тех книгах, которые у меня сейчас под рукой. (Интересно будет поглядеть на развитие событий в вашей компании в связи с этим.)
2. Это

   доказать непротиворечивость какой-либо теории, содержащей арифметику, в самой теории невозможно, и можно говорить только об относительной непротиворечивости таких теорий

   — явно записано в "Математическом энциклопедическом словаре" 1988 года, в статье "Непротиворечивость":

   Любое математическое доказательство непротиворечивости является относительным: оно лишь сводит вопрос непротиворечивости одной теории к вопросу о непротиворечивости другой.

3. Для этого

   Тем не менее, именно исследования Гильберта и его школы оставили наиболее глубокий след в области оснований математики и по существу сформировали современное лицо математики.

   — ссылкой может быть статья "Гильберт" в том же "Математическом энциклопедическом словаре" 1988 года:

   Первоначальные надежды Гильберта в этой области не оправдались: проблема непротиворечивости математических теорий оказалась глубже и труднее, чем Гильберт предполагал сначала. Но вся дальнейшая работа над логическими основаниями математики в большой мере идет по путям, намеченным Гильбертом и пользуется созданными им концепциями.

   Написанное мной в этом абзаце — это более подробное объяснение сказанного в Словаре. Eozhik (обс.) 08:34, 11 октября 2018 (UTC)

Кажется, разрешилась проблема с этим:

Что в аксиоматических теориях множеств удалось избавиться от старых парадоксов — известный (и очевидный) факт... Но явно сформулированным где-то это заявление (что в нынешних аксиоматических теориях множеств противоречий пока не нашлось) я не вижу в тех книгах, которые у меня сейчас под рукой.

Вот ссылка: Evert W. Beth, The Foundations of Mathematics. A Study in the Philosophy of Science, New York, 1966, p.495.

The paradoxes of set theory — that is, the paradoxes of Cantor, of Burali-Forti, and of Zermelo-Konig — apparently originate from the liberality with which the comprehension axiom allows the introduction of new sets. So we should consider the problem whether it is possible to submit the introduction of new sets to restrictive conditions which are apposite in the following sense: the conditions should forestall the introduction of those sets which give rise to paradoxes. On the other hand, they should not impair those methods of construction which in the past have been found to be both useful and safe. Zermelo's axiomatisation constitutes a first tentative solution of this problem. We have seen that in this axiom system the comprehension axiom is replaced by a series of axioms, the bearing of which is relatively limited. It has been shown, nevertheless, that these axioms taken together allow the derivation of the typical theorems of classical set theory. We must now consider the question whether this axiomatisation really disposes of the paradoxes of set theory. A final answer to this question can be given only on the basis of a consistency proof; so far, however, such a proof has not been given, and on account of the theorem of Godel (c/. Section 218) it seems hardly probable — to express it mildly — that such a proof will ever be given. Therefore, we shall have to be content with an answer of a much more modest nature: it can be made clear that those arguments which in Cantor's original version of set theory gave rise to paradoxes are eliminated in virtue of the restrictions implied by the axiomatisations which Zermelo and others have given. We will restrict ourselves to a discussion of Zermelo's axiom system.

Eozhik (обс.) 19:33, 18 ноября 2018 (UTC)

Нет, это плохой источник, потому что там он как будто говорит только о трех парадоксах. Вот правильная ссылка: Ю.Л.Ершов, Е.А.Палютин, Математическая логика, М.:Наука, 1987, c.92-93:

В рамках ZFC никаких противоречий до сих пор не обнаружено. С другой стороны, было доказано, что если ZFC непротиворечива, то этот факт нельзя установить средствами этой теории.

Eozhik (обс.) 08:12, 21 ноября 2018 (UTC)

Вот еще: H.-D.Ebbinghaus, J.Flum, W.Thomas, Mathematical Logic, 1984, p.112:

"Nevertheless, the fact that ZFC has been investigated and used in mathematics for decades and no inconsistency has been discovered, attests to the consistency of ZFC."

Здесь глагол "attests" режет глаз, но западные математики уверяют, что его надо переводить как "с большой вероятностью означает" или "свидетельствует в пользу". Eozhik (обс.) 08:53, 21 ноября 2018 (UTC)

О теории множеств

Это тоже требует уточнений:

Оппоненты утверждают, что некоторые аксиомы интуитивно не обоснованы и искусственны

Что за оппоненты, к каким именно аксиомам у них претензии и почему? Eozhik (обс.) 10:17, 9 сентября 2018 (UTC)

О канторовской теории множеств

И это:

Анализ этого требования показал, что оно, с одной стороны, недостаточно, так как не предотвращает полностью появления парадоксов, а с другой стороны, делает незаконными некоторые классические определения, например точной верхней и нижней границы множества

Я поглядел статью на эту тему. Для специалиста она написана непонятно. Если есть источник, в котором дается определение предикативности на языке теорий 1 порядка, то нужно его туда вставить (а статью перестроить, чтобы было понятно, о чем речь). Если нет - то нужно объяснить, что этот термин не был формализован (и не нашел применения) в современной математике и представляет только исторический интерес. Eozhik (обс.) 06:20, 11 сентября 2018 (UTC)

А это

Все эти споры поставили трудный вопрос — что вообще означает в математике понятие «существования»?

-- к теории множеств отношения не имеет, и не связано с этим

Например, было доказано, что поле вещественных чисел можно вполне упорядочить, но какое-либо описание этого порядка отсутствует.

, что в свою очередь звучит глупо, потому что описание порядка (как любой другой конструкции) в любой формальной теории или дается в аксиомах, или в теоремах, и ничего третьего не бывает, вопреки желаниям Панова и Клайна. В данном случае это теорема. Eozhik (обс.) 10:58, 8 декабря 2018 (UTC)

Преамбула и остальной текст

Господа, редакцией раздела о Гильберте чистка этого текста закончиться не может. В нем очень много еще странного и нелепого. Уже когда читаешь преамбулу видны ляпы, вдобавок со ссылками на другие статьи, в которые если заглянуть, то становится очевидно, что они тоже требуют правки. Главная моя претензия к вам (если вы еще не поняли) — что в этом тексте вы выставляете математику и математиков в идиотском свете, который ни она, ни они не заслуживают. При этом вы ссылаетесь на авторов, которые математиками не являются и пишут вещи, странные до абсурда. Я думаю, будет правильно вообще от таких ссылок избавиться. Я перечислю, что сразу бросается в глаза, и хотел бы, чтоб вы дали мне возможность поправить (не только это, но и что попутно увидится). Или, что было бы лучше, вы сами не хотите почистить этот текст, чтобы приглушить эту компоненту бесцеремонности? Eozhik (обс.) 08:45, 4 октября 2018 (UTC)

• Это так трогательно, что вы переживаете за «компоненту бесцеремонности», но сопротивляетесь моим попыткам сделать ваши ценные указания более читаемыми. И впечатляет, что вы выдвигаете претензии к имеющимся в статье источникам или попросту игнорируете их, но не приводите здесь не единого источника, который подкреплял бы ваши замечания. Предъявите такие источники, пожалуйста (я не пишу об этом ниже в каждом отдельном пункте). Не потому, что вам не доверяют, а потому что без источников нельзя писать статью. --Браунинг (обс.) 09:28, 4 октября 2018 (UTC)

Браунинг, это

вы переживаете за «компоненту бесцеремонности», но сопротивляетесь моим попыткам сделать ваши ценные указания более читаемыми

— оттого, что я забочусь о читателе, а не об авторах русской Википедии, успевших мне зарекомендовать себя с определенной стороны. Об источниках можете спрашивать, где это нужно. Большинство моих претензий в том, что написанное здесь как раз дается без ссылок на источники, или со ссылками на неавторитетные источники. Eozhik (обс.) 09:40, 4 октября 2018 (UTC)

Короткая точная последовательность: читатели, о которых мы с вами заботимся, читают статьи; статьи пишутся авторами; авторы внимают вашим ЦУ, если ЦУ читаемые и аргументированные. Если вы искренне хотите помочь читателям, сделайте ЦУ читаемыми или не мешайте мне делать их читаемыми, пожалуйста. Я не ставлю целью воспитывать вас или восстанавливать Справедливость. Что же касается источников, то сказанное вами не отменяет сказанного мной. --Браунинг (обс.) 09:58, 4 октября 2018 (UTC)

Браунинг, я хорошо владею русским языком, меня править не нужно. Тем более, ссылаясь на Этику, если Справедливость как цель Вас не интересует. Про источники спрашивайте в конкретных местах. Eozhik (обс.) 10:08, 4 октября 2018 (UTC)

Не на Этику, а на правила. Правила надо соблюдать. Русский язык здесь ни при чём. --Браунинг (обс.) 09:11, 4 декабря 2018 (UTC)

• u:Colt browning вот так

  Правила надо соблюдать.

  -- бывает когда Правила (или их интерпретация) не противоречат общепринятой Этике. Здесь с этим имеются большие проблемы (и не только в области, которую мы уже обсуждали, но также и в самой этой статье, на странице обсуждений которой мы сейчас находимся). В таких случаях люди сначала устраняют эти проблемы, и уже только потом следуют (поправленным) Правилам. Eozhik (обс.) 18:40, 4 декабря 2018 (UTC)

1. Вот это

Основания математики — математическая система,

— звучит непонятно, потому что, что такое математическая система, я уверен, никто здесь объяснить не сможет. Я думаю, <<систему>> нужно заменить на <<область математики>>. Eozhik (обс.) 08:45, 4 октября 2018 (UTC)

• Что именно такое основания математики О какой именно системе идёт речь, объясняется дальше тут же. Основаниями математики называют и систему первичные_объекты + аксиомы + средства_вывода, и область математики и философии, исследующую подходы к формированию оснований математики в первом смысле. Предложенный вариант охватывает лишь второй смысл, и то частично, поэтому я против. --Браунинг (обс.) 09:28, 4 октября 2018 (UTC)

<<Математическая система>> — звучит как термин. Автору этой фразы следует или дать ссылку, или отказаться от этого выражения. Eozhik (обс.) 10:11, 4 октября 2018 (UTC)

Можно упростить: «Основания математики — логические правила вывода математического знания из небольшого числа чётко сформулированных аксиом. Основания математики призваны гарантировать надёжность математических истин». — АлександрЛаптев (обс.) 14:45, 5 октября 2018 (UTC)

Нет, так нельзя, потому что в этой науке "правила вывода" — как раз термин, и он означает не всю теорию, а только ее фрагмент. Например, правило modus ponens или правила исчисления секвенций Генцена. Я думаю, можно в этом предложении заменить "математическую систему, разработанную с целью обеспечить вывод..." на "область математики, изучающую возможность вывода...". Eozhik (обс.) 08:38, 6 октября 2018 (UTC)

Я объяснил выше, что основания математики — не столько область математики (и философии математики), сколько объекты конкретной теории. Можно ли сказать, что теория категорий выступает как основания математики? Можно (хотя многие с этим не соглашаются). Унивалентные основания тоже основания математики. Это два разных набора оснований математики, две разные теории. И то и другое — основания, по отдельности. А не только какая-то весьма условная область, объединяющая и то и то. --Браунинг (обс.) 09:11, 4 декабря 2018 (UTC)

• Вашим объяснениям, u:Colt browning, недостает ссылок на источники. Eozhik (обс.) 07:04, 5 декабря 2018 (UTC)

И это не единственный их недостаток. Eozhik (обс.) 07:07, 5 декабря 2018 (UTC)

2. Здесь

Таким образом, основания математики включают в себя три компонента

— <<таким образом>> следует убрать, потому что то, что написано после него, не следует от из того, что стоит перед ним. Eozhik (обс.) 08:45, 4 октября 2018 (UTC)

• Это верно, по-моему. --Браунинг (обс.) 09:28, 4 октября 2018 (UTC)

3. Это

Были предложены новые, строго формализованные системы, различающиеся своим философским подходом и пониманием сущности математического знания. Все эти системы были предназначены для обеспечения надёжности математических утверждений, однако оказалось, что вопрос о надёжности и непротиворечивости самих оснований вызвал немало проблем и даже логических противоречий.

— звучит так, как будто эти проблемы не были преодолены. Очевидно, это рудименты того, что писалось про Гильберта (что мол, у него ничего не получилось, и поэтому к полученными им результатам сейчас никто серьезно не относится). Eozhik (обс.) 08:45, 4 октября 2018 (UTC)

4. Это

В ходе логического анализа были обнаружены принципиальные ограничения возможностей формальных систем; среди математиков возникли также разногласия по поводу того, какие аксиомы и какие логические средства вывода допустимы (или недопустимы) в аксиоматике оснований

— сильное преувеличение. Эти разногласия были при жизни Гильберта, и то среди кучки математиков, вне общего потока, а после его смерти, когда обнаружилось, что ничего внятного взамен эти математики предложить не могут, о разногласиях давно забыли. Сейчас все пользуются аксиоматическими теориями множеств, и никто их важность сомнению не подвергает. Eozhik (обс.) 08:45, 4 октября 2018 (UTC)

Ссылка? --Браунинг (обс.) 10:42, 4 октября 2018 (UTC)

На утверждение, что все пользуются аксиоматическими теориями множеств? Eozhik (обс.) 12:23, 4 октября 2018 (UTC)

• Это не верно. Не все пользуются теорией множеств. Например, самая распространенный прувер (Coq) использует теорию типов, а не теорию множеств.
  — Алексей Копылов 00:32, 10 октября 2018 (UTC)

• Согласно математической энциклопедии 1985 года издания (том 5 стр.351-353), теория типов - это формальная теория 1 порядка. И значит, аксиоматическая теория. А простая теория типов (см. там же) — это вариант теории множеств. Что Вам не нравится? (Это не очень важно, но если уж зашла речь об этом прувере, интересно было бы узнать, что с его помощью удалось доказать.) Eozhik (обс.) 22:21, 10 октября 2018 (UTC)

5. Это тоже преувеличение:

Общепризнанных оснований математики не существует, и «проблема обоснования математики всё еще остаётся далёкой от своего решения»

Проблема обоснования решена. Единственное, что может не нравиться авторам дешевых сенсаций на эту тему — что она была решена не так, как себе это поначалу представлял Гильберт. Но цель, ради которой вся эта деятельность Гильбертом затевалась — избавление от противоречий — достигнута. Писать такие вещи о науке, к которой вдобавок никакого отношения не имеешь, — демонстрация верхоглядства. Eozhik (обс.) 08:45, 4 октября 2018 (UTC)

Ссылка? --Браунинг (обс.) 10:42, 4 октября 2018 (UTC)

Где говорится, что все накопленные парадоксы были устранены? Eozhik (обс.) 12:23, 4 октября 2018 (UTC)

• На то, что "проблема обоснования решена". — Алексей Копылов 00:32, 10 октября 2018 (UTC)

• В чем Вы видите проблему? Eozhik (обс.) 22:21, 10 октября 2018 (UTC)

6. Это тоже:

Более того, нет общепризнанного содержания математики — такие фундаментальные утверждения, как аксиома выбора или континуум-гипотеза, недоказуемы и не имеют убедительного интуитивного обоснования, поэтому принятие или непринятие их, а также их многочисленных следствий, зависит только от личного мнения математика.

Про аксиому выбора я писал тут. Континуум-гипотеза вообще никому не нужна, от нее математикам ни холодно, ни жарко. Если кто о ней сейчас вспоминает — так это фанатики вроде тех, что теорему Ферма пытались доказать (и, между прочим, до сих пор еще кое-кто пытается). Про <<общепризнанное содержание математики>> звучало бы красочнее, если бы вы тут заявили, что <<математики нынче вообще не существует>>. Eozhik (обс.) 08:45, 4 октября 2018 (UTC)

• Это отчасти верно, но не особо существенно. --Браунинг (обс.) 09:28, 4 октября 2018 (UTC)

У меня другое мнение. Это

нет общепризнанного содержания математики

— звучит абсурдно. И нахально. Eozhik (обс.) 10:13, 4 октября 2018 (UTC)

7. Это обезличенное мнение

Исследования в этой области продолжаются, хотя существует и мнение, что обоснование может быть полезно для развития отдельных математических теорий или философии, но математика в целом ни в каком обосновании не нуждается

— следует выбросить из текста. Eozhik (обс.) 08:45, 4 октября 2018 (UTC)

• Eozhik, при редактировании раздела о Гильберте, вы удалили несколько фраз с источниками, а сами добавили содержание без единого источника! Это не дело. Статьи в Википедии не пишутся «из головы». Перед вами должен быть авторитетный источник, на основании которого вы редактируйте статью. Для избранных статей принято, чтобы в каждом параграфе были ссылки на источники. После ваших правок, это требование оказалось нарушенным. Поэтому убедительная просьба:

1. Если вы удаляете текст, всегда пишите комментарий к правке с причиной удаления (можно сослаться на СО, где эта причина описывается). Комментарии к правке желательны всегда, но при удалении текста они практически обязательны.
2. Если вы удаляете текст, снабженный источником, то причина должна быть серьезной и конкретной и основываться на источниках, а не на вашем личном отношении к удаляемому тексту. Возможные причины удаления текста снабженного источниками:
   1. Нет в источнике (предполагается, что вы смотрели источник, но не нашли там этой информации)
   2. Информация в источнике передана некорректно (в источнике сказано так-то, а в статье так-то)
   3. Не авторитетный источник, с обязательным обоснованием неавторитетности. Если источник — книга, изданная в серьезном издательстве, или статья в рецензируемом журнале, то обоснования неавторитетности должны быть серьезными, например, другой авторитетный источник, который говорит, что автор — некомпетентен, или что в работе есть ошибки, или просто утверждает противоположное. То что источник вам кажется неавторитетным, не может быть обоснованием неавторитетности. То что у автора нет математических работ — тоже не может быть обоснованием неавторитетности.
   4. Информация в источнике устарела, или не выражает мнение большинства современных ученных. В этом случае обязательно надо дать более современный источник, на основе которого сделан этот вывод.
   5. Информация правильная, но не имеет отношение к теме статьи или раздела, или её лучше поместить в другое место.
3. Примеры причин, которые не могут быть валидными при удалении текста с источниками: «следует выбросить из текста», «у меня другое мнение», «звучит абсурдно», «очевидно, что это не так».
4. При добавлении информации всегда указывайте источники, откуда эта информация взята. Это основное правило Википедии, им нельзя пренебрегать, особенно при редактировании избранных статей.

К вашим замечаниям 1-7 к преамбуле у меня одна и та же претензия: вам не нравиться фраза в преамбуле, снабженная ссылкой на авторитетный источник, но при этом сами вы не приводите источники, которые обосновывают ваше мнение. Действуя таким образом, вы не сможете убедить других в своей правоте. Вы должны обосновать, почему фраза должна быть убрана (см. возможные причины 2.1-2.5 выше) и, если вы считаете, что фраза должна быть переписана, указать источник, на основе которого фраза должна быть переписана. — Алексей Копылов 00:29, 10 октября 2018 (UTC)

вам не нравиться фраза в преамбуле

— "нравится" в этом предложении должно писаться без мягкого знака. А "Вам" — с большой буквы. О какой фразе "со ссылкой на авторитетный источник" Вы говорите? Eozhik (обс.) 22:21, 10 октября 2018 (UTC)

И Алексей Копылов, после Вашей правки эта фраза присутствует дважды в тексте:

в своём выступлении на Международном математическом конгрессе 1928 года, Гильберт оптимистично заявил: «Не сомневаюсь, что наш новый подход к основаниям математики, который можно было бы назвать теорией доказательства, позволит навсегда покончить со всеми проблемами обоснования математики»

Eozhik (обс.) 05:10, 11 октября 2018 (UTC)

повторы в "формализме"

абзац про "оптимистичные высказывания гильберта" дважды повторяется с одной и той же цитатой 213.138.94.34 14:50, 13 ноября 2018 (UTC)

Исправлено, спасибо. --Браунинг (обс.) 14:54, 13 ноября 2018 (UTC)

Об М.Клайне

Я инициировал дискуссию на сайте math.stackexchange.com по поводу цитируемого тут сочинения этого автора. Там мне накидали ссылок на рецензии. Их много. Часть рецензентов соглашаются, что этому автору можно доверять, когда он пишет о математике до 19 столетия. Но когда он заводит речь о современной математике, в частности, о Гильберте и его школе, попавшиеся мне на глаза рецензенты сходятся в том, что здесь он выходит далеко за рамки своей компетентности. Вот несколько цитат.

Mathematical Reviews, J. Corcoran:

"The author's grasp of twentieth century logic is not reliable... The philosophical confusions and the foundational inaccuracies are intimately related and are perhaps jointly explainable by reference to the author's misunderstanding of the complex of traditional philosophic distinctions which have been both exploited by and clarified by modern foundational work... One can only regret the philosophical, foundational, and historical inadequacies which vitiate the main argument..."

American Mathematical Monthly, Raymond G. Ayoub:

"Professor Kline does not deal honestly with his readers. He is a learned man and knows perfectly well that many mathematical ideas created in abstracto have found significant application in the real world. He chooses to ignore this fact, acknowledged by even the most fanatic opponents of mathematics. He does this to support an untenable dogma. One is reminded of the story of the court jester to Louis XIV: the latter had written a poem and asked the jester his opinion. 'Your majesty is capable of anything. Your majesty has set out to write doggerel and your majesty has succeeded.' On balance, such, alas, must be said of this book."

Modern Logic, Thomas Drucker:

"His descriptions suffer from his extreme position as applied mathematician... Kline's zeal obscures his perspective."

Zentralblatt MATH, W. Rehder

"The book has disappointed me in two respects: (1) as to the contents and views, nothing much is new; (2) as to the style of presentation, it is too loose, too additive, and a little pretentious."

Educational Studies in Mathematics, Ian Stewart:

"This book is firmly in the tradition that we have come to expect from this author; and my reaction to it is much like my reaction to its predecessors: I think three quarters of it is superb, and the other quarter is outrageous nonsense; and the reason is that Morris Kline really doesn't understand what today's mathematics is about, although he has an enviable grasp of yesterday's."

Мне лично ближе всего последнее мнение.

Вопрос: этого достаточно, чтобы, наконец, признать этого автора неавторитетным источником в области современной математики и убрать из текста проповедуемую им ахинею, за которую вы так упорно цепляетесь

Чтобы сделать свою идеологию общеприемлемой, Гильберт исключил из числа допустимых логических действий многие из самых спорных моментов — доказательство от противного, актуально бесконечные множества, непредикативные определения, трансфинитную индукцию

 ? Eozhik (обс.) 16:04, 13 ноября 2018 (UTC)

Вот на русском языке для тех, кому лень переводить. Eozhik (обс.) 16:05, 17 ноября 2018 (UTC)

• В соответствии с отмеченным, я убрал ссылки на этого автора в разделе "Формализм", кроме одной: там где он пишет о критике Гильберта. Eozhik (обс.) 07:46, 4 декабря 2018 (UTC)

1. Аргументация против Клайна представляется мне убедительной и неопровергнутой.
2. Свежими правками также под шумок были убраны некоторые ссылки на Панова. Я не имею по этому поводу определённого мнения, просто отмечаю для общего све́дения.
3. Надо поправить оформление и, наверное, подсократить цитаты, это я сделаю, если кто-то ещё не сделает раньше.
4. Ссылки и цитаты, добавленные к фразе «Одновременно таким формальным уточнением математических понятий и приемов удалось избавиться от всех накопленных к тому времени противоречий в математике», мне нравятся сами по себе, но явно стоят не у того утверждения и не в том разделе.

--Браунинг (обс.) 09:05, 4 декабря 2018 (UTC)

• Вроде эти цитаты как раз к месту. Они доказывают, что от парадоксов избавились. Eozhik (обс.) 09:09, 4 декабря 2018 (UTC)

• Цитаты всё-таки про более современное состояние вопроса (что ZFC били, били, не разбили), а в этом месте статьи речь про то, что уже тогда стараниями Гильберта с коллегами были решены накопившиеся проблемы. Да и аббревиатура ZFC здесь не упоминается. --Браунинг (обс.) 09:15, 4 декабря 2018 (UTC)

• А прямую ссылку на Гильберта и его школу в этом контексте я не увидел, только такой "вывод из общего факта". Но, во-первых, это лучше, чем вообще без доказательства. А, во-вторых, по-моему, этого и достаточно. Eozhik (обс.) 09:50, 4 декабря 2018 (UTC)

• Насчет Панова. Это заявление

  "Математика была вынуждена бесповоротно отказаться от претензий на абсолютную достоверность или значимость своих результатов"

  --- не может оставаться без последствий. Все, что пишет этот автор нужно тщательно проверять и искать этому независимые ссылки. Что формально делает лишним упоминание о нем вообще. Eozhik (обс.) 09:54, 4 декабря 2018 (UTC)

Гильберт и непротиворечивость

Вот это утверждение тоже требует ссылки (и уточнения):

Для доказательства непротиворечивости какой-либо системы аксиом Гильберт использовал построение модели этой системы в другой аксиоматике — например, непротиворечивость евклидовой геометрии имеет место, если непротиворечива система вещественных чисел, непротиворечивость аксиом целых чисел сводится к непротиворечивости натуральных чисел.

Эта идея как минимум не Гильберту принадлежит, а восходит к Бельтрами и Паункаре. Где и что точно Гильберт писал про это? Eozhik (обс.) 03:32, 15 ноября 2018 (UTC)

О полноте

И @LGB: между этим

В математической логике теория называется полной, если любая синтаксически корректная замкнутая формула или ее отрицание доказуемы в данной теории

-- и этим

полноту, то есть способность доказать или опровергнуть любое корректное утверждение данной теории;

-- имеется разница. Eozhik (обс.) 03:45, 15 ноября 2018 (UTC)

О "математической системе, разработанной с целью обеспечить вывод"

@Colt browning: что за соображения стоят за этим? Eozhik (обс.) 09:59, 4 декабря 2018 (UTC)

• См. п. 1 выше. --Браунинг (обс.) 11:27, 4 декабря 2018 (UTC)

• @Colt browning: вопрос в том, где автор этого фрагмента нашел термин "математическая система", и что он значит.
• Авторы! Кто вообще готов нести ответственность за это:

  Основания математики — математическая система, разработанная с целью обеспечить вывод математического знания из небольшого числа чётко сформулированных аксиом с помощью логических правил вывода, тем самым гарантируя надёжность математических истин. Основания математики включают в себя три компонента. 1. Первичные математические объекты максимальной общности (не определяемые через другие математические объекты). 2. Перечень свойств первичных объектов в виде списка аксиом, считающихся истинными. 3. Набор логических средств вывода, позволяющий получать из истинных утверждений другие, столь же истинные.

  ? Хотелось бы задать несколько вопросов этому человеку. Eozhik (обс.) 18:27, 4 декабря 2018 (UTC)

@LGB: судя по этой и этой правкам, это Ваше творчество. В связи с этим вопросы:

1) Рассел и Уайтхед такого словосочетания "математическая система" не произносят. Какой смысл несет в Вашем тексте ссылка на предисловие к их книге?

2) Эдельман на странице 127, на которую Вы ссылаетесь, говорит не об основаниях математики, как Вы тут пишете, а о синтаксических теориях, и вдобавок пишет о них совсем не то, что Вы. А вот что:

Предварительно еще раз отметим, что всякая синтаксическая теория характеризуется: 1) алфавитом, т.е. множеством символов, используемых для построения формул теории; 2) системой аксиом, т. е. некоторым множеством формул, называемых аксиомами; 3) правилами вывода, позволяющими из одних формул получать другие формулы рассматриваемой синтаксической теории.

У Вас же в голове это преобразовалось в такое:

Основания математики включают в себя три компонента. 1. Первичные математические объекты максимальной общности (не определяемые через другие математические объекты). 2. Перечень свойств первичных объектов в виде списка аксиом, считающихся истинными. 3. Набор логических средств вывода, позволяющий получать из истинных утверждений другие, столь же истинные.

Вы не хотите это прокомментировать? Eozhik (обс.) 06:23, 5 декабря 2018 (UTC)

Еще раз о преамбуле

Это

Все эти системы были предназначены для обеспечения надёжности математических утверждений, однако оказалось, что вопрос о надёжности и непротиворечивости самих оснований вызвал немало проблем и даже логических противоречий. В ходе логического анализа были обнаружены принципиальные ограничения возможностей формальных систем; среди математиков возникли также разногласия по поводу того, какие аксиомы и какие логические средства вывода допустимы (или недопустимы) в аксиоматике оснований[3].

-- звучит так, как будто эти проблемы появились в результате обсуждений и до сих пор не устранены. При том, что все было наоборот: сначала появились проблемы, потом их стали обсуждать и анализировать ситуацию, и в итоге проблемы устранили. Какое именно место в Британнике мог иметь в виду автор, ссылаясь на нее в этом контексте? Eozhik (обс.) 23:22, 6 декабря 2018 (UTC)

Насчет этого:

Общепризнанных оснований математики не существует, и «проблема обоснования математики всё еще остаётся далёкой от своего решения»[5].

1. Это звучит абсурдно. Как если бы человек заявил, что общепризнанной медицины не существует, потому что у каждого врача имеется свое мнение о том, как лучше лечить больных. 2. Странного в этом ничего нет, потому что автор -- не математик. Цитируемое его сочинение не может быть авторитетным источником в этой области. Eozhik (обс.) 23:22, 6 декабря 2018 (UTC)

Это из той же серии:

Более того, нет общепризнанного содержания математики — такие фундаментальные утверждения, как аксиома выбора или континуум-гипотеза, недоказуемы и не имеют убедительного интуитивного обоснования, поэтому принятие или непринятие их, а также их многочисленных следствий, зависит только от личного мнения математика.

Существует много разных математических теорий. Нет ничего ненормального, что они по-разному описывают картину мира. Например, евклидова геометрия -- не то же что геометрия Лобачевского. Или физические теории. Из этого не следует, что общепризнанного содержания у этой науки вообще нет. Все эти теории считаются частью математики, и я никогда не видел, чтобы математики спорили друг с другом, какая геометрия правильнее, евклидова или Лобачевского. И то же самое с аксиомами теории множеств. Споры на эту тему --- удел дилетантов, не понимающих, о чем речь и способных воспринимать только маргинальные источники. Вы ссылку в этом месте дайте, если настаиваете на такой формулировке. Eozhik (обс.) 23:22, 6 декабря 2018 (UTC)

Об аксиоме выбора

Это заявление абсурдно:

Эта аксиома объявляет существующим множество, о составе которого ничего не известно

Ничего похожего в аксиоме выбора нет. Дайте ссылку на соответствующий маргинальный источник, и его можно будет обсуждать. Или выбросьте эту глупость из статьи. Eozhik (обс.) 23:36, 6 декабря 2018 (UTC)

О "теории множеств как основании математики"

1. Когда говорят об основаниях математики, слово "основание" нигде не произносится в единственном числе. Eozhik (обс.) 23:43, 6 декабря 2018 (UTC)

2. Это

Оппоненты утверждают, что некоторые аксиомы интуитивно не обоснованы и искусственны

--- логично писать в разделе "критика". Сославшись при этом на авторитетные источники и убрав маргинальные. Eozhik (обс.) 23:43, 6 декабря 2018 (UTC)

Опять про "Дальнейшее развитие"

Что за место у Мостовского имел автор в виду этим?

Многие аксиомы (или даже целые аксиоматики) имеют существенно иные альтернативы, у которых равные права на признание, потому что интуитивное предпочтение одного из вариантов невозможно объективно обосновать — вопрос, какая альтернатива «правильная», лишён смысла[77]

Eozhik (обс.) 23:45, 6 декабря 2018 (UTC)

Это мы уже обсуждали:

Практически это означает, что существует не одна математика, а целое бесконечное их семейство, члены которого несовместимы друг с другом — например, та же аксиома выбора и альтернативная ей аксиома детерминированности.

Где ссылка? Eozhik (обс.) 23:54, 6 декабря 2018 (UTC)

Эта мысль, как я вижу, так занимает ваше воображение, что избавиться от нее никак не получается, хочется ее в любом виде протолкнуть:

Поскольку разные варианты математики нередко содержат разные результаты, математика не может более рассматриваться как источник абсолютных истин, справедливых независимо от формальных оснований математической теории.

Это про многие науки можно сказать, например про физику тоже. Вы не хотите и в статью про нее такое вставить? И где ссылка? Eozhik (обс.) 23:54, 6 декабря 2018 (UTC)

Правки 08/12/2018

Дорогие опытные участники! В соответствии со сказанным на странице обсуждения я внес правки более двух недель назад. Вы не хотите продемонстрировать, наконец, свою опытность (как раньше вы демонстрировали свою заинтересованность) и отреагировать на это?

Текущая версия страницы пока не проверялась опытными участниками и может значительно отличаться от версии, проверенной 4 декабря 2018; проверки требуют 4 правки.

Eozhik (обс.) 11:10, 25 декабря 2018 (UTC)

О "втором кризисе"

Этого нет в приводимом источнике:

Крупнейшие математики этого периода — Ньютон, Лейбниц, Эйлер, Лагранж и другие — пытались дать строгое определение понятию «бесконечно малое», но ни одно из этих определений не было общепризнано как убедительное.

Eozhik (обс.) 07:19, 26 декабря 2018 (UTC)

Витгенштейн

Если статья будет дорабатываться, неплохо было бы добавить позиции Витгенштейна (с работ 1930-х гг, начало "позднего" Витгенштейна, и далее). Как минимум, его имя должно быть упомянуто, да и развернуть можно. См., напр., популярное изложение: Шмитц Ф. Витгенштейн. М., 2019. С. 221-233, а также (обобщенно) с. 242-247. Гав-Гав2010 (обс.) 10:30, 18 июля 2019 (UTC)

Запросы источников

• Состояние анализа в конце XVII — начале XIX века многие историки называют «вторым кризисом оснований математики». Крупнейшие математики этого периода — Ньютон, Лейбниц, Эйлер, Лагранж и другие — пытались дать строгое определение понятию «бесконечно малое», но ни одно из этих определений не было общепризнано как убедительное[17][нет в источнике]сноска 17 (Плиско В. Е., Хаханян В. Х. Интуиционистская логика. — Стр. 10) подтверждает лишь первое предложение.
  Последующий текст какбы не противоречит тексту источника, но, например, не содержит фамилий. А страница 11 источника содержит лишь фамилии Ньютона и Лейбница из перечисленных.
  Зануда 05:14, 31 июля 2019 (UTC)
  • Я вставил сноску на ещё один источник — книгу Панова. Собственно, источников много — Юшкевич, Никифоровский и др. LGB (обс.) 16:51, 2 августа 2019 (UTC)
    • @LGB: где точно Панов или еще кто-нибудь говорит это:

      Крупнейшие математики этого периода — Ньютон, Лейбниц, Эйлер, Лагранж и другие — пытались дать строгое определение понятию «бесконечно малое», но ни одно из этих определений не было общепризнано как убедительное

       ? Eozhik (обс.) 21:32, 3 октября 2019 (UTC)

• Математика, кроме самых древних её разделов, не имеет непосредственной связи с практикой — в природе нет, скажем, аналогов разложения целого числа на простые множители или перехода к пределу.[источник не указан 216 дней]
  Ближайшими по тексту являются сноски 7( Яшин Б. Л., 2012, с. 49—50.) и 8(Янов Ю. И. Математика, метаматематика и истина.).
  Янов не содержит понятий разложения целого числа на простые множители или перехода к пределу.
  Яшин на страницах 49-50 — тоже.
  Зануда 05:21, 31 июля 2019 (UTC)

Проверка двух отмеченных запросами источников мест выявляет актуальность запросов.--Зануда 05:22, 31 июля 2019 (UTC)

• • Согласно ВП:АИ, очевидные факты не нуждаются в подтверждении источниками. Или вы считаете, что в природе есть аналог факторизации числа на простые множители? LGB (обс.) 16:51, 2 августа 2019 (UTC)
    • Коллега, я не считаю.
      Но то, что тривиально для меня или вас, не обязательно тривиально для всех.
      Предлагаю уточнить у сообщества, является это тривиальным фактом или нет.
      Зануда 17:47, 2 августа 2019 (UTC)
      • Обсуждение на общем форуме показало, что это утверждение не является тривиальным общепризнанным фактом. И я с этим согласен. Первая часть предложения неверна: современная математика имеет непосредственную связь с практикой. А смысл второй части непонятен. Поэтому я убрал эту фразу. — Алексей Копылов 01:50, 16 августа 2019 (UTC)

Последние правки LGB

Как я вижу, летом участником LGB были внесены правки. Вот мои замечания на этот счет. Eozhik (обс.) 05:32, 2 октября 2019 (UTC)

Организационная и этическая сторона вопроса

Для начала извещаю, что я вынес обсуждение данного конфликта на форум проекта Математика, поскольку практика показывает, что договориться нам с вами мало реально — вы признаёте только своё мнение, не утруждая себя никакими АИ. Согласно правилам ВП:РК и ВП:ВОЙ, статья фиксируется в доконфликтном состоянии вплоть до достижения консенсуса или заключения независимого арбитра. Любая неконсенсусная правка в период обсуждения расценивается как начало/продолжение войны правок со всеми вытекающими последствиями. LGB (обс.) 16:21, 3 октября 2019 (UTC)

• @LGB: вот это ложь:

  вы признаёте только своё мнение, не утруждая себя никакими АИ

  Я приводил разные авторитетные источники, в частности, книги Ершова и Палютина, Эббингауза, Флюма и Томаса и разные другие источники, включая словари, энциклопедии и рецензии, можно поглядеть, например, тут и тут. Говорить неправду, LGB, нехорошо. Eozhik (обс.) 17:40, 3 октября 2019 (UTC)

• @LGB: Вы если такой знаток правил, объясните заодно, каким образом эта проблема разрешится, если независимый арбитр так и не появится (как это было с моей критикой обсуждаемого предыдущие 9 месяцев). Eozhik (обс.) 19:45, 3 октября 2019 (UTC)

• • Поскольку я для вас не АИ и вообще обманщик, лучше почитайте правило ВП:РК. Там вся мудрость. LGB (обс.) 17:31, 5 октября 2019 (UTC)

Что такое "основания математики"?

1. Этот фрагмент выглядит несерьезно:

Как отметил академик А. Н. Колмогоров, обоснование математики «привлекло в XIX в. усиленное внимание к вопросам её исходных положений (аксиом), построения строгой системы определений и доказательств, а также критическому рассмотрения логических приёмов, употребляемых при этих доказательствах». Таким образом, А. Н. Колмогоров выделяет в основаниях математической теории три компонента.

1. Система определений, то есть первичные математические объекты, не определяемые через другие математические объекты.
2. Перечень свойств первичных объектов в виде списка аксиом, считающихся истинными.
3. Набор логических средств вывода, позволяющий получать из истинных утверждений новые, столь же истинные.

Во-первых, в преамбуле эта цитата из Колмогорова смотрится притянутой за уши. Во-вторых, между написанным Колмогоровым и этим

Таким образом, А. Н. Колмогоров выделяет в основаниях математической теории три компонента.

1. Система определений, то есть первичные математические объекты, не определяемые через другие математические объекты.
2. Перечень свойств первичных объектов в виде списка аксиом, считающихся истинными.
3. Набор логических средств вывода, позволяющий получать из истинных утверждений новые, столь же истинные.

— имеется разница, и делать такой вывод, какой делает LGB, нелепо. А в-третьих, приводимая ссылка на с.127 учебника Эдельмана —вообще введение читателя в заблуждение, потому что у Эдельмана там написано совсем не то, что пишет LGB. А вот что:

Предварительно еще раз отметим, что всякая синтаксическая теория характеризуется: 1) алфавитом, т.е. множеством символов, используемых для построения формул теории; 2) системой аксиом, т. е. некоторым множеством формул, называемых аксиомами; 3) правилами вывода, позволяющими из одних формул получать другие формулы рассматриваемой синтаксической теории.

Я уже писал об этом тут:

Эдельман на странице 127, на которую Вы ссылаетесь, говорит не об основаниях математики, как Вы тут пишете, а о синтаксических теориях, и вдобавок пишет о них совсем не то, что Вы. А вот что:

Предварительно еще раз отметим, что всякая синтаксическая теория характеризуется: 1) алфавитом, т.е. множеством символов, используемых для построения формул теории; 2) системой аксиом, т. е. некоторым множеством формул, называемых аксиомами; 3) правилами вывода, позволяющими из одних формул получать другие формулы рассматриваемой синтаксической теории.

У Вас же в голове это преобразовалось в такое:

Основания математики включают в себя три компонента. 1. Первичные математические объекты максимальной общности (не определяемые через другие математические объекты). 2. Перечень свойств первичных объектов в виде списка аксиом, считающихся истинными. 3. Набор логических средств вывода, позволяющий получать из истинных утверждений другие, столь же истинные.

Вы не хотите это прокомментировать?

LGB, вместо того, чтобы обсудить мою претензию или хотя бы поправить текст, просто вернул его назад с таким видом, как будто никаких претензий не было. Это не называется честность. Это совсем по-другому называется. Eozhik (обс.) 05:32, 2 октября 2019 (UTC)

В начале любой математической статьи полагается привести определение тематических понятий. Приведенная в статье цитата из Колмогорова, на мой взгляд, достаточно ясно показывает, что именно академик понимал под термином «основания математики»: определения (понятий), аксиомы и логические, как он выразился, приёмы. Именно это я дальше и написал. Если вы полагаете, что мнение Колмогорова «притянуто за уши», то это всего лишь ваше личное мнение, больше никто из читателей или участников Википедии такого мнения не высказывал. Кстати, за всё время дискуссии вас вообще никто практически ни по какому вопросу не поддержал. Теперь об Эдельмане. Вы пишете: «Эдельман на странице 127... говорит не об основаниях математики, как Вы тут пишете, а о синтаксических теориях». Ну и что? Эдельман под синтаксической теорией понимает, как он ясно указывает, «формализованную аксиоматическую теорию». Вы считаете, что основания математики не формализованы или не аксиоматические? Если вы так не считаете, то фраза Эдельмана относится также и к основаниям математики. Наконец, если у вас имеются конкретные альтернативные предложения, как определить основания математики, выкладывайте, обсудим. LGB (обс.) 16:21, 3 октября 2019 (UTC)

• 1) Насчет Колмогорова. Во-первых, у Вас, LGB, цитата искаженная. В оригинале так:

  Чрезвычайное расширение предмета математики привлекло в 19 в. усиленное внимание к вопросам ее обоснования, то есть критического пересмотра ее исходных положений (аксиом), построения строгой системы определений и доказательств, а также критического рассмотрения логических приемов, употребляемых при этих доказательствах.

  Во-вторых (как видно из этой цитаты), под "обоснованием" Колмогоров понимает не "исходные положения", и тем более не "систему определений, перечень свойств, набор логических средств", и т.д., как пишете Вы, а критический пересмотр всего этого. Разницу нужно объяснять? Eozhik (обс.) 17:40, 3 октября 2019 (UTC)

Неточность цитаты признаю, я набирал её вручную и спутал два близко стоящих слова «её», в результате слова о критическом пересмотре выпали (уже поправил). Это, конечно, грубейшее искажение слов Колмогорова, радикально меняющее их смысл . В действительности мне нужно было в этом месте текста указать источник, раскрывающий состав оснований математики, потому что в определении выше из БСЭ-3 сообщалось только о невнятной «совокупности понятий, концепций и методов». Цитата Колмогорова как раз раскрывает состав оснований математики, что и требовалось. Критический пересмотр ведь касается именно этой триады — понятия, аксиомы, логика, так что её состав академик определил вполне ясно. Или, по-вашему, основания математики устроены иначе? Тогда просветите, как именно, с АИ. LGB (обс.) 15:55, 4 октября 2019 (UTC)

• Так часто бывает, что одно или несколько слов, выброшенных их фразы, меняют смысл. Печально в такой картине обычно, что человек, выбрасывающий их, не понимает, что делает. Просвещайтесь тут. Eozhik (обс.) 04:29, 5 октября 2019 (UTC)
• Из смайлика следует делать вывод, что вы на самом деле не считаете, что смысл был искажён? Мне разница кажется существенной. И перед началом цитаты у вас всё ещё стоит «обснование математики», а не «чрезвычайное расширение предмета математики». То, что цитата Колмогорова раскрывает состав оснований стоит обсудить отдельно, потому что основаниями математики он это не называет. adamant (обс./вклад) 07:13, 5 октября 2019 (UTC)

Adamant уже расширил цитату, хотя для целей статьи это несущественно. Почитайте Колмогорова дальше (стр. 34): «Дальнейшее углубление исследований по основаниям математики сосредоточивается на преодолении логич. трудностей, возникших в общей теории множеств». Под обоснованием, как очевидно из текста, Колмогоров понимал именно построение оснований математики, и он аргументирует использование в этом качестве аксиом теории множеств. Упомянутую триаду (понятия—аксиомы— логика) он в разных выражениях упоминает несколько раз. LGB (обс.) 17:31, 5 октября 2019 (UTC)

• 2) Насчет Эдельмана:

  Вы пишете: «Эдельман на странице 127... говорит не об основаниях математики, как Вы тут пишете, а о синтаксических теориях». Ну и что? Эдельман под синтаксической теорией понимает, как он ясно указывает, «формализованную аксиоматическую теорию».

  Между основаниями математики и синтаксическими теориями имеется разница. И состоит она в том, что основания математики — не одна какая-то синтаксическая теория, а часть математики, изучающая разные синтаксические теории (которых очень много). Здесь, очевидно, тоже нужно потратить время на понимание. Eozhik (обс.) 17:40, 3 октября 2019 (UTC)

Приведите АИ, подтверждающее вашу точку зрения. LGB (обс.) 15:55, 4 октября 2019 (UTC)

• Я объяснил это тут и тут:

  Между основаниями математики и синтаксическими теориями имеется разница. И состоит она в том, что основания математики — не одна какая-то синтаксическая теория, а часть математики, изучающая разные синтаксические теории (которых очень много). Здесь, очевидно, тоже нужно потратить время на понимание. Eozhik (обс.) 17:40, 3 октября 2019 (UTC)

  Синтаксических теорий, как их называет Эдельман (определение на с.115), или формальных теорий, как их называют другие математики, или теорий 1 порядка (учебник Мендельсона, с.65), в математике много, например, теории множеств ZFC, NBG, MK, арифметика Пеано PA, и другие разные теории множеств, арифметики, алгебраические теории и много всего еще. Все они — часть математической логики, которая в свою очередь считается частью оснований математики. Делать вид, что существует какая-то одна универсальная теория, лежащая в фундаменте всей математики, которую прямо так и называют, "основания математики", как это делает LGB, — обман читателя. Сейчас понятно? Eozhik (обс.) 04:05, 5 октября 2019 (UTC)

  Eozhik (обс.) 04:20, 5 октября 2019 (UTC)
• Это сейчас написано в первом предложении преамбулы. И да, думаю, я теперь понял, в чём заключается претензия Eozhik. Действительно, математика — это не какая-то «теория всего», а совокупность разрозненных и иногда несовместных теорий, это бесспорный факт. А из приведённого абзаца можно сделать вывод, что какая-то единая, объединяющая все остальные, теория есть, что спорно. adamant (обс./вклад) 07:19, 5 октября 2019 (UTC)

• Это не спорно, а ложно. Eozhik (обс.) 07:32, 5 октября 2019 (UTC)
  • Давайте сойдёмся на том, что это ошибочно. Обвинения во лжи (то есть, сознательном искажение истины с целью ввести в заблуждение) здесь не приветствуются и могут вести к блокировкам (прецеденты есть), так как нарушают ВП:ПДН и ВП:ЭП/ТИП (независимо от того, справедливы эти обвинения или нет). adamant (обс./вклад) 07:48, 5 октября 2019 (UTC)
    • Я здесь руководствуюсь математическими (и общечеловеческими) критериями (они мне дороже): бывают истинные утверждения, и бывают ложные. Ложность этого утверждения проверить легко: нужно просто потребовать от автора привести ссылку на эту саму единую математическую теорию. Eozhik (обс.) 07:57, 5 октября 2019 (UTC)

• Минуточку, там же и написано сейчас «выделяет в основаниях математической теории», а не «выделяет в основаниях математики». А о чём тут речь тогда вообще?.. Вроде то, что это верно для любой одной отдельно взятой математической теории мы уже выяснили. adamant (обс./вклад) 07:25, 5 октября 2019 (UTC)

• Что непонятно, Adamant? (И почему Ваш ник не пингуется?) Вот это

  Таким образом, А. Н. Колмогоров выделяет в основаниях математической теории три компонента. 1) Система определений, то есть первичные математические объекты, не определяемые через другие математические объекты. 2) Перечень свойств первичных объектов в виде списка аксиом, считающихся истинными. 3) Набор логических средств вывода, позволяющий получать из истинных утверждений новые, столь же истинные.

  — говорит не Колмогоров. А LGB, который (ссылаясь на Колмогорова) искаженно пересказывает Эдельмана, который, в свою очередь, говорит не о математической теории вообще, а о синтаксической теории (она же формальная теория, она же теория 1 порядка). А Колмогоров говорит не о математической теории (и тем более не о синтаксической теории), а о математике. Речь идет о том, что путать все это в одну кучу, делая вид, что это одно и то же, и перевирая Колмогорова и Эдельмана, неприлично. Eozhik (обс.) 07:45, 5 октября 2019 (UTC)
  • В каком смысле не пингуется? Он красный потому что я не создал страницу участника. И мой ник Adamant.pwn, а не Adamant, это можно обнаружить по ссылкам на мои СО и вклад. Хорошо, да, я согласен, что будет лучше эти два фрагмента разделить и в перечислении пунктов чётко обозначить, что речь идёт не об основаниях математики, а о формальных теориях, которые они изучают. И ссылаться на мораль не стоит. К сожалению или к счастью, в правила википедии относительно содержания статей она не включена. И я уверен, что у LGB нет цели ввести кого-то в заблужение, так что вопрос нужно решать поспокойнее. adamant (обс./вклад) 07:57, 5 октября 2019 (UTC)

• Это

  И ссылаться на мораль не стоит. К сожалению или к счастью, в правила википедии относительно содержания статей она не включена.

  — не освобождает присутствующих от моральной ответственности перед другими. Я не понял, если написать так — Adamant.pwn — Вы это увидите? Eozhik (обс.) 08:03, 5 октября 2019 (UTC)
  • Да, увижу. Если вам так дорога тема морали — давайте поступим так. Я прошу вас воздержаться от любых комментариев и намёков о морально-этических качествах кого-либо, как минимум, до окончания дискуссии. Пожалуйста. Такие комментарии мешают конструктивному диалогу и уводят его в сторону, имеющую очень мало общего с содержательной частью вопроса. На странице обсуждения проекта ранее вы обещали попробовать, если я правильно понял ваши слова. И философию я не изучал, но всё же надеюсь, что мораль предписывает быть отзывчивым на просьбы других людей. adamant (обс./вклад) 08:16, 5 октября 2019 (UTC)

• Adamant.pwn, можете мне поверить, я и так сдерживаюсь. Как и на той странице, я готов пообещать Вам молчать об этих материях здесь до выяснения существа дела. По крайней мере, если меня не будут провоцировать чем-нибудь вопиющим. Eozhik (обс.) 08:33, 5 октября 2019 (UTC)
  • Спасибо. adamant (обс./вклад) 08:38, 5 октября 2019 (UTC)

Я призвал: Приведите АИ, подтверждающее вашу точку зрения. Что в результате? Eozhik сослался на свои собственные рассуждения. И это участник с шестилетним стажем в Википедии — до сих пор не понял, что аргументом в дискуссии является ТОЛЬКО ссылка на АИ. LGB (обс.) 17:31, 5 октября 2019 (UTC)

• Adamant.pwn, Вы взяли с меня обещание сдерживаться до выяснения существа дела. Я полагаю, взамен Вы могли бы взять на себя обязательство объяснять LGB то, что ему остается непонятно после моих объяснений. Eozhik (обс.) 19:52, 7 октября 2019 (UTC)
  • Я и так стараюсь это делать. По крайней мере, там, где оставались вопросы я отписался, если что упустил — так это только из-за того, что обсуждение разраслось не в меру и за всем уследить трудно. Если говорить о высказанной здесь просьбе привести АИ на то, что из различных аксиом выходят различные теории — я попробовал привести их чуть ниже. adamant (обс./вклад) 21:08, 7 октября 2019 (UTC)

• 3) Это:

  Вы считаете, что основания математики не формализованы или не аксиоматические?

  — ни к предыдущему, ни к тому, что я когда-нибудь где-нибудь говорил никакого отношения не имеет. Смысл, видимо, нужно попросить кого-нибудь третьего объяснить. Eozhik (обс.) 17:40, 3 октября 2019 (UTC)

• 4) Это

  Наконец, если у вас имеются конкретные альтернативные предложения, как определить основания математики, выкладывайте, обсудим.

  — тоже сейчас к делу отношения не имеет, потому что я в этой теме говорил не о том, как правильно определить основания математики, а о том, что в преамбуле написаны глупости, и о части из них я уже писал очень давно. Если Вам ни с того, ни с сего стало интересно мое мнение как определить, то определения из Британники для меня вполне достаточно. Eozhik (обс.) 17:40, 3 октября 2019 (UTC)

Определение в Britannica ничем не лучше приведенного в преамбуле определения из БСЭ-3. Оно не годится для статьи, потому что ниже в статье многократно упоминаются члены триады (всё те же понятия, аксиомы, логика), и необходимо как-то связать их с основаниями математики, а не вытаскивать как кролика из шляпы. LGB (обс.) 15:55, 4 октября 2019 (UTC)

• Вы, LGB, прежде чем критиковать Британнику и БСЭ, поймите, о чем речь. Между основаниями математики и триадой, о которой Вы говорите, имеется разница. Eozhik (обс.) 04:33, 5 октября 2019 (UTC)

Вы сказали: «основания математики — не одна какая-то синтаксическая теория, а часть математики, изучающая разные синтаксические теории (которых очень много)». На какое АИ вы опирались и как это согласуется с определением БСЭ: «Основания математики есть совокупность понятий, концепций и методов, с помощью которых строятся различные разделы математики»? И чем это противоречит данному в данной статье определению, где упоминается «набор логических средств»? LGB (обс.) 17:31, 5 октября 2019 (UTC)

• 5) А это

  Кстати, за всё время дискуссии вас вообще никто практически ни по какому вопросу не поддержал.

  — уход от реальности. Eozhik (обс.) 21:51, 3 октября 2019 (UTC)

В конце текущего обсуждения есть реплики, из которых видно, как он вас поддержал. Впрочем, это отдельная тема. LGB (обс.) 17:31, 5 октября 2019 (UTC)

Что такое "содержание математики"?

2. То же самое с этим:

Общепризнанных оснований математики не существует, и «проблема обоснования математики всё еще остаётся далёкой от своего решения». Более того, нет общепризнанного содержания математики — как оказалось, такие фундаментальные утверждения, как аксиома выбора или континуум-гипотеза, недоказуемы и не имеют убедительного интуитивного обоснования, поэтому принятие или непринятие их, а также их многочисленных следствий, зависит только от личного мнения математика.

Я об этом писал тут. И вот что:

Насчет этого:

Общепризнанных оснований математики не существует, и «проблема обоснования математики всё еще остаётся далёкой от своего решения»[5].

1. Это звучит абсурдно. Как если бы человек заявил, что общепризнанной медицины не существует, потому что у каждого врача имеется свое мнение о том, как лучше лечить больных. 2. Странного в этом ничего нет, потому что автор -- не математик. Цитируемое его сочинение не может быть авторитетным источником в этой области.

Eozhik (обс.) 23:22, 6 декабря 2018 (UTC)

Переход по указанной вами ссылке даёт непонятно что, так что остаётся только догадываться, что вы имели в виду Клайна и Панова. Я в курсе, что вы их не уважаете и считаете их мнения «абсурдом», но в Википедии принято такие вопросы решать не ссылкой на непогрешимого Eozhik'а, а на обсуждении ВП:КОИ. Если там призна́ют Клайна и Панова не-АИ, вопрос будет закрыт. Пока это не сделано, ни ваше личное мнение, ни собранные вами тенденциозные коллекции мнений незначимы. LGB (обс.) 16:21, 3 октября 2019 (UTC)

• Здесь, LGB, речь не о Панове и Клайне (с фамилиями тоже проблема?), а о В.Я.Перминове, на которого в статье дается ссылка в связи вот этими заявлениями:

  Общепризнанных оснований математики не существует, и «проблема обоснования математики всё еще остаётся далёкой от своего решения». Более того, нет общепризнанного содержания математики

  На сайте РАН mathnet.ru, где регистрируются все математики, пишущие на русском языке, математика В.Я.Перминова нет (именно для этого я дал Вам эту ссылку), но независимо от этого, на странице 11 его сочинения, на которую идет ссылка, нет ничего ни про "отсутствие общепризнанных оснований математики", ни про отсутствие "общепризнанного содержания математики". Более того, в этом сочинении слово "общепризнанный" и его производные вообще отсутствуют. Прежде, чем нам писать в ВП:КОИ, Вы потрудитесь уж привести точные ссылки, откуда Вы эти скандальные заявления взяли. Eozhik (обс.) 19:09, 3 октября 2019 (UTC)

«Перминов Василий Яковлевич. Окончил физ.-матем. ф-т Кировского пед. ин-та (1960)... С 1968 работает на кафедре филос. естеств. ф-тов МГУ: доц. с 1976, проф. с 1990. П.- Заслуженный проф. МГУ.» Если он вам не нравится, опять же выходите на ВП:КОИ. Про отсутствие общепризнанного содержания математики я вам ниже уже подробно объяснил, вы ничего по существу не возразили. LGB (обс.) 15:55, 4 октября 2019 (UTC)

• Это

  на странице 11 его сочинения, на которую идет ссылка, нет ничего ни про "отсутствие общепризнанных оснований математики", ни про отсутствие "общепризнанного содержания математики". Более того, в этом сочинении слово "общепризнанный" и его производные вообще отсутствуют. Прежде, чем нам писать в ВП:КОИ, Вы потрудитесь уж привести точные ссылки, откуда Вы эти скандальные заявления взяли.

  — нужно несколько раз повторять? Eozhik (обс.) 04:37, 5 октября 2019 (UTC)

Перминов говорит, что «проблема обоснования математики всё еще остаётся далёкой от своего решения». Это и означает, что общепризнанных оснований математики не существует, потому что если бы они существовали, то никакой проблемы бы не было. Про отсутствие общепризнанного содержания математики я вам уже дважды подробно разъяснил, со ссылками на Кановея, но, видимо, вы понимаете только собственную логику. Можно сослаться и на мнение Клайна «существует не одна, а много математик» (стр. 313), но вы Клайна, в отличие от меня, за АИ не признаёте. Что ж, выходите на ВП:КОИ, добейтесь итога, и я удалю все ссылки на Клайна. LGB (обс.) 17:31, 5 октября 2019 (UTC)

• Это и означает, что общепризнанных оснований математики не существует, потому что если бы они существовали, то никакой проблемы бы не было

  Это ваш личный вывод? В данном случае я бы не брался самостоятельно делать подобные умозаключения. На самом деле, я бы и к оригинальному высказыванию относился с опаской, потому что этот человек — философ, а не профессиональный математик. Но для начала давайте разберёмся с выводами из его высказываний. adamant (обс./вклад) 18:51, 5 октября 2019 (UTC)

Продолжение:

Это из той же серии:

Более того, нет общепризнанного содержания математики — такие фундаментальные утверждения, как аксиома выбора или континуум-гипотеза, недоказуемы и не имеют убедительного интуитивного обоснования, поэтому принятие или непринятие их, а также их многочисленных следствий, зависит только от личного мнения математика.

Существует много разных математических теорий. Нет ничего ненормального, что они по-разному описывают картину мира. Например, евклидова геометрия -- не то же что геометрия Лобачевского. Или физические теории. Из этого не следует, что общепризнанного содержания у этой науки вообще нет. Все эти теории считаются частью математики, и я никогда не видел, чтобы математики спорили друг с другом, какая геометрия правильнее, евклидова или Лобачевского. И то же самое с аксиомами теории множеств. Споры на эту тему --- удел дилетантов, не понимающих, о чем речь и способных воспринимать только маргинальные источники. Вы ссылку в этом месте дайте, если настаиваете на такой формулировке. Eozhik (обс.) 23:22, 6 декабря 2018 (UTC)

Как и в предыдущем случае, LGB, вместо того, чтобы обсудить и/или поправить текст, просто вернул все назад. Eozhik (обс.) 23:22, 6 декабря 2018 (UTC)

Тут можно обсудить формулировку, возможно, она слишком заострённая, но имелось в виду, что часть оснований математики (не аксиом разделов математики вроде пятого постулата, а именно оснований всей математики) не имеет убедительного интуитивного обоснования и поэтому допускает неоднозначную комплектацию, которая существенно меняет ВСЕ зависящие от них теории. Пример: если принять аксиому вывода, то существуют неизмеримые по Лебегу множества вещественных чисел, если же ослабить её до счётной аксиомы выбора или принять альтернативную аксиому детерминированности, то все вещественные множества измеримы по Лебегу. Это не просто, как вы написали, разные варианты теорий единой математики, это нечто большее. Умолчать об этом энциклопедическая статья не имеет права. LGB (обс.) 16:21, 3 октября 2019 (UTC)

• Вы, LGB, авторитетные источники сначала найдите, а потом уж будете обсуждать формулировки (и тем более неприлично писать эти Ваши формулировки в статье, не обсуждая, и даже не обращая внимание на претензии). Eozhik (обс.) 17:40, 3 октября 2019 (UTC)

АИ я уже указывал — книга Кановея. Там всё подробно расписано — что меняется в математике, если заменить AC на $\mathbf {AC} _{\omega }.$ или AD. Ещё раз подчеркну, если вы не поняли — меняется содержание одной и той же теории, а именно теории меры Лебега. LGB (обс.) 15:55, 4 октября 2019 (UTC)

• Это Вы не поняли, LGB. Когда меняешь аксиомы теории, или логические правила вывода, или еще какие-то детали в определениях, получается другая теория. Не та же самая. Вам надо к этой мысли привыкнуть. И про "общепризнанное содержание математики" тоже ссылку найти, чтобы такое писать в Википедии:

  Более того, нет общепризнанного содержания математики — такие фундаментальные утверждения, как аксиома выбора или континуум-гипотеза, недоказуемы и не имеют убедительного интуитивного обоснования, поэтому принятие или непринятие их, а также их многочисленных следствий, зависит только от личного мнения математика.

  Eozhik (обс.) 04:46, 5 октября 2019 (UTC)

Странные рассуждения. ТО есть, по-вашему, существуют две теории меры Лебега — в одной имеются неизмеримые множества, а в другой их нет и в помине? АИ на эту оригинальную концепцию я уже не прошу, понятно, что их нет и быть не может. В реплике от 3 октября я всё расписал на детсадовском уровне, могу привести прямые цитаты из Кановея о том, что замена аксиомы выбора меняет СОДЕРЖАНИЕ многих теорий. Повторяю — содержание. Какой вариант содержжания вы считаете общепризнанным? LGB (обс.) 17:31, 5 октября 2019 (UTC)

• Ну конечно же, существует две теории меры Лебега. А как иначе, по вашему существует «правильная» теория меры Лебега, в которой вопрос о существовании неизмеримых множеств решён раз и навсегда?

Это базовое утверждение, сомневаться в нём — это как сомневаться в том, что ZF и ZFC — две различные теории множеств. Как обычно, базовые факты в АИ найти сложнее всего, потому что они unpublishably unoriginal, но можно видеть, что про различные варианты теории множеств, когда их сравнивают между собой, часто говорят именно set theories, со словом «теория» во множественном числе:

• A Tale of Two Set Theories,
• A Framework for Formalizing Set Theories Based on the Use of Static Set Terms,
• Comparing material and structural set theories,
• Alternative Axiomatic Set Theories

Надеюсь, данных ссылок будет достаточно и мне не придётся доказывать, что варианты теории меры Лебега тоже могут рассматриваться как различные теории, т.е., во множественном числе.

На счёт смены содержания — из того, что меняется содержание некоторых отдельно взятых теорий не следует, что меняется содержание математики в целом. В некотором смысле по той причине, что «содержание» математики (которое так и не было формально определено) включает в себя все варианты этих теорий. adamant (обс./вклад) 19:17, 5 октября 2019 (UTC)

• Я уже писал об этом на СО проекта здесь. Eozhik прав, речь идёт не о том, что меняется содержание теории, а о том, что получается принципиально другая теория. Продублирую то, что писал на СО проекта: лучше переписать раздел, чтобы упор был не на то, что «интуитивного обоснования нет» (Что вообще имеется в виду под «обоснованием»? С точки зрения изучения абстрактной чепухи обе теории обоснованы, просто они изучают разную чепуху), а на то, что какую бы из альтернативных аксиом мы не выбрали, у каждой будут какие-то контринтуитивные следствия (которые неплохо вкратце описать).
  Умалчивать сам факт никто не предлагает, но это стоит подать в научном стиле. Сейчас в статье написано так, будто существует объективно верный ответ на то, верна ли аксиома выбора, но в рамках аксиоматики этот ответ получить нельзя и математики тыкают наугад. Такой подход неверен, хотя интуитивно он и напрашивается. Описанную ситуацию не зря называют «аксиома выбора не зависит от аксиом» — ни её принятие, ни принятие её отрицания не сделает теорию противоречивой. adamant (обс./вклад) 06:50, 5 октября 2019 (UTC)

И что же делать?

И в этой картине главное, что поражает — что написанному сразу же присвоен статус "стабильная версия".

Можно, я не буду это комментировать? LGB (обс.) 16:21, 3 октября 2019 (UTC)

• Можно. У Вас, LGB, достаточно работы. Eozhik (обс.) 19:55, 3 октября 2019 (UTC)

• А я прокомментирую. Присвоение статуса «стабильная версия» происходит автоматически когда её редактирует участник с флагом ВП:АПАТ или ВП:ПАТ если она уже была стабильной. adamant (обс./вклад) 06:57, 5 октября 2019 (UTC)

• Adamant.pwn, это только переформулирует вопрос: как получилось, что участник, пишущий такое, имеет такие права? Eozhik (обс.) 09:09, 5 октября 2019 (UTC)
  • Это стандартный набор прав, который есть у большинства активных участников (даже у меня они есть). В случае с LGB, флаги были проставлены 10 лет назад по инициативе администраторов.
    P.S., меня не нужно активно пинговать, я слежу за этой страницей. adamant (обс./вклад) 09:26, 5 октября 2019 (UTC)

У меня в связи с этим такое предложение: поскольку моя критика 9-месячной давности в большей своей части осталась в силе, я думаю, будет логично дать мне возможность самому поправить текст, убрав из него отмеченные мной глупости. Если у кого-то есть на этот счет возражения, ему логично высказаться тут. Eozhik (обс.) 05:32, 2 октября 2019 (UTC)

• Ваши замечания остаются необработанными столь длительное время, потому что с ними трудно работать из-за некоторых аспектов их формулировок, о которых я уже говорил. Я собираюсь рассмотреть и прокомментировать их в ближайший месяц (это не обязательство, а лишь информация о планах). — Браунинг (обс.) 07:23, 2 октября 2019 (UTC)

@colt_browning: а с отмеченным мною сейчас что Вы предлагаете делать? Eozhik (обс.) 07:26, 2 октября 2019 (UTC)

То же самое — ждать. Меня можно не пинговать, я слежу за этой страницей. — Браунинг (обс.) 07:29, 2 октября 2019 (UTC)

А что это за аспекты, о которых Вы говорили? Eozhik (обс.) 07:31, 2 октября 2019 (UTC)

ВП:ЭП. "Расчистка этих конюшен", "у вас в голове это преобразовалось", "Споры на эту тему --- удел дилетантов, не понимающих, о чем речь и способных воспринимать только маргинальные источники", теперь ещё "глупости", "нелепо". Это не "церемонии" -- это именно что сильно мешает читать ваши реплики. (Только не надо, пожалуйста, снова вспоминать обсуждение пятилетней давности, которое не имеет к этой статье никакого отношения.) — Браунинг (обс.) 07:41, 2 октября 2019 (UTC)

• Браунинг, Вы можете не концентрироваться на этих выражениях, к существу дела они отношения не имеют. Форма не должна заслонять содержание, сосредоточьтесь на нем. Про ВП:ЭП тоже можно думать, но в первую очередь исходя из интересов потребителя: правильно ли продолжать обманывать читателя, или лучше убрать из текста этот обман? Eozhik (обс.) 07:50, 2 октября 2019 (UTC)

@colt_browning: (пингую, потому что ответа нет) ну Вы бы по существу все-таки высказались, проблема-то остается. Или Вы считаете, что внутренние правила Википедии (как Вы их понимаете) ее отменяют? Eozhik (обс.) 09:31, 2 октября 2019 (UTC)

Я ведь уже сказал — потом посмотрю, сейчас предлагаю ничего не делать. — Браунинг (обс.) 10:40, 2 октября 2019 (UTC)

И ждать Вы предлагаете месяц, причем без обязательств, что найдете время? Не многовато? И если времени не найдется, то что тогда? Eozhik (обс.) 17:49, 2 октября 2019 (UTC)

@colt_browning: Ваше предложение несерьезно. Если в Википедии не изменились правила, не введен статус хозяина статьи, и Вам этот статус не присвоен, то я предлагаю другое. Я подожду для приличия несколько дней, и если ничего конструктивного никто не предложит, я все-таки поправлю текст, как описывал выше. А Вы можете потом добавлять полезную информацию при наличии необходимых источников. Eozhik (обс.) 06:07, 3 октября 2019 (UTC)

В этом случае мои действия будут точно такими же -- я разберусь с Вашими правками в течение октября, вероятно. До этого ни отменять, ни отмечать проверенным их не буду. За других участников ничего сказать не могу. Браунинг (обс.) 07:03, 3 октября 2019 (UTC)

• Я привёл некоторые комментарии на странице обсуждения Проект:Математика. adamant (обс./вклад) 08:36, 4 октября 2019 (UTC)

Примечания

Качество преамбулы

К сожалению, прочесть обсуждение выше я не осилил, потому что ничего не понятно и переходы на личности, но позволю себе несколько замечаний:
1) Первое предложение — копивио из БСЭ;
2) Утверждений с атрибуцией в преамбуле желательно избегать, во втором предложении точно нельзя — либо написать по Колмогорову как факт, либо убрать совсем;
3) Использование философов Перминова и Сухотина выглядит странно.
4) И вообще преамбулу писать только по русскоязычным источникам странно.
5) И ещё преамбула страдает от попыток придать ей законченный вид — скажем, Перминов выглядит как попытка заделать дырку с АИ на утверждение, что общепринятых оснований нет, но нужно ли такое утверждение (и верно ли это вообще, что теория множеств не является относительно общепринятым основанием)?
6) Вместо конкретных чётких деталей (например, как в преамбуле в Британнике — Лобачевский, Кантор, все дела) — написано про «новые, строго формализованные системы, различающиеся своим философским подходом и пониманием сущности математического знания», что читателю, который не прочёл ещё полстатьи, ничего не скажет.
В общем, преамбулу нужно полностью переписывать. Как её так единодушно избрали с такой преамбулой? По сравнению с преамбулой в, скажем, компексных числах, это просто ужас (хотя написать нормально сложно, не спорю). Викизавр (обс.) 08:38, 5 октября 2019 (UTC)

Готов приветствовать любые конструктивные и полные предложения по преамбуле. LGB (обс.) 17:31, 5 октября 2019 (UTC)

• Она была избрана с другой преамбулой. Здесь обсуждаются относительно свежие правки к ней. adamant (обс./вклад) 08:46, 5 октября 2019 (UTC)

• Та преамбула была еще хуже. Поправлена она была после моей критики, часть которой остается до сих пор проигнорированной. Eozhik (обс.) 08:52, 5 октября 2019 (UTC)
• И я готов это переписать, если больше никто не берется. Eozhik (обс.) 08:54, 5 октября 2019 (UTC)
  • Так как однозначного консенсуса пока не наблюдается, возможно, стоит для начала написать сюда, а не в статью, свою версию преамбулы, чтобы все заинтересованные участники могли её прокомментировать. Но я надеюсь, что речь идёт действительно о «переписать», то есть, переформулировать её более удачно, а не только о «убрать из него отмеченные глупости». adamant (обс./вклад) 09:35, 5 октября 2019 (UTC)

• Adamant.pwn, я хорошо владею русским языком, я написал "переписать", а не "удалить глупости". Правила приличия мне тоже известны. Если эта идея не вызывает ни у кого протеста, мне понадобится некоторое время на сочинение текста. Eozhik (обс.) 09:40, 5 октября 2019 (UTC)
  • Про «убрать глупости» вы писали чуть выше, в начале раздела «И что же делать?», я не просто так эту фразу кавычками обрамил. Я здесь ни в чём обвинить вас не хотел, прошу прощения, если выглядело иначе.
    adamant (обс./вклад) 09:44, 5 октября 2019 (UTC)

• Вот да, написать преамбулу с нуля в черновике — это хорошая идея, только желательно плясать от источников, а не от того, в каком виде её хочется видеть, чтобы не затыкать дыры философами.
  P. S. И очень прошу вас, Eozhik, не надо ни в чём обвинять участника LBG, это играет только против вас — страницы обсуждения созданы для обсуждения статей, действия участников желательно обсуждать в других местах. Викизавр (обс.) 09:50, 5 октября 2019 (UTC)

• Wikisaurus да, интересно, и в каких же местах принято это обсуждать? Насчет источников можете не беспокоиться. Eozhik (обс.) 09:54, 5 октября 2019 (UTC)
  • На ВП:ВУ, например. Но лучше сосредоточиться на содержании статьи, имхо. Викизавр (обс.) 09:57, 5 октября 2019 (UTC)

• Wikisaurus там я пробовал. Безуспешно. В частности, возникший там чрезвычайно интересный для меня вопрос перекочевал на страницу запросов к администраторам, но даже и это не помогло. Он так и остался непроясненным, о чем мы беседовали относительно недавно с Браунингом на моей странице. Это бессилие перед элементарными логическими упражнениями убедило меня, что к здешним правилам нужно относиться спокойнее. А обсуждать такие темы лучше в других местах. Eozhik (обс.) 11:11, 5 октября 2019 (UTC)

Я сочинил проект преамбулы. Выкладываю его здесь с отдельным заголовком. Eozhik (обс.) 06:07, 6 октября 2019 (UTC)

Новый проект преамбулы

Основания математики — система общих для всей математики понятий, концепций и методов, с помощью которых строятся различные ее разделы.

С античности и приблизительно до конца 17 века источником, описывающим основные понятия и методы математики считался трактат Евклида «Начала» (ок. 300 г. до н.э.). В нем геометрия и теория чисел представлялись как единая аксиоматическая система (на уровне строгости того времени), в которой из исходных предположений (постулатов или аксиом) с помощью выделенного набора логических средств выводились следствия о свойствах первичных понятий (точка, прямая, число и т.д.) и конструируемых из них объектов (геометрические фигуры). Несмотря на отмечавшиеся еще в античности пробелы в рассуждениях Евклида, его построения в целом считались приемлемыми для описания всего здания математики, и до Нового времени последовательной критики не вызывали.

Положение стало меняться в конце 17 века с изобретением Исааком Ньютоном и Готфридом Вильгельмом Лейбницем дифференциального и интегрального исчислений, логическое обоснование которых долгое время оставалось непроясненным. Оно было получено лишь в середине 19 века стараниями Огюстена Коши, Карла Вейерштрасса, Бернгарда Римана и других математиков на основе предложенного Коши понятия предела, причем проведенный в связи с этим анализ выявил необходимость более детальной, чем у Евклида, систематизации элементарных свойств чисел.

Одновременно с этим появились свидетельства в пользу необходимости пересмотра другой части евклидовых построений, а именно, конструкций, описывающих геометрические объекты. Открытия Николая Лобачевского и Яноша Больяи показали, что, помимо евклидовой геометрии, опирающейся на, как казалось до этого, наиболее интуитивно очевидные аксиоматические предположения, возможны альтернативные геометрии, выводимые из других аксиом, но с такой же достоверностью способные описывать явления природы.

Возникшее у математиков в связи с этим понимание, что фундамент их науки следует перенести в более глубинные ее области, оперирующие с объектами, более простыми, чем числа и геометрические фигуры (но такими, чтобы все остальные математические объекты можно было с их помощью построить), привело в последней четверти 19 века Георга Кантора к созданию теории множеств, быстро завоевавшей популярность в качестве нового языка математики. Однако обнаруженные в начале 20 века противоречия в теории Кантора спровоцировали кризис в математике, выявив необходимость пересмотра ее оснований.

Предпринятые вслед за этим исследования в этой области привели к уточнению (формализации) понятий «аксиоматическая система» и «доказательство», перестройке на этой основе математической логики, и к построению формальных аксиоматических теорий множеств, признаваемых ныне фундаментом всей математики.

Eozhik (обс.) 06:07, 6 октября 2019 (UTC)

Комментарии

Большая часть написанного позаимствована из статьи в Британнике. Первое предложение, однако, взято не оттуда, а из французской Википедии. Мне оно понравилось краткостью и ясностью. На мой взгляд, оно лаконично описывает сказанное в БСЭ, однако ссылок на источник с именно такой формулировкой я не нашел, поэтому я на ней не настаиваю, и если она не понравится присутствующим, можно вернуться к формулировке БСЭ.

О дальнейшем: этим работа над текстом закончиться не может. Необходимо как минимум

1. Проверить все ссылки и удалить те места, где ссылки не подтверждают написанное (это оставшиеся пометки красным, но не только).
2. Удалить из текста истерические нотки, восходящие к М.Клайну, и с усилением ретранслированные и умноженные LGB.
3. Отредактировать полученное для придания ему божеского вида.

Не исключено, что легче будет просто переписать весь текст от начала до конца. Eozhik (обс.) 06:07, 6 октября 2019 (UTC)

С позволения присутствующих, я еще буду вносить правки в этот набросок. Eozhik (обс.) 06:19, 6 октября 2019 (UTC)

Я причесал этот текст, теперь он, как будто, выглядит сносно. Я думаю, нужна будет цитата, подтверждающая тезис, что аксиоматические теории множеств признаются большинством математиков как фундамент. Пока я такого источника не вижу. В статье Set theory в английской Википедии это и близкие утверждения даются без ссылок:

Set theory is commonly employed as a foundational system for mathematics, particularly in the form of Zermelo–Fraenkel set theory with the axiom of choice.

Set theory as a foundation for mathematical analysis, topology, abstract algebra, and discrete mathematics is likewise uncontroversial; mathematicians accept that (in principle) theorems in these areas can be derived from the relevant definitions and the axioms of set theory.

Я могу инициировать новое разбирательство на mathstackexchange, подобное тому, что было по поводу М.Клайна. Это нервотрепка, но для меня привычная. Начинать ее, или у кого-то и так есть цитаты? Или это вообще не нужно? Eozhik (обс.) 13:19, 6 октября 2019 (UTC)

• То, что теория множеств является фундаментом современной математики, должно быть написано примерно сразу в любой публикации по теории множеств. Например, Хаусдорф пишет:
  

  Бессмертная заслуга Георга Кантора (1845—1918) в том, что он отважился вступить в область бесконечного, не побоявшись ни внутренней, ни внешней борьбы не только с мнимыми парадоксами, широко распространенными предрассудками, приговорами философов (infinitum actu non datur), но и с предубеждением, высказанным многими великими математиками. Этим самым он стал создателем новой науки — теории множеств — науки, которая в настоящее время составляет основу всей математики.

  Это 1937 год, но вряд ли с тех пор что-то кардинально поменялось. adamant (обс./вклад) 15:07, 6 октября 2019 (UTC)

• Adamant, ну вот да, каких-нибудь подобных цитат желательно накидать, и по-возможности посовременнее. Eozhik (обс.) 15:11, 6 октября 2019 (UTC)

• Чуть посовременнее — О теории множеств Вацлава Серпиньского, 1966 год:
  

  Еще в первые годы текущего столетия о теории множеств не было речи даже на математических факультетах университетов. Теория множеств считается основой современного математического анализа, и некоторые сведения из нее обязательны для каждого математика.

  Не совсем наивная теория множеств, (Учебник профессора, докт. физ.-мат. наук Вавилова Николая Александровича. Кафедра высшей алгебры и теории чисел математико-механического факультета СПбГУ.) 2004 год:
  

  Именно система Цермело — Френкеля, ее модификации и разновидности (например, система, изложенная в первом томе трактата «Элементы математики» Никола Бурбаки) или эквивалентная ей для всех практических целей система Геделя — Бернайса лежат в основе подавляющей части современной математики и в течение многих десятилетий вообще не имели сколь-нибудь серьезной альтернативы в качестве основания математики.

  Кстати, этот труд, похоже, вообще должен быть очень полезен для нас, так как излагает ровно то, о чём идёт речь (вроде бы) именно с позиции математика, а не «философов математики». adamant (обс./вклад) 16:02, 6 октября 2019 (UTC)

• Adamant, Хаусдорф и Серпинский к месту, а книжка Вавилова производит впечатление легкомысленной. Некоторые места кажутся странными, например, что он может иметь в виду этим заявлением:

  в теории множеств никогда не было никаких противоречий

  ? Вдобавок я не понял, это опубликовано, или только черновик, выложенный в сети? В общем, я бы поостерегся такое цитировать. Eozhik (обс.) 16:22, 6 октября 2019 (UTC)
  • Увы, похоже, что всё таки лишь черновик :( adamant (обс./вклад) 16:49, 6 октября 2019 (UTC)

• Я нашел цитату у Кюнена, это современный учебник, наверное этого достаточно. Eozhik (обс.) 17:26, 6 октября 2019 (UTC)

Первый абзац: первое предложение легко может быть прочитано неверно ("теория должна быть интересной" -- чем не "принцип"?); второе предложение просто сомнительно. Второй и третий абзацы не смотрел, поскольку за них не особо беспокоюсь. Четвёртый абзац: не так уж и плохо; однако древние источники, говорящие конкретно о ZFC и аналогах, не годятся, поскольку кроме ZFC возможны и категорные основания, как мы уже обсуждали, в частности, можно аксиоматически построить категорию множеств. Это не маргинальный подход, а очень весомый и серьёзный. Кроме того, почти не упомянут вопрос о соответствии оснований математики интуиции, а он очень даже обсуждается и среди философов, и среди математиков, и в статье. К вопросу о нынешней преамбуле обращусь позже, как и планировал. — Браунинг (обс.) 18:19, 6 октября 2019 (UTC)

Браунинг, это Вы о чем? Eozhik (обс.) 18:23, 6 октября 2019 (UTC)

О Вашем варианте преамбулы. — Браунинг (обс.) 18:24, 6 октября 2019 (UTC)

1.

Первый абзац: первое предложение легко может быть прочитано неверно ("теория должна быть интересной" -- чем не "принцип"?)

А определение БСЭ чем в этом смысле лучше?

2. Второе предложение взято из Британники: "Because mathematics has served as a model for rational inquiry in the West and is used extensively in the sciences, foundational studies have far-reaching consequences for the reliability and extensibility of rational thought itself."

3. Вот это:

древние источники, говорящие конкретно о ZFC и аналогах

— мощно сказано. Осторожнее нужно быть, Браунинг. Вы найдите тогда уж источник, в котором бы говорилось, что теория категорий тоже считается фундаментом математики, тогда это можно будет обсуждать. Eozhik (обс.) 18:48, 6 октября 2019 (UTC)

Одну ссылку я уже привёл. Другая давно есть в статье. — Браунинг (обс.) 18:52, 6 октября 2019 (UTC)

А где там написано что теория категорий — фундамент математики? Eozhik (обс.) 18:57, 6 октября 2019 (UTC)

• Сходу — у Вавилова есть такой кусок текста:
  

  В самом понятии множества нет ничего неприкосновенного. Нам необходимо какое-то первичное понятие для организации математической реальности и моделирования математических объектов. Множества являются традиционным и наиболее распространенным, но не единственным возможным инструментом для этого. На самом деле, в качестве основания математики можно было бы взять любое другое понятие, эквивалентное понятию множества по своей выразительной силе.
  …
  Теория множеств не является единственнымым способом мыслить математические объекты и в чисто фактическом плане. Теория категорий является не только реальной альтернативой теоретико-множественному мировоззрению, но и гораздо более общей точкой зрения. Уже сегодня многие алгебраисты и топологи владеют теоретико-категорным языком столь же хорошо, как — или лучше, чем теоретико-множественным.

  Пусть это и черновик и «легкомысленный» труд, но всё же совсем завираться он вряд ли станет (имхо), так что в других источниках этому, скорее всего, подтверждение найдётся. adamant (обс./вклад) 19:08, 6 октября 2019 (UTC)

• Ну вот, надо их найти, и тогда это будет серьезный разговор. Eozhik (обс.) 19:12, 6 октября 2019 (UTC)
  • В английской вики написано «It may also be used as an axiomatic foundation for mathematics, as an alternative to set theory and other proposed foundations», но без сноски. Ещё есть соответствующее обсуждение на mathoverflow, но я затрудняюсь понять, к чему там пришли. Ещё есть какие-то опубликованные труды, которые рассматривают этот вопрос и пытаются что-то построить: [5], [6], [7], [8].
    В целом видно, что есть определённые группы людей, которые очень активно интересуются этим вопросом: [9], [10], [11]. Но кажется, что этим всем, по большей части, занимаются «философы математики» и мне сложно оценить, насколько всерьёз их надо воспринимать. Компетенции или сил, чтобы рыть через тонны публикаций на эту тему у меня нет, могу лишь сказать, что беглый поиск показывает, что вопрос действительно много кого интересует и строить математику с теорией категорий у оснований кто-то пытается. Оценить, насколько успешно это сейчас происходит, я не могу. adamant (обс./вклад) 20:51, 6 октября 2019 (UTC)

• Из того, что я успел понять об этой деятельности, у меня осталось впечатление, что они пока только построили теории 1 порядка, которые просто обобщают какие-то аксиоматические теории множеств. Чтобы это превратилось в картину, заменяющую все теоретико-множественные конструкции в математике — я об этом не слыхал, и вряд ли они к этому подобрались. Что получаемые результаты лучше, чем то, что дают аксиоматические теории множеств — тоже сомнительно, потому что сами их теории сложнее, чем теория множеств. Я не вижу, что это что-то упрощает, или делает интуитивно понятнее. Если найдутся источники, где явно будет прописано, что построена теория категорий, которую можно считать фундаментом математики — это можно в преамбуле упомянуть, но вряд ли это так. Сообщить об исследованиях в этом направлении внутри статьи — другое дело. Eozhik (обс.) 21:08, 6 октября 2019 (UTC)

Можно определить основания математики как систему математических теорий, из которых каждая, имея достаточно простое описание, предлагает набор инструментов для построения всех остальных конструкций математики (за исключением тех, которые эта теория считает "несущественными", и это должно быть что-то пренебрежимо малое по сравнению со всей остальной математикой). Но наверное это будет оригинальное исследование. Eozhik (обс.) 20:19, 6 октября 2019 (UTC)

Наверное, все же нужно вернуть формулировку из БСЭ, как-то первое предложение звучит слишком по-французски. Eozhik (обс.) 18:57, 7 октября 2019 (UTC)

Только я бы ее оборвал на половине, уж очень она длинная. Eozhik (обс.) 19:06, 7 октября 2019 (UTC)

Поправил. Так оно, мне кажется, яснее. Господа, вы долго будете привыкать к этим формулировкам? Eozhik (обс.) 19:25, 7 октября 2019 (UTC)

• На счёт второго предложения в первом абзаце — мне оно кажется не очень энциклопедичным. Даже с учётом того, что так написано в британнике, я не уверен, что оно нужно в преамбуле. Мнение на счёт необходимости наличия в преамбуле ссылки на теорию категорий я ни из собственного опыта, ни из бегло просмотренных источников, составить не могу. Об этом можно написать, так как исследования в этом направлении есть, они довольно активны и, по видимому, никаких других, сравнимых по масштабу с теорией категорий, альтернатив теории множеств нет вовсе. Но каких-то проблем в том, чтобы это было только в тексте статьи, а не преамбуле, я не вижу. В общем, тут будет лучше, если вы договоритесь с Браунингом. У меня предложенная преамбула, помимо второго предложения, возражений не вызывает. Теперь стоит подождать мнения других коллег. adamant (обс./вклад) 21:29, 7 октября 2019 (UTC)

• На втором предложении я не настаиваю, его можно убрать. Говорить об исследованиях по теории категорий в преамбуле, по-моему, несерьезно, учитывая, что итогов этих исследований пока не видно. В самом тексте статьи отдельным разделом, наоборот, сказать об этом полезно, чтобы привлечь внимание математиков, которые об этом не слыхали, или не особо понимают, о чем речь. Таким образом будет соблюден принцип, что преамбула содержит сжатую информацию для широкого читателя, а остальной текст — подробности для подготовленных и интересующихся. Eozhik (обс.) 21:42, 7 октября 2019 (UTC)

• Господа, долго это будет продолжаться? Wikisaurus, Вы не хотите высказаться? Adamant.pwn, не пора ли что-нибудь решить? Eozhik (обс.) 06:18, 12 октября 2019 (UTC)

• Ну давайте решим. LGB, Браунинг, у вас есть какие-то существенные возражения к варианту Eozhik? Если их за ближайшие 2-3 дня не появится, предлагаю внести его в статью и уже потом при необходимости дошлифовать в рабочем порядке. adamant (обс./вклад) 08:16, 12 октября 2019 (UTC)
• 1) По второму предложению — да, оно выглядит немного размытым, можно обойтись и без него, но это скорее вкусовщина.
  2) Фраза «источником, описывающим основные понятия и принципы математики» явно неправильная, евликдова геометрия претендовала на описание метода — аксиоматического — а не понятий как оснований математики, в той же Британнике «presented a set of formal logical arguments based on a few basic terms and axioms, provided a systematic method of rational exploration that guided mathematicians, philosophers, and scientists well into the 19th century».
  3) Мысль Британники о кризисе, возникшем из-за альтернативных геометрий, я понимаю как «раньше считали, что достаточно задать интуитивно очевидные аксиомы и выводить следствия из них, а потом поняли, что этого недостаточно (могут появиться недоказуемые утверждения и, возможно, противоречия)» (в Британнике есть «new basis independent of geometric intuitions»), а не как «раньше считали, что основания математики должны быть аксиоматическими, но после нескольких открытий поняли, что это не так», а сейчас второй и третий абзацы могут быть поняты скорее вторым способом. Например, здесь (вряд ли АИ) есть удачное предложение «diminished mathematicians’s confidence in intuition—one’s sense of rightness or obviousness as a foundation of mathematical knowledge and so promoted the study of mathematics using formal logic».
  4) В абзаце про альтернативные геометрии хорошо бы упомянуть слова «аксиома параллельности» — это знакомее среднему читателю, имхо.
  5) Вообще странно, что нет ничего про появление математической логики — статья на encyclopedia.com выше в этом смысле мне кажется очень хорошо сбалансированной, в отличие от кратковатой справки из Британники, хотя в таком случае подтверждать нужно не ей самой, а источниками из неё, хотя они тоже несколько себе, видимо.
  6) В целом я бы изложил суть аксиоматического подхода до упоминания Евклида и в чуть большем объёме, явно указав, что он состоит из понятий, аксиом и правил вывода (привет Колмогорову), и лишь потом проиллюстрировал евклидовой геометрией, поскольку аксиоматический подход относится и к Евклиду, и к современности. Хотя тут надо быть осторожным, потому что правил вывода в современном смысла Евклид, видимо, не знал.
  Это пока по первой половине, по второй тоже есть вопросы, она явно неполна, нет даже упоминания Цермело-Френкеля, но пока лучше обсудить начало, наверное? Викизавр (обс.) 09:28, 12 октября 2019 (UTC)

• Wikisaurus:

1. Насчет второго предложения — как народ решит.

2. Вот это я не понял:

евликдова геометрия претендовала на описание метода — аксиоматического — а не понятий как оснований математики

В евклидовой геометрии есть и то, и другое, и первичные понятия и метод. Вам известен способ отделить одно от другого и определить, что важнее?

3. Вот это тоже непонятно, к чему:

«раньше считали, что основания математики должны быть аксиоматическими, но после нескольких открытий поняли, что это не так»

Как Вы из второго и третьего абзаца выводите такое?

4. В преамбуле аксиома параллельности, по-моему, не нужна. Достаточно про альтернативные геометрии сказать, и так ясно будет, о чем речь.

5. Статья в encyclopedia.com заслуживает изучения. Может быть, можно оттуда что-нибудь и добавить в текст (не уверен, что в преамбулу). Eozhik (обс.) 10:52, 12 октября 2019 (UTC)

6. Насчет этого:

В целом я бы изложил суть аксиоматического подхода до упоминания Евклида

А что, аксиоматический метод был до Евклида? Это:

явно указав, что он состоит из понятий, аксиом и правил вывода

— как раз, на мой взгляд, лишнее. Для этого должна быть статья про аксиоматический метод. (И то, куда сейчас машина переадресует это словосочетание, понятие формальной теории, — не то же самое, между прочим. Аксиоматический метод был до формальных теорий. Здесь тоже получается, нужно расчищать завалы.) Колмогоров тут непонятно при чем. Eozhik (обс.) 11:10, 12 октября 2019 (UTC)

Между прочим, статья про формальные теории тоже нуждается в переработке. Eozhik (обс.) 11:19, 12 октября 2019 (UTC)

• Wikisaurus Вы вообще о преамбуле говорите? Или о тексте статьи? Уж очень много у Вас предложений что-нибудь включить. Eozhik (обс.) 10:55, 12 октября 2019 (UTC)

Еще в этой формулировке БСЭ

совокупность понятий, концепций и методов, с помощью которых строятся различные разделы математики

— я бы заменил "совокупность" на "систему". "Совокупность" производит впечатление бессистемного набора данных. Так, я думаю, сказать нельзя: у всех этих концепций и методов имеется общий фундамент, математическая логика с одинаковыми для всех правилами и пониманием, как можно развивать теорию, а как нельзя. Правильнее, мне кажется, сказать, что они образуют систему. Вторую половину определения из БСЭ

...а также комплекс математических и философских теорий и направлений, посвященных исследованию этих понятий, концепций и методов

— я убрал, потому что она мне кажется ненужной надстройкой над первой: те понятия, концепции и методы, о которых говорится в первой половине, уже описываются в математических теориях, и специально добавлять, что эти теории сами по себе являются частью картины, как будто отдельно от своих методов — лишнее многословие, канцеляризм. Eozhik (обс.) 09:37, 13 октября 2019 (UTC)

И я бы еще подчеркнул, что эти методы должны быть общими во всей этой науке, потому что в отдельных ее областях тоже можно выделять какие-то понятия и методы, которые считаются в них основными, например, в топологии — топологическое пространство и все, что с ним связано, в геометрии — многообразие, в алгебре — алгебраическая система, и т.п. Но эти "локальные конструкции" не годятся как фундамент для всей остальной математики. Как насчет такой формулировки:

система понятий, концепций и методов, общих для всей математики, с помощью которых строятся различные ее разделы

? Eozhik (обс.) 09:58, 13 октября 2019 (UTC)

Я это внесу в проект преамбулы. Eozhik (обс.) 10:12, 13 октября 2019 (UTC)

Наверное, надо как-то поправить ссылку на БСЭ, чтобы читатель понимал, что это не цитата оттуда. Не знаю, как это делается. Eozhik (обс.) 10:17, 13 октября 2019 (UTC)

Господа, по любым представлениям о правилах приличия, как их ни понимай, все сроки истекли. Adamant.pwn, Wikisaurus, не пора ли принимать решение? Eozhik (обс.) 06:43, 19 октября 2019 (UTC)

• @Wikisaurus:, вам есть, что сказать на этот счёт? В частности, будете ли вы против того, чтобы сейчас внести преамбулу в текст и уже потом отдельно работать с замечаниями к ней, если такие останутся?
  @Eozhik: Я бы предложил как общий алгоритм в спорных случаях действовать так — сообщать о своих намерениях и приводить их в силу если не было высказано явных возражений в течение разумного времени (3-7 дней, зависит от контекста вопроса). Если кто-то прокомментировал ваше сообщение с замечаниями, стоит начать отсчёт заново после того, как вы дадите на них обоснованный ответ или устраните их. Если правки будут проблемные — их кто-то потом отменит. Это не относится ко всякого рода запросам и номинациям на удаление, переименование и т. д., которые подчиняются своим порядкам.
  P.S. советую ознакомиться с ВП:СРОКИ. adamant (обс./вклад) 15:09, 19 октября 2019 (UTC)

• Adamant.pwn, как раз из-за того, что никаких сроков у вас тут не устанавливается, и возникает вопрос, как, собственно, решаются здесь подобные вопросы. С момента последних замечаний на мое предложение (с авторством Викизавра) и моих комметариев на них прошла неделя. Получается, я имею право вносить правку в текст сейчас? Eozhik (обс.) 15:39, 19 октября 2019 (UTC)

• Никак не решаются, некоторые запросы к переименованию висят с 2015 года, пока ВП:КТО-ТО до них не доберётся. Я пинганул викизавра. Предлагаю ещё пару дней подождать и вносить если не появится тут. adamant (обс./вклад) 15:47, 19 октября 2019 (UTC)

• p. s. Вы же понимаете, что вы зарегистрированы тут значительно раньше меня и правок у вас раза в два больше? Поди пойми, кто кому про "у вас" говорить должен ;) adamant (обс./вклад) 15:54, 19 октября 2019 (UTC)

• Adamant.pwn, для меня тут нет никакой зависимости. Я здешнюю компанию своей не считаю, о чем я говорил много раз и в разных местах. Вас я спрашивал, потому что Вы, ссылаясь на здешние правила, вели себя как человек, понимающий их. Я бы так делать не стал. Что подобные вопросы здесь

  Никак не решаются

  — отдельная иллюстрация к моим словам. Eozhik (обс.) 16:06, 19 октября 2019 (UTC)

• Возражений так и не появилось. Предлагаю вносить. adamant (обс./вклад) 22:01, 21 октября 2019 (UTC)

• Да, хорошо, я это выкладываю. Eozhik (обс.) 04:22, 22 октября 2019 (UTC)

• Извините, я что-то выпал. Из критичного — в нынешней версии вызывает сомнения фрагмент о том, что «Начала» описывали основные понятия, а не только основные методы — и аж до середины 17 века. Это очень сильное заявление — утверждать, что все основные понятия математики середины 17 века были описаны в «Началах»; скажем, тогда уже были какие-то зачатки многочленов, модулярной арифметики и комплексных чисел, ну какой тут Евклид? Может, «базовые понятия, из которых строились иные понятия» или что-то в этом духе? Отличие в том, что, скажем, комплексное число и многочлен являются основными понятиями современной математики, но ни разу не базовыми — в отличие от множества и предиката. Викизавр (обс.) 10:33, 24 октября 2019 (UTC)

• Wikisaurus, я сомневаюсь, что можно употребить слово "базовый" вместо "основной". Я написал "основной", имея в виду, что это относится к основаниям математики, о которых мы тут говорим. Я не слыхал, чтобы какие-то объекты или методы в математике называли "базовыми", это какой-то хозяйственной деятельностью отдает. Можно попробовать поискать другое слово, не знаю. Eozhik (обс.) 11:16, 24 октября 2019 (UTC)

О первом разделе

У меня дальше такое предложение: прежде, чем описывать историю предмета, я думаю, нужно с самого начала более внятно объяснить читателю суть дела. Я считаю, что это удобнее всего сделать сразу на современном языке, без необходимости постепенно подводить читателя к идеям длинным историческим обзором. Для этого я бы переписал раздел, именуемый ныне "Назначение" (с переименовкой названия, может быть на "Введение" или что-нибудь в таком духе), потому что в нынешнем виде он содержит много странных и произвольных утверждений. Например, здесь

Каждая современная математическая теория имеет аксиоматические основания, которые могут быть явно перечислены (как в определении группы) или неявно встроены в определения и свойства основных понятий (как в определении топологического пространства).

— невозможно понять, что имеется в виду под "встроены в определения и свойства основных понятий". Это

теория, претендующая на статус оснований математики, должна предоставлять свободный от противоречий набор базовых понятий, достаточный для описания и вывода основ других областей математики

— с одной стороны слишком туманно, а с другой — слишком жестко, потому что непротиворечивость нынешних теорий недоказуема. Это

В случае, когда несколько теорий в той или иной степени удовлетворяют этому требованию, принимаются во внимание дополнительные критерии выбора оснований математики

— какая-то маниловщина. У нынешних математиков выбор совсем не так богат, чтобы серьезно говорить о "дополнительных критериях".

Я, с позволения присуствующих, сочиню текст этого "Введения" (нужно бы подобрать подходящее название) и вывешу его здесь для обсуждения, как до этого было с преамбулой. Eozhik (обс.) 05:49, 22 октября 2019 (UTC)

Господа, ну вот я сочинил некий набросок для первого раздела, выкладываю его тут с заголовком "Современный взгляд на основания математики". Как должно быть понятно из текста, моя идея состоит в том, чтобы сразу предложить читателю рациональное объяснение предмета, в противоположность тому, что он видит сейчас, и что логичнее назвать художественным описанием явления, в котором от читателя ждут не понимания сути дела, а сопереживания описываемым событиям. Естественно, это нужно будет еще шлифовать, что я, видимо, буду делать в течение недели или около того. Eozhik (обс.) 22:23, 22 октября 2019 (UTC)

Обсуждение

1

• Сразу стоит отметить следующее: это статья сейчас имеет статус избранной. Желательно сохранить её в таком виде, чтоб она ему соответствовала. Для этого есть некоторое формальное требование — сноска на АИ должна стоять в конце каждого абзаца (в том числе если несколько обзацев написаны по одному и тому же АИ, сноска должна быть после каждого из них), при этом если идёт ссылка на что-то по объёму большее условных 20-25 страниц, нужно также в сноске указывать конкретные страницы, подтверждающие написанное.

Символ амперсанд, мне кажется, в математических обозначениях не очень распространён, почему бы не использовать «$\wedge$», стандартное обозначение для логического и? Или даже записать это как «$(x,y)\in f{\text{ и }}(x,z)\in f)$». Чуть менее строго, но заведомо более понятно обывателю. В целом мне нравится, но сходу забрасывать читателя дедекиндовыми сечениями и фактормножествами — это, возможно, чересчур. Наверно, стоит попробовать вкратце уточнить в тексте, что за дивное словосочетание используется примерно везде, где используется что-то, выходящее за рамки школьной программы. Не знаю, насколько реально это сделать. Условия я бы оформил примерно следующим образом:

1. $\forall x\in X~\exists y\in Y:(x,y)\in f$ — для любого $x\in X$ существует $y\in Y$, такой что $(x,y)\in f$. Другими словами, каждому аргументу $x$ сопоставлено значение $y$ функции $f$.
2. $\left((x,y)\in f\wedge (x,z)\in f\right)\implies y=z$. Если $(x,y)\in f$ и $(x,z)\in f$, то $y=z$. Другими словами, для любого аргумента $x$ значение $y$ функции $f$ определено однозначно.

То есть, списком, а не как сейчас. Там, где речь идёт про топологию, я бы уточнил, как-нибудь, что множества, которые так определяются называются открытыми по аналогии с открытыми множествами из матанализа.

adamant (обс./вклад) 15:23, 23 октября 2019 (UTC)

• Adamant.pwn:

1. Это

это статья сейчас имеет статус избранной. Желательно сохранить её в таком виде, чтоб она ему соответствовала

— противоречит здравому смыслу. Эта статья получила статус избранной в состоянии, когда имела вид, оскорбительный для той области, которую она описывает, и позорный для идеи просвещения. Я уже много раз цитировал:

Поскольку разные варианты математики нередко содержат разные результаты, математика не может более рассматриваться как источник абсолютных истин.

Однако формализм потерял доверие учёных, когда в 1931 году появились теоремы Гёделя о неполноте,

Моими усилиями эти заявления были удалены, но много подобного осталось. Если заботиться о том, чтобы вид статьи не менялся, этот абсурд не исчезнет.

2. Насчет амперсанда ($\&$), по-моему, Вы неправы. В логике именно он и используется. Символ $\wedge$ я вообще не видел в учебниках по логике, и вдобавок у него много значений, в частности, в теории решеток он обозначает минимум двух элементов.

3. Насчет дедекиндовых сечений и фактор-множеств, по-моему, тоже. Как без этого Вы объясните читателю, почему числа — множества?

4. Против остального у меня возражений нет. Вы, кстати, можете помочь, в частности, со ссылками. Eozhik (обс.) 16:34, 23 октября 2019 (UTC)

Между прочим, идея ориентироваться на школьников у меня восторга не вызывает. Объяснить этот предмет человеку, который кроме школьного курса математики ничего не знает (а в школе и теории множеств-то не было), я думаю, невозможно. Я жду от читателя как минимум знакомства с теорией множеств. Это должен быть кто-то с образованием не ниже 1-2 курса университета, или, если школьник, то хотя бы интересовавшийся этими вещами. Если такой человек не слыхал про фактор-множества, дедекиндовы сечения или ординалы, то этот текст — как раз хороший повод почитать об этом. Eozhik (обс.) 16:48, 23 октября 2019 (UTC)

• См. ВП:ТИС — требования к избранной статье. Статьи избираются в первую очередь по некоторым достаточно формальным энциклопедическим критериям. Если вас интересует, как именно эту статью избрали — есть соответствующее обсуждение. Это вынужденная мера, напрямую следующая из ВП:ВСЕ. Википедия изначально задумывалась как энциклопедия, которая пишется дилетантами. Правила вроде ВП:АИ и ВП:ОРИСС существуют для того, чтобы гарантировать, что участник заведомо вносит в статьи только информацию, которая уже прошла через специалистов и была затем опубликована ими же. Это замечательно когда специалисты сами приходят сюда писать или править статьи, но исключений для них не делается. Можете также посмотреть en:WP:EXPERT с английской википедии.
  Символ «$\wedge$» — стандартное обозначения для конъюнкции, он закреплён в ISO 31-11. В моём вузе он использовался в учебниках как по алгебре логики, так и по формальной логике. В статье конъюнкция он, кстати, тоже используется в качестве основного. Ну и такая запись согласуется с обозначением логического или как «$\vee$», а также некоторым соответствием этих операций с $\cup$ и $\cap$ в теории множеств. Я не против упоминания дедекиндова сечения и фактормножества, но просто упомянуть -- не очень хорошо, так как их неспециалисты практически не знают. Неплохо бы вместе с ними добавить пояснение о том, что это, но я не очень понимаю, как это лучше сделать. adamant (обс./вклад) 17:40, 23 октября 2019 (UTC)

Adamant, я читал это обсуждение. И нахожу абсурдным, что такого качества статью сделали избранной. Насчет исключений, я берусь утверждать, что они делаются, но не для специалистов, а для своих, иначе этого позорища не было бы. У Новикова, Мендельсона, Шенфилда и Гильберта с Бернайсом в книжках амперсанд (и он, помимо прочего, прямо на обложках у них имеется). В логике, как будто, все-таки чаще используется $\&$. Это не очень важно, конечно, но и не очень понятно, ни зачем $\&$ заменять на $\wedge$, ни зачем это сделали в статье про конъюнкцию в разделе про логику. Насчет пояснения про дедекиндовы сечения и остальное у меня возражений нет, но как это сделать, чтобы это не выглядело сюсюканьем, я тоже не понимаю. Eozhik (обс.) 18:10, 23 октября 2019 (UTC)

• Хм... А что на счёт современных работ? Скажем, не так давно во вполне авторитетных местах использовалось $C_{n}^{k}$ как обозначение для числа сочетаний, в то время как сейчас всё чаще используют именно ${\textstyle {\binom {n}{k}}}$. Здесь не может быть чего-то такого же? Скажем, ISO 31-11 был принят уже после публикаций указанных книг. adamant (обс./вклад) 18:34, 23 октября 2019 (UTC)

• Насчет современных работ, это, конечно, интересно. Что, теперь логики переключились на символы, одобренные какими-то бюрократами? У Вас есть статистика? Eozhik (обс.) 18:39, 23 октября 2019 (UTC)
  • У меня, конечно же, нет статистики и я с трудом представляю, как её можно собрать. Я не хочу сказать, что какие-то бюрократы указывают логикам, что им использовать. Просто можно предположить, что к 1991 году обозначение $\wedge$ успело сравняться по популярности с $\&$ и то, что он оказался в ISO — лишь констатация этого факта. Это, конечно, спекулятивное утверждение, я не знаю, как оно на самом деле и надо смотреть какие-то конкретные источники. Скажем, учебники, которые я выше привёл — 1999 и 2010 года. Можно поискать ещё что-нибудь, возможно будет лучше, если вы попробуете — рассчитываю, что вы лучше разбираетесь в том, какие современные (выпущенные после 1990 года, скажем) книги наиболее авторитетны в этой области. adamant (обс./вклад) 18:51, 23 октября 2019 (UTC)

• По-моему, это не то, о чем здесь следует думать. Я всю жизнь писал $\&$, мои учителя тоже, в учебниках и статьях, какие мне попадались, я почти везде видел $\&$ (Кюнен и Журавлев — первые исключения). Абсурд, что это тут оказывается важным. Eozhik (обс.) 19:21, 23 октября 2019 (UTC)
  • Ладно, если это не самое важное, то вы не будете против, если я потом исправлю на $\wedge$ в тексте? adamant (обс./вклад) 20:30, 23 октября 2019 (UTC)
  • Кстати, Основания математики#Теория множеств как основание математики — в статью вставлена картинка с аксиомами ZFC, где уже используется $\wedge$. adamant (обс./вклад) 20:41, 23 октября 2019 (UTC)

• Возможно, на счёт того, что числа — множества, не нужно сразу уходить так глубоко, и для начала обойтись стандартной историей о том, что $0=\varnothing ,1=\{\varnothing \},2=\{\varnothing ,1\}=\{\varnothing ,\{\varnothing \}\},\dots$? А то ссылка на ординалы совсем запутывающе звучит, учитывая что это можно показать непосредственно в тексте. adamant (обс./вклад) 17:54, 23 октября 2019 (UTC)

• Я не понимаю, Вы предлагаете кроме натуральных чисел вообще больше никакие не упоминать? Eozhik (обс.) 18:14, 23 октября 2019 (UTC)

Нет, у Кюнена действительно знак $\wedge$. Все же $\&$, по-моему, понятнее. Eozhik (обс.) 17:20, 23 октября 2019 (UTC)

• И, Adamant.pwn, я не очень понимаю, как можно удовлетворить этому требованию:

  сноска на АИ должна стоять в конце каждого абзаца

  Вот, например, в одном абзаце пишется, что группа — это множество. Формально это утверждение следует из того, что всякое отображение (определенное на множестве) — множество. Но я сильно сомневаюсь, чтобы где-нибудь было явно написано, что группа — это множество (потому что алгебраистам, которые пишут о группах, это глубоко неинтересно). Как из этого выбираться — непонятно. Между прочим, в нынешнем виде в статье, при всей ее избранности, тоже не всякий абзац имеет ссылку (и не всякая ссылка подтверждает написанное). Eozhik (обс.) 17:33, 23 октября 2019 (UTC)
  • Я понимаю, что требования ссылки на каждый абзац может выглядеть абсурдным, но такой уж консенсус в отношении статусных статей. Если абзацев без ссылок появится достаточно много, кто-нибудь может обозвать происходящее в статье оригинальным исследованием и выставить статью к лишению статуса или удалить неподтверждённую ссылкой информацию и формально будет прав. Если вообще нигде не написано о том, что группу можно представить, как множество, то у нас есть некоторая проблема с тем, что сам факт может быть расценён незначимым и удалён (см. ВП:ЗФ). adamant (обс./вклад) 17:50, 23 октября 2019 (UTC)

• Adamant, это похоже на различие в приоритетах. Для кого-то важнее, чтобы статья статуса не потеряла (в том виде, как он в этой компании понимается). А для кого-то — чтобы в ней глупостей не было, и чтобы суть дела внятно излагалась. Я берусь утверждать, что то, что в моем последнем тексте написано, здесь далеко не все авторы понимали. Хотя это и есть главное. О формальном соответствии правилам думать никто не запрещает, но суть важнее. Если статья потеряет незаслуженно приобретенный статус, я не думаю, что это будет трагедией для потребителя. Eozhik (обс.) 18:35, 23 октября 2019 (UTC)
  • Я думаю, в наших общих интересах, чтобы информацию, которую вы внесёте, потом не удалили из статьи по формальным признакам и чтоб в статье не висела куча шаблонов «^{[источник?]}». И да, зачастую когда статусную статью выставляют к лишению статуса по отсутствию ссылок на АИ, эту проблему решают радикальными методами, то есть удалением неподтверждённой информации. adamant (обс./вклад) 18:56, 23 октября 2019 (UTC)

• Ну вот я поэтому и стараюсь смотреть на происходящее не как на деловой разговор, а как на театральное представление. Это как если бы кто-то написал в тексте, что $365\times 12=4380$ (делая из этого какие-то важные выводы), но этот абзац выбросили бы из статьи, потому что авторитетного источника, где было бы написано, что действительно $365\times 12=4380$, найти не удалось. Я не знаю, как в таких случаях здесь принято удовлетворять кровожадных оппонентов. Если Вы найдете решение — предлагайте. Eozhik (обс.) 19:16, 23 октября 2019 (UTC)
  • Лучше всего — всё же найти публикацию, где об этом сказано. Или хотя бы такую, где об этом явно не прописано, но вот именно так оно там интерпретируется и это важно. На крайний случай — хотя бы самиздатом от какого-нибудь авторитета (видимо, если, например, Теренс Тао написал это кому-нибудь в популярно доступном ответе на mathoverflow или в свой блог, то при отсутствии альтернатив можно сослаться на это и подобное). adamant (обс./вклад) 20:06, 23 октября 2019 (UTC)

• Не знаю я, откуда это взять. Про числа еще источники есть, а про остальное — слишком элементарно. Не знаю. Eozhik (обс.) 20:24, 23 октября 2019 (UTC)
  • Ладно, давайте на потом отложим, я попробую поискать что-нибудь. adamant (обс./вклад) 20:43, 23 октября 2019 (UTC)

• Да, тут, наверное, мне нужна помощь. Все, что я тут написал, — очевидные для математика вещи. Но найти цитаты к каждому абзацу — задача пугающая. Eozhik (обс.) 20:59, 23 октября 2019 (UTC)
  • Ну это на самом деле связано с моделью написания статей на википедии. От участников ожидается не то, что они сначала пишут, а потом ищут подтверждение, а наоборот — берут АИ и пересказывают из него текст. adamant (обс./вклад) 21:15, 23 октября 2019 (UTC)
  • Можно ещё поглядывать на то, какие источники проставлены у соответствующих утверждений в английском языковом разделе, кстати. Я вот вижу, что статья en:Integer содержит указанную вами конструкцию и там ссылка идёт на The Structure of Arithmetic. И я уже по обложке вижу, что это как раз то, что нас интересует. Может, и про группы у них уже есть готовое, надо посмотреть. adamant (обс./вклад) 11:07, 24 октября 2019 (UTC)

• Я не могу найти эту книжку. Eozhik (обс.) 16:17, 25 октября 2019 (UTC)

2

• Ещё я не совсем понимаю, почему числа упорядочены от комплексных к натуральным, казалось бы, было бы логичнее в обратном порядке это всё записать? Кстати, про фактормножество мне кажется не очень корректным говорить в таком виде. Нужно же сначала отношение эквивалентности на этом декартовом квадрате ввести, без его определения термин «фактормножество» теряет смысл. То, что комплексные — элементы декартова квадрата это не точное их описание, здесь нельзя не упомянуть дополнительную структуру, которая вводится на них тем, что $i^{2}=-1$, как мне кажется. adamant (обс./вклад) 18:00, 23 октября 2019 (UTC)

• Упорядочить можно и наоборот, это неважно. В том, что говорится про фактормножества важно не как определить отношение эквивалентности, а что его можно определить так, что из одного множества чисел получится другое. Комплексные числа как раз формально определяются как элементы декартова квадрата, а $i$ — как пара $(0,1)$. А умножение определяется без $i$ (по понятно какой формуле), и только потом становится понятно, что верно равенство $i^{2}=-1$, и что достаточно его запомнить, чтобы умножать комплексные числа. Eozhik (обс.) 18:23, 23 октября 2019 (UTC)
  • Ну, я имею в виду, что надо уточнить, что они определяются не как «элементы декартова квадрата», а как «элементы декартова квадрата с определённым образом заданной операцией умножения» — желательно указать, каким именно образом. Про класс эквивалентности — тут тоже нужно указать, что это фактормножество не по абы какому отношению эквивалентности, а по вполне конкретному, которое неплохо бы указать прямо в тексте, ну или сказать что-то вроде «существует отношение эквивалентности, такое что…». Если мы хотим добиться от читателя «понимания сути дела», то без конкретики тут не обойтись. adamant (обс./вклад) 18:44, 23 октября 2019 (UTC)

• Нет, это у меня возражений не вызывает, можно сделать. Eozhik (обс.) 18:53, 23 октября 2019 (UTC)
• Adamant.pwn, если честно эти детали объяснять, формул-то получается много. Там же и порядок нужно объяснять какой и алгебраические операции. Думаете, это нужно? Сейчас может достаточно того, что написано? Eozhik (обс.) 19:47, 23 октября 2019 (UTC)
  • Eozhik, может, убрать куски, которые начинаются фразами вида «а алгебраические операции между числами…»? Кажется, что эта часть и так понятна из описанного прямо над ней вложения и она просто занимает место. adamant (обс./вклад) 15:24, 26 октября 2019 (UTC)

• Можно убрать, но тогда теперешнюю сноску [17] нужно поправить, чтобы читатель понимал, что имеется в виду под произведением чисел из Z и N. Это для нее делалось. Eozhik (обс.) 15:42, 26 октября 2019 (UTC)
  • Сделал. adamant (обс./вклад) 21:05, 26 октября 2019 (UTC)

• Ладно, все написал. Вроде не так уж длинно. Eozhik (обс.) 20:05, 23 октября 2019 (UTC)
  • Ещё такой вопрос — я же правильно понимаю, что использованные конструкции в случае целых чисел задают общие правила перехода от полукольца к кольцу, а для рациональных — соответственно, от кольца к полю? Видимо, здесь первая конструкция — это минимальное по включению кольцо, которое содержит изоморфное данному подполукольцо, ну и аналогично в случае рациональных, что это минимальное поле, содержащее изоморфное данному подкольцо. Было бы неплохо это упомянуть, а ещё то, как элементы этого декартова квадрата соотносятся с интуитивным пониманием чисел (а именно что в случае целых чисел «$(n,m)$» соответствует целому числу «$n-m$», в случае рациональных «$n/m$», а в случае комплексных «$n+im$», где $i^{2}=-1$. И можно тогда сказать, что в общем случае это называется процедура Кэли — Диксона). adamant (обс./вклад) 10:27, 24 октября 2019 (UTC)

• Да, это все правдоподобно. Я бы проверил, действительно ли там всегда получаются что нужно, кольцо и поле (поле, я думаю, в любом случае не всегда, потому что исходное кольцо может быть некоммутативно). У меня сомнения, что такое здесь прилично писать. Про Кэли — Диксона тоже я не уверен, хотя формально вроде это действительно частный случай. Про «$n-m$» и «$n/m$» согласен, это надо сказать. Eozhik (обс.) 18:52, 24 октября 2019 (UTC)
  • А, и правда. Ну, для коммутативного кольца уже должно быть правдой. В каком смысле, «прилично»? На мой вкус, было бы уместно, но не принципиально. adamant (обс./вклад) 18:58, 24 октября 2019 (UTC)

• Ну, неприлично злоупотреблять терминами. Их по делу нужно использовать, они лишний раз отвлекают внимание. Eozhik (обс.) 19:06, 24 октября 2019 (UTC)
  • Хорошо, здесь могу согласиться, давайте обойдёмся краткими комментариями про «$n-m$», «$n/m$» и «$n+im$». adamant (обс./вклад) 19:12, 24 октября 2019 (UTC)
  • Собственно, дополнил. adamant (обс./вклад) 19:28, 24 октября 2019 (UTC)

• Если Вы не против, я эти предложения сделаю с маленькой буквы и в скобках, потому что там текст от первого знака ♦ до второго подается как одно предложение. Eozhik (обс.) 19:45, 24 октября 2019 (UTC)
  • Просмотрел эту часть ещё раз. Мне кажется, тогда было бы лучше закончить предложение перед ними точкой и писать их с большой буквы без скобок, но принципиальных возражений у меня нет. Если думаете, что так будет лучше — правьте. adamant (обс./вклад) 19:52, 24 октября 2019 (UTC)
  • А вот две скобки подряд в «$(0,1)$)» мне не очень нравятся :( adamant (обс./вклад) 19:55, 24 октября 2019 (UTC)

• Я поправил, но без уверенности, что так лучше. С повторяющимися скобками действительно нехорошо. Можно сделать несколько предложений, я не возражаю. Eozhik (обс.) 19:59, 24 октября 2019 (UTC)
  • Да, думаю текущий вид (без скобок) это меньшее из зол. adamant (обс./вклад) 20:13, 24 октября 2019 (UTC)

• • Из обычного кольца мы, по видимому, получаем минимальное тело. Ну и странный перевод, кстати, оригинальный division ring намного лучше. adamant (обс./вклад) 19:02, 24 октября 2019 (UTC)

• Надо проверить, я не стал бы это писать без проверки. Eozhik (обс.) 19:06, 24 октября 2019 (UTC)

• Эх, и всё ещё неправда, кстати, чтоб получить тело нужно хотя бы область целостности иметь... adamant (обс./вклад) 23:57, 24 октября 2019 (UTC)

• • Кстати, $[x]$ — это имеется в виду класс эквивалентности, которому принадлежит $x$? Стоит хотя бы раз где-то об этом упомянуть, а то в статье оно из ниоткуда всплывает. adamant (обс./вклад) 11:16, 24 октября 2019 (UTC)

• Да, $[x]$ — это класс эквивалентности. Надо это объяснить, я согласен. Eozhik (обс.) 18:52, 24 октября 2019 (UTC)

• • • @Eozhik: тут ещё пара замечаний, что думаете на этот счёт? adamant (обс./вклад) 18:32, 24 октября 2019 (UTC)
    • Кстати, вот ещё заметил, что в пункте про натуральные числа вы говорите о сложении и произведении ординалов. Может, это конструкция и известная для специалистов, но я вот даже не знаю, о чём идёт речь, и в статье ординал об этом сейчас тоже почти ничего не сказано. Возможно вписать сюда определение их суммы и произведения или выйдет громоздко? Ну и заодно можно сказать, что есть вот ординалы фон Неймана, а ещё бывают ординалы Цермело, которые используются реже (это в которых $k=\{k-1\}$, а не $k=\{k-1,\{k-1\}\}$), но может это и не обязательно. adamant (обс./вклад) 18:47, 24 октября 2019 (UTC)

• Я думаю, про ординалы нужно в той статье и писать. Операции над ними — стандартный материал учебников. Ссылки погляжу. Eozhik (обс.) 19:02, 24 октября 2019 (UTC)
• Нашел хороший источник про ординалы, книжка Монка: J. Donald Monk. Introduction to Set Theory. McGraw-Hill. 1969. p.97-115. Я это воткну в текст тоже. Eozhik (обс.) 19:21, 24 октября 2019 (UTC)

3

Adamant.pwn, эти объяснения про смысл формул в определении отображения, по-моему, они как-то слишком уж повторяются. Не лучше ли написать формулы, а объяснения словами оформить как подстрочные примечания? Eozhik (обс.) 20:10, 23 октября 2019 (UTC)

• Можно внутренний список сделать маркированным вместо нумерованного. Подстрочные примечания -- в смысле, как изначально было со строкой под формулой? Нет, так занимает лишнее вертикальное пространство и много пустого места справа. Если имеются в виду честные сноски, то я тоже не согласен, объяснение формул лучше держать в тексте. В том, что повторяются я чего-то прям плохого не вижу, но можно из двух предложений после каждой формулы оставить по одному, если хотите. adamant (обс./вклад) 20:38, 23 октября 2019 (UTC)

• Ну я уже затолкал объяснения словами в сноски. Верните назад, если так не нравится, но важно чтобы читатель понимал, где кончается формула, и начинается объяснение словами (а в первом варианте было непонятно). Нумерация строк в списке лучше тоже чтобы была без повторов. Eozhik (обс.) 20:48, 23 октября 2019 (UTC)

И кроме того, там получается список внутри другого списка, и цифры повторяются, это тоже режет глаз. Eozhik (обс.) 20:15, 23 октября 2019 (UTC)

• Ну нет, мне всё таки совсем не нравится, что текстовое объяснение отсутствует. Хочется как-то так:

• $\forall x\in X~\exists y\in Y:(x,y)\in f$, — «для любого $x\in X$ существует $y\in Y$, такой что $(x,y)\in f$»,
  
• $\left((x,y)\in f\wedge (x,z)\in f\right)\implies y=z$, — «если $(x,y)\in f$ и $(x,z)\in f$, то $y=z$»
  Первое условие здесь означает, что каждому аргументу $x$ сопоставлено некоторое значение $y$ функции $f$, а второе — что это значение единственно.

Только выровнять бы как-то текстовые объяснения друг под другом, не знаю, как это лучше на вики-движке сделать. adamant (обс./вклад) 21:12, 23 октября 2019 (UTC)

• Ну, сделайте как-нибудь, чтобы формула и объяснение словами были в разных строчках. Иначе все равно кажется, что текст — это не объяснение формулы, а дополнение к ней, какое-то дополнительное условие, хоть и в кавычках. Eozhik (обс.) 21:30, 23 октября 2019 (UTC)

Тире, между прочим, тоже режет глаз. Как насчет такого:

• $\forall x\in X~\exists y\in Y:(x,y)\in f$,

(иными словами, для любого $x\in X$ существует $y\in Y$, такой что $(x,y)\in f$),

• $\left((x,y)\in f\wedge (x,z)\in f\right)\implies y=z$,

(то есть, если $(x,y)\in f$ и $(x,z)\in f$, то $y=z$)

Eozhik (обс.) 21:38, 23 октября 2019 (UTC)

• Попробовал ещё один вариант (в тексте), всё ещё не очень? adamant (обс./вклад) 23:01, 23 октября 2019 (UTC)

• Ну здрасьте! В теперешнем виде первое условие превратилось в требование, чтобы формула

$\forall x\in X~\exists y\in Y:(x,y)\in f$

была эквивалентна условию

«для любого $x\in X$ существует $y\in Y$, такой что $(x,y)\in f$»

И то же самое со вторым условием. Eozhik (обс.) 23:21, 23 октября 2019 (UTC)

• Ну зато любая функция точно им удовлетворяет, хи-хи.
  Я надеялся так обозначить сам факт их эквивалентности, но окей, значит надо сменить $\iff$ на что-то другое. Можно запятую, тире, двоеточие — на ваш вкус. Можно просто убрать символ между ними и взять уточнения в скобки, но так не очень красиво выходит. Мне больше всего нравится двоеточие из указанных знаков пунктуации. adamant (обс./вклад) 23:31, 23 октября 2019 (UTC)

• Скобки лучше тем, что выглядят как комментарий, а не как продолжение условия. Остальные знаки хуже. А еще лучше — . Я не понимаю, Adamant, Вы не математик что ли? Отчего такая привязанность к объяснению кванторов? Eozhik (обс.) 23:42, 23 октября 2019 (UTC)

• • Я просто понимаю, что буду не единственным читателем статьи, только и всего. adamant (обс./вклад) 00:15, 24 октября 2019 (UTC)
  • И нет, я не математик, меня даже на вашем любимом сайте со списком (почти) всех математиков нет :) adamant (обс./вклад) 00:16, 24 октября 2019 (UTC)
  • Проставил скобки. В дальнейшем можно настолько подробно кванторы не расписывать, но хотя бы в месте, где они в первый раз появляются — лучше прописать. adamant (обс./вклад) 00:19, 24 октября 2019 (UTC)

• Следующая строчка со словами "Первое условие..." должна начинаться там, где начинаются другие в этом абзаце, это же про формулы во втором определении говорится. И побольше пробел между формулами и объяснениями в скобках можно сделать? Eozhik (обс.) 05:40, 24 октября 2019 (UTC)
• Вообще что-то мне это не нравится. Второе объяснение в скобках начинается выше, чем вторая формула, из-за этого в первый раз когда глядишь, взгляд переходит по строчке вправо в середину этого объяснения, и опять это кажется продолжением формулы. Eozhik (обс.) 05:48, 24 октября 2019 (UTC)
• А, я понял, эта картина зависит от шрифта. Если он крупный, то некрасиво, а если мелкий, то нормально. Только все равно нужно сделать побольше пробел между формулами и объяснением в скобках. И строчку с "Первым условием..." подвинуть вправо. Eozhik (обс.) 09:18, 24 октября 2019 (UTC)
  • Кажется, отступ вы уже увеличили, я проставил ещё пару неразрывных пробелов между формулой и уточнением. Теперь нормально? adamant (обс./вклад) 10:16, 24 октября 2019 (UTC)

• Вроде я ничего не делал. Мне кажется, между второй формулой и объяснением к ней отступ маловат, я бы его увеличил раза в два (но не знаю как). Ну и тогда после первой тоже нужно увеличить для красоты. Eozhik (обс.) 19:30, 24 октября 2019 (UTC)
  • Увеличил, так лучше? adamant (обс./вклад) 19:33, 24 октября 2019 (UTC)

• Да, сейчас хорошо. Eozhik (обс.) 19:37, 24 октября 2019 (UTC)

• "Переводить" кванторы — по-моему, идиотизм. Что, есть люди, интересующиеся логикой, но не понимающие смысл кванторов? Eozhik (обс.) 22:17, 23 октября 2019 (UTC)
  • Это обзорная статья, поэтому надо стремиться к тому, чтоб она была понятна широкому кругу читателей. Кванторы хотя бы один раз за статью стоит не только расшифровать, но и викифицировать, сославшись на статьи квантор всеобщности и квантор существования. Тема «основания математики», безусловно, будет интересна не только людям с математическим образованием и нам следует облегчить чтение статьи для таких людей, где это возможно без ущерба для её содержания. См. также Википедия:Статьи естественных, точных и прикладных наук. adamant (обс./вклад) 22:33, 23 октября 2019 (UTC)

• Ну обзорность не означает, что нужно ориентироваться на школьников, только то, что нужно по возможности не усложнять. Скажем, квантовая теория поля — тоже обзорная статья, но если пытаться объяснять на уровне школьников, то умрут все — и школьники, которым перед каждым словом нужно будет читать абзац пояснений, и люди с парой лет обучения физики, которые утонут в тривиальностях.
  В преамбуле и разделах с историей пытаться объяснять для школьников хорошо, а ниже я бы пытался описывать для читателя, который вроде бы знает основания логики и теории множеств, но при этом как бы не очень помнит — ну то есть расшифровать кванторы полезно (далёкий от этого читатель на них легко запнётся и потратит лишнее время), но вот объяснять, что они значат — упаси боже, есть ссылки на статьи. Викизавр (обс.) 10:20, 24 октября 2019 (UTC)
  • Ну, в каком смысле объяснять, что кванторы значат? Если именно смысл значков — как по мне, хватит викификации на «для любого» и «существует». Если речь про строку «Первое условие здесь означает, что каждому аргументу $x$ сопоставлено некоторое значение $y$ функции $f$, а второе — что это значение единственно» — мне кажется, она всё же полезна и океан тривиальности не создаёт. adamant (обс./вклад) 10:34, 24 октября 2019 (UTC)
    • Ну да, вот это разумный объём, имхо. Викизавр (обс.) 10:37, 24 октября 2019 (UTC)
• Сейчас заметил, что ссылка на дефинициальное расширение прописана как дефинициальное расширение — так делать не принято, читатель может ошибочно посчитать, что эта внутренняя ссылка и удивиться при переходе. Ссылки на другие языковые разделы лучше оформлять через шаблон {{не переведено}} и подобные. Например, вот так, чтоб было понятно, что в русском разделе такой статьи ещё нет, но она есть на [en] и читатель может туда перейти, кликнув по этой части ссылки. adamant (обс./вклад) 10:59, 24 октября 2019 (UTC)

• Ну, сделайте как надо. Eozhik (обс.) 11:18, 24 октября 2019 (UTC)
  • Done. adamant (обс./вклад) 11:41, 24 октября 2019 (UTC)

Adamant.pwn, это наверное Ваша вставка?

с которой обычно работают как с $n$-мерным векторным пространством

Я это уберу, потому что "работать с векторным пространством" у математиков не принято. Вдобавок это термин, используемый без надобности: читатель думает, что это зачем-то нужно, отвлекается, а смысл фразы только в том, чтобы показать ему какие авторы умные. Это, как я уже говорил, неприлично. Eozhik (обс.) 11:31, 26 октября 2019 (UTC)

• Я не уверен, как лучше сформулировать. Но мне всё же кажется, что в матанализе функции из $\mathbb {R} ^{n}$ в $\mathbb {R} ^{m}$ обычно рассматриваются как вектор-функции и, соответственно, когда речь идёт о всяких производных, пределах, непрерывностях и т.д. без того факта, что мы работаем с линейным (нормированным) пространством не обойтись. adamant (обс./вклад) 13:29, 26 октября 2019 (UTC)

• Математики это называют "отображение". Под "вектор-функциями", наверное, можно понимать отображения из $\mathbb {R}$ в $\mathbb {R} ^{m}$, но в математических текстах я такого не видел, и, что важнее, эти детали, и "векторное пространство", и "нормированное пространство", и "вектор-функция", все это здесь лишнее. В этом месте речь идет о том, что отображения из $\mathbb {R} ^{n}$ в $\mathbb {R} ^{m}$ — тоже множества. Это должен понять читатель, а не что $\mathbb {R} ^{n}$ — векторное пространство, или нормированное пространство. Нельзя учить сразу всему, внушаемая идея не должна заслоняться пижонством: "А вот оцените, я еще и такие слова знаю!" Eozhik (обс.) 13:42, 26 октября 2019 (UTC)
  • Ладно, в этом месте, наверно, действительно лишнее уточнение. adamant (обс./вклад) 15:20, 26 октября 2019 (UTC)

Я убрал заявление, что "вся математика является дефинициальным расширением NBG или MK", потому что случается, что аксиомы какой-то одной теории противоречат аксиомам другой, и нельзя сказать, что обе эти теории входят в одну большую теорию. Правильно будет сказать, что каждая конкретная теория является дефинициальным расширением NBG или MK. Eozhik (обс.) 10:24, 27 октября 2019 (UTC)

• Мне кажется, утверждения такого рода в любом случае должны подтверждаться ссылкой на АИ. adamant (обс./вклад) 10:40, 27 октября 2019 (UTC)

• Кюнен для этого не годится?

  Kunen, 1980, p. xi: «Set theory is the foundation of mathematics. All mathematical concepts are defined in terms of the primitive notions of set and membership. In axiomatic set theory we formulate a few simple axioms about these primitive notions in an attempt to capture the basic "obviously true" set-theoretic principles. From such axioms, all known athematics may be derived. (Теория множеств - фундамент математики. Все математические понятия определяются в терминах примитивных понятий множества и принадлежности. В аксиоматической теории множеств мы формулируем несколько простых аксиом об этих примитивных понятиях, пытаясь охватить основные «очевидно истинные» теоретико-множественные принципы. Из таких аксиом может быть выведена вся известная математика.)».

  Eozhik (обс.) 10:43, 27 октября 2019 (UTC)
  • Здесь не сказано, что речь только про NBG или MK. И они вообще не упомянуты в данной цитате, чтоб говорить про «например», как это сделано сейчас. Но если именно они используются в том же разделе где-то выше, то может и нормально. adamant (обс./вклад) 13:04, 27 октября 2019 (UTC)

• А у меня в тексте это тоже не сказано:

  Фактически, все математические теории описываются ныне как дефинициальные расширения какой-нибудь одной достаточно богатой современной теории множеств, например NBG или MK.

  Eozhik (обс.) 13:07, 27 октября 2019 (UTC)
• Нет, выше они не используются. Кюнен в своей книжке строит ZFC. NBG и MK он только упоминает. Самая сильная (и, на мой взгляд, самая простая) из них MK. У ZF, как написано ниже в тексте имеется важный недостаток, что там классов нет (и кроме того, она самая аляповатая из них всех), поэтому ее меньше всего хочется рекламировать. Это можно сравнить с лампочками накаливания, народ ее использует по инерции. Ну, можно убрать аббревиатуры из этого предложения. Eozhik (обс.) 13:34, 27 октября 2019 (UTC)

• Я вставил это. Получается, эта цитата будет повторяться в тексте, но я думаю, это технически преодолимо. Можно еще процитировать Хаусдорфа. Насчет Серпинского я не уверен, потому что он говорит только о матанализе (а не о всей математике). Еще цитат желательно, конечно, накидать. Eozhik (обс.) 11:33, 27 октября 2019 (UTC)

4

Касательно наименования первого раздела. Я бы предложил назвать его «Основные положения», «Основные сведения» или каким-либо схожим образом, поскольку не только этот первый раздел, а вся статья представляет собой, собственно говоря, некоторый «современный взгляд» на основания математики, включая историю вопроса, его текущее состояние и перспективы. -- АлександрЛаптев (обс.) 12:10, 25 октября 2019 (UTC)

• Александр, «Основные положения» — звучит как введение в какое-то метафизическое сочинение, «Основные сведения» — как начало технического описания, это не разделы статьи в энциклопедии. "Современный взгляд" мне самому не нравится, нужно подобрать что-нибудь разумное. Eozhik (обс.) 15:40, 25 октября 2019 (UTC)
• Как насчет такого заголовка: "Идея оснований"? Я представляю это как раздел, в котором объясняются смысл употребляемых терминов и основные идеи и результаты связанной с этим деятельности. Eozhik (обс.) 16:30, 25 октября 2019 (UTC)
• Не вижу проблемы с названием для раздела «Введение». И текущее про «современный взгляд» мне тоже кажется приемлемым. «Идея оснований» мне не очень нравится, не звучит-с. adamant (обс./вклад) 16:35, 25 октября 2019 (UTC)

• "Введение" — это начальная глава в книге или в большой статье в специализированным журнале, страниц на 30 минимум. Eozhik (обс.) 16:39, 25 октября 2019 (UTC)
• Может "Главные идеи и результаты"? Eozhik (обс.) 16:44, 25 октября 2019 (UTC)
  • Наверно, сойдёт. adamant (обс./вклад) 20:42, 25 октября 2019 (UTC)

• Ну, вроде, это в любом случае лучше, чем то, что есть. Сейчас поправлю. Eozhik (обс.) 20:44, 25 октября 2019 (UTC)

Джентльмены, у меня чувство, что этот текст отшлифован до состояния, когда его уже можно вывешивать. Eozhik (обс.) 09:15, 30 октября 2019 (UTC)

• Мне нужно будет некоторое время, чтобы просмотреть всё ещё раз. Пока мне кажется, что текст недостаточно отшлифован — чтобы его можно было вывешивать, стоит сначала найти АИ, которые будут подтверждать использованные утверждения и факты. Так как статья является избранной, как я уже писал выше, стоит придерживаться правила «каждый абзац подтверждается АИ». Я ранее обещал, что помогу с их поиском и я этим займусь, но на это может понадобиться время. Видимо, проблемными тут будут утверждения «очевидные любому математику», так как очевидные утверждения математики часто в своих публикациях опускают. adamant (обс./вклад) 03:48, 31 октября 2019 (UTC)

• Adamant.pwn, Вы напишите, на какие именно утверждения Вы ищете источники. Eozhik (обс.) 04:40, 31 октября 2019 (UTC)
• Adamant.pwn, все же Вы бы объяснили, где Вы видите проблему. Eozhik (обс.) 03:28, 2 ноября 2019 (UTC)
  • Я в поездке и возможности подробно расписывать сейчас у меня нет. В течение недели отпишусь. adamant (обс./вклад) 14:23, 3 ноября 2019 (UTC)

У меня вопрос только по этому абзацу: «Предельная идеализация объектов математики должна казаться препятствием к их изучению, однако еще в древности было замечено, что, вопреки этим ожиданиям, одним из следствий этой идеализации является, наоборот, возможность установления многочисленных связей между рассматриваемыми объектами вплоть до построения иерархии между ними с выделением элементарных объектов, из которых строятся все остальные. В античной математике такими элементарными объектами были (понимаемые в значительной мере интуитивно) числа и геометрические формы (точка, линия, поверхность и т. д.). В современной математике ими являются множества». Текст мне нравится, но по этому вопросу есть разные точки зрения, см., например, у Янова, так что нужны АИ. -- АлександрЛаптев (обс.) 10:17, 30 октября 2019 (UTC)

• АлександрЛаптев, в чем разница точек зрения? Eozhik (обс.) 10:19, 30 октября 2019 (UTC)
  • Прежде всего в том, является ли возможность построения иерархии объектов следствием идеализации или, наоборот, объективно существующая иерархия объектов является условием для возможной идеализации. Старый добрый спор. -- АлександрЛаптев (обс.) 10:49, 30 октября 2019 (UTC)

• А эта фраза чему-то здесь противоречит? И при чем здесь Янов? Eozhik (обс.) 10:54, 30 октября 2019 (UTC)

• «Предельная идеализация является условием для изучения объектов математики, ещё в древности было замечено, что только вследствие идеализации появляется возможность установления многочисленных связей между рассматриваемыми объектами ...». Вот так выглядела бы альтернативная точка зрения. Янов пишет про этот спор. -- АлександрЛаптев (обс.) 10:58, 30 октября 2019 (UTC)

• Предельная идеализация является условием для изучения объектов математики

  — Эта альтернативная точка зрения недоказуема. А это

  ещё в древности было замечено, что только вследствие идеализации появляется возможность установления многочисленных связей между рассматриваемыми объектами

  — и вовсе неправда. И где Янов пишет про это? Eozhik (обс.) 11:01, 30 октября 2019 (UTC)

• Янов пишет: «Наиболее отчётливо различие во взглядах на природу математики проявилось у Платона (4 в. до Р.Х.) и его ученика Аристотеля. Первый, в соответствии со своей философской концепцией считал, что математика принадлежит миру чистых идей и потому её истины, как идеальные, абсолютны и неизменны. Напротив, приложения её к несовершенному миру вещей условны и преходящи, и в то же время постигнуть свойства вещественного мира можно только с помощью идеальной математики. Аристотель явно стоял на прагматическом отношении к математике, отводя ей роль вспомогательного инструмента для физики, которая строится на основании чувственного опыта. В дальнейшей истории науки эти две точки зрения постоянно сохранялись и сохранились до настоящего времени, изменяясь только в соответствии с изменением взглядов на такие понятия, как логика, доказательство, реальный мир и др.». Само собой, ни одна из этих точек зрения не доказуема, ни платоновская, ни аристотелевская, иначе спор был бы давно решён. -- АлександрЛаптев (обс.) 11:08, 30 октября 2019 (UTC)

• АлександрЛаптев, я так понимаю, в этой цитате Вы видите доказательство доказуемости этого

  Предельная идеализация является условием для изучения объектов математики

  и истинности (или хотя бы разумности) этого:

  ещё в древности было замечено, что только вследствие идеализации появляется возможность установления многочисленных связей между рассматриваемыми объектами

  Здесь нет ни того, ни другого. И моей фразе написанное Яновым никак не противоречит. Независимо от того, существуют математические объекты реально или нет (и независимо от того, как эту реальность ты собираешься понимать) мое утверждение остается верным:

  одним из следствий этой идеализации является, наоборот, возможность установления многочисленных связей между рассматриваемыми объектами вплоть до построения иерархии между ними

  Eozhik (обс.) 11:16, 30 октября 2019 (UTC)
• И ни Платону, ни Аристотелю, ни Янову со Стенфордской энциклопедией оно не противоречит. Eozhik (обс.) 11:24, 30 октября 2019 (UTC)

• Идеализация не казалась Платону препятствием для изучения объектов математики, а, наоборот, была для него единственным возможным способом для их изучения. В его диалогах как раз выставлялись на посмешище те, кому идеализация казалась препятствием к изучению чего-либо. Думаю, Платон бы удивился, если бы ему сказали, что вопреки его ожиданиям, идеализация позволяет устанавливать связи между матобъектами. Хотя, еще раз повторяю, мне-то лично нынешний текст как раз нравится, но к нему нужны АИ. -- АлександрЛаптев (обс.) 11:29, 30 октября 2019 (UTC)

• АлександрЛаптев, где противоречие между написанным мной

  одним из следствий этой идеализации является, наоборот, возможность установления многочисленных связей между рассматриваемыми объектами вплоть до построения иерархии между ними

  и тем, что Вы пишете про Платона:

  Идеализация не казалась Платону препятствием для изучения объектов математики, а, наоборот, была для него единственным возможным способом для их изучения.

  ? Обычный человек, сравнив это, скажет, что одно подтверждает другое. Вы можете объяснить, в чем для Вас проблема? Eozhik (обс.) 11:35, 30 октября 2019 (UTC)

• Проблема в отсутствии АИ на то, что «Предельная идеализация объектов математики должна казаться препятствием к их изучению» и «вопреки этим ожиданиям, одним из следствий этой идеализации является, наоборот, возможность установления многочисленных связей между рассматриваемыми объектами». Ход мысли мне нравится, но на него нужны АИ. -- АлександрЛаптев (обс.) 11:37, 30 октября 2019 (UTC)

• Не прошло и пары часов. Зачем, спрашивается, нужно было это:

  «Предельная идеализация является условием для изучения объектов математики, ещё в древности было замечено, что только вследствие идеализации появляется возможность установления многочисленных связей между рассматриваемыми объектами ...». Вот так выглядела бы альтернативная точка зрения. Янов пишет про этот спор.

  ? Если дело только в выделенном жирным шрифтом, то мне это кажется очевидным. И цитат не требует. Но Вы, как любитель философии, можете найти что-нибудь. Eozhik (обс.) 11:48, 30 октября 2019 (UTC)

• Как любитель философии, могу сказать, что на это нельзя найти АИ, поскольку с точки зрения философии это безграмотно. -- АлександрЛаптев (обс.) 11:52, 30 октября 2019 (UTC)

• Это интересное заявление. Еще раз, Вы утверждаете, что нельзя найти источников на утверждение, что идеализация объектов должна казаться препятствием к их пониманию? Или к изучению связей между ними? Или в чем точно Ваше утверждение? Eozhik (обс.) 11:55, 30 октября 2019 (UTC)

• Я утверждаю, что идеализация матобъектов ни в коем случае не должна, но может казаться препятствием к их пониманию, и только для тех, кто придерживается эмпирической (аристотелевской) точки зрения и при этом совершенно не осведомлен о наличии иной (платоновской) точки зрения. -- АлександрЛаптев (обс.) 12:02, 30 октября 2019 (UTC)

• Если я правильно понимаю, источников не будет для этого утверждения

  «Предельная идеализация объектов математики должна казаться препятствием к их изучению»

  Но если заменить "должна" на "может", то источники найдутся. Так? Eozhik (обс.) 12:06, 30 октября 2019 (UTC)

• Думаю, можно найти источники на что-то вроде: «Предельная идеализация объектов математики может показаться препятствием к их изучению, однако еще в древности было замечено, что именно вследствие идеализации появляется возможность установить многочисленные связи между рассматриваемыми объектами вплоть до построения иерархии между ними с выделением элементарных объектов, из которых строятся все остальные. В античной математике такими элементарными объектами были (понимаемые в значительной мере интуитивно) числа и геометрические формы (точка, линия, поверхность и т. д.). В современной математике ими являются множества». -- АлександрЛаптев (обс.) 12:09, 30 октября 2019 (UTC)

1. Здесь вот эта деталь

именно вследствие идеализации появляется возможность установить многочисленные связи между рассматриваемыми объектами

— выглядит рискованной. И со здравым смыслом плохо согласуется. Чтобы устанавливать связи между какими-то объектами, совсем необязательно их идеализировать.

• Если принять, что «идеализация» ≈ «абстрагирование», то для установления связей нужна идеализация. -- АлександрЛаптев (обс.) 12:35, 30 октября 2019 (UTC)

• То есть Вы утверждаете, что любая связь подразумевает идеализацию? Eozhik (обс.) 13:03, 30 октября 2019 (UTC)

• Утверждаю, что результатом идеализации (абстрагирования) является установление абстрактных объектов и связей между ними (включая их иерархию). -- АлександрЛаптев (обс.) 13:30, 30 октября 2019 (UTC)

• Результатом абстрагирования является получение абстракций, которые можно изучать и находить связи? Сказанному мной

  Чтобы устанавливать связи между какими-то объектами, совсем необязательно их идеализировать.

  — это не противоречит. Я не вижу необходимости об этом говорить или где-то учитывать. Это как заявить, что "результатом книгопечатания будет получение книг и возможность эти книги изучать". Результатом любой деятельности будет что-то, что можно потом изучать и находить связи. Eozhik (обс.) 13:44, 30 октября 2019 (UTC)
• Мой тезис заключается в том, что менять эту фразу так, чтобы она подчеркивала идею, что без идеализации никакого изучения, и никаких связей, быть не может, не нужно, и, более того, это будет введением читателя в заблуждение. Связи можно самыми разными способами устанавливать, без какой-либо идеализации, например, экспериментом. Eozhik (обс.) 13:56, 30 октября 2019 (UTC)

2. Какие же источники Вы к этому видите?

• Поищу. -- АлександрЛаптев (обс.) 12:35, 30 октября 2019 (UTC)

• Получается, их надо найти. Если эти нюансы действительно важны. Eozhik (обс.) 13:06, 30 октября 2019 (UTC)

3. Все-таки для первоначальной формулировки, со словом "должна", Вы утверждаете, что источников не будет? Eozhik (обс.) 12:21, 30 октября 2019 (UTC)

• Думаю, нет. -- АлександрЛаптев (обс.) 12:35, 30 октября 2019 (UTC)

• Я не знаю, описано ли где-нибудь это явление, но мне кажется очевидным как раз то, что я говорю: идеализация должна казаться препятствием к пониманию чего-то любому, кто раньше о ней не задумывался и картин, демонстрирующих результаты ее применения, не видел. А поначалу об этом не задумывается никто и картин тоже не видит. И поэтому это относится ко всем. Обычно только в школе о ней начинают говорить и показывают результаты (и то не у всякого это в голове задерживается, и вдобавок эта идея может вступать в противоречие с опытом). Это заявление

  Как любитель философии, могу сказать, что на это нельзя найти АИ, поскольку с точки зрения философии это безграмотно

  — мне кажется поэтому несерьезным. Eozhik (обс.) 13:21, 30 октября 2019 (UTC)
• Однако слово "должна" я готов заменить на "может", потому что мне этот нюанс не кажется важным. Что связи можно установить только с помощью идеализации — это, по-моему, очевидный перебор. Например для родственных связей между людьми никакой идеализации не нужно. Eozhik (обс.) 13:25, 30 октября 2019 (UTC)

5

Я тут посмотрел свежие обсуждения по статусным статьям. Может, я действительно чрезмерно осторожен. Давайте вносить текст, вроде спорного чего-то там сейчас нет, а мелочи вроде оформления ссылок можно и в статье доработать в рабочем порядке. adamant (обс./вклад) 05:37, 16 ноября 2019 (UTC)

• Так что, я вывешиваю это? Eozhik (обс.) 05:52, 16 ноября 2019 (UTC)
  • Да. adamant (обс./вклад) 05:54, 16 ноября 2019 (UTC)

• Ну, хорошо. Eozhik (обс.) 05:56, 16 ноября 2019 (UTC)

• Adamant.pwn я это вывесил, но у меня не получается привести в порядок русскоязычные ссылки. Англоязычные вроде удалось упорядочить, в частности, повторяющаяся цитата из Кюнена в разделе "Примечания" приводится один раз (а не трижды, как раньше). Но как похожим образом упростить ссылки на русскоязычные источники я не понимаю. Например, ссылки на Келли как-то неправильно работают. Eozhik (обс.) 07:32, 16 ноября 2019 (UTC)

Главные идеи и результаты

Никола Бурбаки определяет математику как «науку об отношениях между объектами, о которых ничего не известно, кроме описывающих их некоторых свойств, — именно тех, которые в качестве аксиом положены в основание той или иной математической теории».

Предельная идеализация объектов математики может казаться препятствием к их изучению, однако еще в древности было замечено, что одним из следствий этой идеализации является, наоборот, возможность установления многочисленных связей между рассматриваемыми объектами вплоть до построения иерархии между ними с выделением элементарных объектов, из которых строятся все остальные. В античной математике такими элементарными объектами были (понимаемые в значительной мере интуитивно) числа и геометрические формы (точка, линия, поверхность и т. д.). В современной математике ими являются множества.

Этот факт можно считать результатом двух важных наблюдений, сделанных на самом начальном этапе развития теории множеств:

1. Декартово произведение $X\times Y$ двух множеств $X$ и $Y$ можно определить как множество упорядоченных пар $(x,y)$, с $x\in X$ и $y\in Y$, в котором сами упорядоченные пары $(x,y)$ определяются как множества вида $\{x,\{x,y\}\}$ (состоящие из двух элементов, $x$ и $\{x,y\}$, причем второй элемент — это множество из двух элементов, $x$ и $y$).
2. Функцию или отображение $f:X\to Y$ множества $X$ в множество $Y$ можно также определить как некое множество, а именно, как подмножество $f\subseteq X\times Y$, удовлетворяющее следующим двум условиям:

$\forall x\in X~\exists y\in Y:(x,y)\in f$	$\quad$	(«для любого $x\in X$ существует $y\in Y$, такой что $(x,y)\in f$»),
$\left((x,y)\in f\wedge (x,z)\in f\right)\implies y=z$	$\quad$	(«если $(x,y)\in f$ и $(x,z)\in f$, то $y=z$»).

Первое условие здесь означает, что каждому аргументу $x\in X$ сопоставлено некоторое значение $y\in Y$ функции $f$, а второе — что это значение единственно.

Из этих наблюдений следует вывод, серьезно повлиявший на отношение современников к теории множеств Кантора: все математические объекты, за исключением тех, которые используются в описании самого понятия множества, можно определить как множества с подходящими свойствами.

♦ Как иллюстрация, теория чисел может быть представлена как часть теории множеств, ее дефинициальное расширение, если заметить, что изучаемые ею объекты — числа — допускают описания как множества специального вида:

• Натуральные (неотрицательные целые) числа $\mathbb {N}$ естественно определяются как конечные ординалы (с отношением порядка и операциями сложения и умножения для ординалов).
• Целые числа $\mathbb {Z}$ затем определяются как элементы фактормножества декартова квадрата ${\mathbb {N} }\times {\mathbb {N} }$ множества $\mathbb {N}$ натуральных чисел, по отношению эквивалентности

$(n,m)\sim (n',m')~\iff ~n+m'=n'+m,$

с отношением порядка

$[(n,m)]\leq [(n',m')]~\iff ~n+m'\leq n'+m$

и алгебраическими операциями

$[(n,m)]+[(n',m')]=[(n+n',m+m')],$

$[(n,m)]\cdot [(n',m')]=[(n\cdot n'+m\cdot m',n\cdot m'+m\cdot n')],$

и при этом вложение $\mathbb {N}$ в $\mathbb {Z}$ описывается формулой

$k\in {\mathbb {N} }\mapsto [(k,0)]\in {\mathbb {Z} }$.

Класс эквивалентности $[(n,m)]$ интерпретируется как целое число $n-m$ в обычной записи (с $n,m\in {\mathbb {N} }$).

• Рациональные числа $\mathbb {Q}$ определяются как элементы фактормножества декартова произведения ${\mathbb {Z} }\times {\big (}{\mathbb {N} }\setminus \{0\}{\big )}$ множества $\mathbb {Z}$ целых чисел и множества ${\mathbb {N} }\setminus \{0\}$ натуральных чисел без нуля, по отношению эквивалентности

$(p,q)\sim (p',q')~\iff ~q'\cdot p=q\cdot p',$

с отношением порядка

$[(p,q)]\leq [(p',q')]~\iff ~q'\cdot p\leq q\cdot p'$

и алгебраическими операциями

$[(p,q)]+[(p',q')]=[(p\cdot q'+p'\cdot q,q\cdot q')],$

$[(p,q)]\cdot [(p',q')]=[(p\cdot p',q\cdot q')],$

и при этом вложение $\mathbb {Z}$ в $\mathbb {Q}$ описывается формулой

$k\in {\mathbb {Z} }\mapsto [(k,1)]\in {\mathbb {Q} }$.

Класс эквивалентности $[(p,q)]$ интерпретируется как рациональное число $p/q$ в обычной записи (с $p\in {\mathbb {Z} }$, $q\in {\mathbb {N} }\setminus \{0\}$).

• Вещественные числа $\mathbb {R}$ определяются как дедекиндовы сечения множества $\mathbb {Q}$ рациональных чисел (с индуцированными из $\mathbb {Q}$ алгебраическими операциями и отношением порядка).
• Комплексные числа $\mathbb {C}$ — как элементы декартова квадрата ${\mathbb {R} }\times {\mathbb {R} }$ множества $\mathbb {R}$ вещественных чисел с алгебраическими операциями

$(x,y)+(x',y')=(x+x',y+y')$,

$(x,y)\cdot (x',y')=(x\cdot x'-y\cdot y',x\cdot y'+y\cdot x'),$

и при этом вложение $\mathbb {R}$ в $\mathbb {C}$ описывается формулой

$a\in {\mathbb {R} }\mapsto (a,0)\in {\mathbb {C} }$.

Мнимая единица определяется в этой конструкции как пара $i=(0,1)$, и вместе с предыдущими обозначениями это дает тождество

$(x,y)=x+iy,\quad x,y\in {\mathbb {R} },$

интерпретируемое как обычная алгебраическая запись комплексного числа.

♦ Другая иллюстрация: математический анализ, как теория, описывающая свойства функций на вещественных числах, может считаться дефинициальным расширением теории множеств, потому что обе главные его конструкции — функция (отображение) и вещественное число — как уже было сказано выше, представляют собой множества.

♦ Следующая иллюстрация: в алгебре понятие группы описывается как множество $G$ с заданной на нем операцией $m:(x,y)\mapsto m(x,y)=x\cdot y$, отображающей декартов квадрат $G\times G$ в $G$, и обладающей нужными свойствами (ассоциативность, существование нейтрального элемента 1 и обратного элемента $x^{-1}\in G$ для каждого $x\in G$). Поскольку, как уже объяснялось, отображения представляют собой частный случай множеств, всю конструкцию группы можно интерпретировать как множество $G$ с дополнительной структурой в виде еще одного множества $m$ с определенными свойствами.

♦ Основная конструкция топологии, понятие топологического пространства определяется как произвольное множество $X$ с фиксированным множеством ${\mathcal {U}}$ подмножеств в $X$, содержащим $X$ и $\varnothing$, и замкнутым относительно объединений и конечных пересечений (такое множество ${\mathcal {U}}$ подмножеств в $X$ называется топологией на множестве $X$, а элементы ${\mathcal {U}}$ — открытыми множествами в $X$).

♦ Похожим образом, во всей остальной математике (исключая лишь некоторые области математической логики, служащие фундаментом для построения самой теории множеств и/или изучающие формально более общие вопросы) используемые понятия определяются как множества (возможно, некоторого специального вида) с заданными на них дополнительными структурами (которые также определяются как множества нужного вида). Таковы, в частности,

• решетки, кольца, модули, поля, векторные пространства, более широко, все алгебраические системы в алгебре,
• многообразия со всевозможными дополнительными структурами типа метрики, связности, кривизны и т.п. в геометрии,
• меры с порождаемыми ими пространствами функций и операторов в анализе,
• вероятностные пространства и случайные величины в теории вероятности,
• объекты с морфизмами в теории категорий, и т. д.

Фактически, все математические теории описываются ныне как дефинициальные расширения какой-нибудь теории множеств из разработанного для этих целей стандартного списка (причем в подавляющем большинстве случаев подходит любая теория из этого списка), и именно по этой причине теория множеств считается в наше время языком математики.

Развитие математики показало, что понятие множества само по себе требует аккуратного определения, чтобы недосказанности в понимании его свойств не приводили к противоречиям. Для решения этой проблемы правила построения теорий, подобных тем, где должны описываться свойства множеств, были строго формализованы, и в нынешних (аксиоматических) теориях, построенных по этим новым правилам, и называемых формальными теориями или теориями 1 порядка, элементы двусмысленности исключены, а выбираемые аксиомы проходят первичную проверку на предмет появления очевидных несуразностей.

Это позволило избавиться от всех появившихся в начале 20 века противоречий в математике (правда, без гарантий, что новые противоречия не появятся в будущем). С другой стороны, довольно быстро обнаружилось, что предпочтения в выборе аксиом у математиков неодинаковы, и это привело к появлению многочисленных неэквивалентных формальных теорий множеств. Наибольшей популярностью среди них пользуются ныне

• теория ZF Цермело — Френкеля с различными своими модификациями, в частности, с присоединенной к ней аксиомой выбора (этот вариант ZF имеет обозначение ZFC), и/или универсумом Гротендика,
• теория NBG фон Неймана — Бернайса — Геделя и
• теория MK Морса — Келли.

Считается, что у каждой из них есть свои достоинства и недостатки. Теория ZF исторически появилась первой, и для большинства математических задач ее обычно бывает достаточно, поэтому по употребительности она сильно опережает остальные. Однако в современных абстрактных областях математики, в частности, там, где используются методы теории категорий, как, например, в алгебре или в функциональном анализе, бывает желательно рассматривать образования, более общие, чем множества, так называемые классы, которых в ZF нет, и для этих целей обычно выбираются NBG или MK. Преимуществом NBG в этом списке является ее конечная аксиоматизируемость. Но по элегантности и спектру возможностей и ZF, и NBG уступают MK. Недостатком MK (как и NBG), тем не менее, является то, что в этой теории нет возможности рассматривать образования, более широкие, чем классы, содержащие произвольные классы как элементы (что также бывает желательно в некоторых математических дисциплинах, как, например, в теории категорий). Эта проблема предела возможностей решается иногда добавлением к MK (и точно так же этот прием работает в ZF и NBG) аксиомы существования универсума Гротендика с последующим переименованием объектов.

Вместе современные формальные теории множеств образуют некую систему с общими языком и методами (и различиями только в списках аксиом), целью которой является обеспечение математиков инструментами для построения всех остальных математических объектов, существующих, и тех, которые могут понадобиться в будущем, и эту систему теорий, вместе с той областью математики, внутри которой они строятся, математической логикой, принято называть основаниями математики. Как часть математической логики, сюда входят и альтернативные теории, где вместо множеств в качестве первичных понятий математики предлагаются другие формы, в частности, объекты абстрактных категорий, описываемых не по традиции (как конструкции в ZF, NBG или MK), а напрямую, как независимые формальные теории.

На что следует проставить источники

В целом, источники нужны на каждый абзац. Наиболее бросающиеся в глаза места, где они нужны:

• Предельная идеализация объектов математики должна казаться препятствием к их изучению, однако еще в древности было замечено, что, вопреки этим ожиданиям, одним из следствий этой идеализации является, наоборот, возможность установления многочисленных связей между рассматриваемыми объектами вплоть до построения иерархии между ними с выделением элементарных объектов, из которых строятся все остальные. В античной математике такими элементарными объектами были (понимаемые в значительной мере интуитивно) числа и геометрические формы (точка, линия, поверхность и т. д.). В современной математике ими являются множества.

1. «Должна казаться препятствием» — субъективное суждение, которое вообще не следует использовать без ссылки на АИ.
2. «В древности было замечено» — нужен АИ, который указывает на то, что это было обнаружено ещё в древности, как и на сам факт того, что следующее далее утверждение верно.
3. «В античной математике такими объектами были» и «в современной математике ими являются множества» — аналогично, нужен АИ на каждое из этих утверждений.

• Этот факт можно считать результатом двух важных наблюдений, сделанных на самом начальном этапе развития теории множеств:

  Нужен АИ, связывающий приведённые наблюдения с «этим фактом».

• Из этих наблюдений следует вывод, серьезно повлиявший на отношение современников к теории множеств Кантора: все математические объекты, за исключением тех, которые используются в описании самого понятия множества, можно определить как множества с подходящими свойствами.

  Нужен АИ, где это сформулировано и указано, что это повлияло на отношение современников к теории Кантора.

• Целые числа затем определяются как элементы фактормножества декартова квадрата множества натуральных чисел, по отношению эквивалентности

  Нужен АИ, указывающий, что их так принято определять, как и для рациональных, вещественных и комплексных чисел ниже.

• математический анализ, как теория, описывающая свойства функций на вещественных числах, может считаться дефинициальным расширением теории множеств, потому что обе главные его конструкции — функция (отображение) и вещественное число — как уже было сказано выше, представляют собой множества.

  Нужен АИ на то, что его кто-то с такой точки зрения рассматривает. Аналогично на все следующие далее примеры.

• Развитие математики показало, что понятие множества само по себе требует аккуратного определения, чтобы недосказанности в понимании его свойств не приводили к противоречиям. Для решения этой проблемы правила построения теорий, подобных тем, где должны описываться свойства множеств, были строго формализованы, и в нынешних (аксиоматических) теориях, построенных по этим новым правилам, и называемых формальными теориями или теориями 1 порядка, элементы двусмысленности исключены, а выбираемые аксиомы проходят первичную проверку на предмет появления очевидных несуразностей.

  Нужен АИ на абзац в целом.

• Наибольшей популярностью среди них пользуются ныне

  Нужен АИ, который выделяет именно эти три как наиболее популярные.

• Считается, что у каждой из них есть свои достоинства и недостатки. Теория ZF исторически появилась первой, и для большинства математических задач ее обычно бывает достаточно, поэтому по употребительности она сильно опережает остальные. Однако в современных абстрактных областях математики, в частности, там, где используются методы теории категорий, как, например, в алгебре или в функциональном анализе, бывает желательно рассматривать образования, более общие, чем множества, так называемые классы, которых в ZF нет, и для этих целей обычно выбираются NBG или MK. Преимуществом NBG в этом списке является ее конечная аксиоматизируемость. Однако по элегантности и спектру возможностей и ZF, и NBG уступают MK. Недостатком MK (как и NBG), тем не менее, является то, что в этой теории нет возможности рассматривать образования, более широкие, чем классы, содержащие произвольные классы как элементы (что также бывает желательно в некоторых математических дисциплинах, как, например, в теории категорий). Эта проблема предела возможностей решается иногда добавлением к MK (и точно так же этот прием работает в ZF и NBG) аксиомы существования универсума Гротендика с последующим переименованием объектов.

  Нужен АИ на весь абзац либо на каждое нетривиальное утверждение абзаца в отдельности (их тут много).

adamant (обс./вклад) 16:42, 7 ноября 2019 (UTC)

• Adamant.pwn, это, конечно, здорово, но контрольный вопрос: Вы не хотите такую же щепетильность проявить по отношению к уже написанному (и вывешенному) тексту? Eozhik (обс.) 16:57, 7 ноября 2019 (UTC)
  • По отношению к написанному тексту её должны были проявлять на Википедия:Кандидаты в избранные статьи/Основания математики. Если ваш вопрос не риторический — когда разберёмся с вашими правками, можно пройтись и по остальной части текста. Это явно потребует достаточно много времени и сил, поэтому прямо сейчас проводить аудит всей статьи я не готов. adamant (обс./вклад) 19:38, 7 ноября 2019 (UTC)

• Я был уверен, Вы еще в поездке. Сейчас я у меня нет времени, но обратите внимание, что на большую часть из того, что Вы спрашиваете, ссылки уже есть. Их можно повторять, наверное, если это действительно важно. Eozhik (обс.) 19:45, 7 ноября 2019 (UTC)
  • Да, будет лучше продублировать. adamant (обс./вклад) 20:56, 7 ноября 2019 (UTC)

• Adamant.pwn, сейчас у меня появилось некоторое время, но долго заниматься этим я не смогу. Я добавил ссылок, как Вы хотели, однако, во-первых, получается очень много дублей, и очевидно, что так писать тексты нельзя. Я привел это только для того, чтобы формалист мог убедиться, что там, где действительно могут возникнуть сомнения, ссылки есть. В окончательном варианте нужно будет эти ссылки сокращать. Во-вторых, на часть из того, что Вы хотите, ссылки уже есть. Например, на это:

  Целые числа затем определяются как элементы фактормножества декартова квадрата множества натуральных чисел, по отношению эквивалентности

  Нужен АИ, указывающий, что их так принято определять, как и для рациональных, вещественных и комплексных чисел ниже.

  — ссылками являются Эндертон, Ройтман и Чижельский. В-третьих, на остальное ссылки мне в голову не приходят, потому что это очевидно. Например, это

  математический анализ, как теория, описывающая свойства функций на вещественных числах, может считаться дефинициальным расширением теории множеств, потому что обе главные его конструкции — функция (отображение) и вещественное число — как уже было сказано выше, представляют собой множества.

  Нужен АИ на то, что его кто-то с такой точки зрения рассматривает. Аналогично на все следующие далее примеры.

  Я предлагаю сделать так: если Вы по-прежнему настаиваете на чем-то еще, Вы напишите здесь. Если нет, то, мне кажется, давно пора заканчивать это обсуждение и вывешивать текст (убрав лишние ссылки). Eozhik (обс.) 07:24, 9 ноября 2019 (UTC)
• Adamant.pwn, я так понимаю, Вы снова в поездке. Господа, здесь есть вообще математики? Так хочется поговорить с кем-нибудь, кому нет нужды отлучаться. Eozhik (обс.) 16:55, 10 ноября 2019 (UTC)
  • Я не в поездке, но отвечать с той оперативностью, которую вы от меня ожидаете, я сейчас не могу. Пожалуйста, имейте немного терпения. На мой взгляд, со ссылками всё ещё стоит поработать. Например, «В-третьих, на остальное ссылки мне в голову не приходят, потому что это очевидно» не должно служить оправданием тому, чтобы ссылок не было. Ссылки нужны не только для обоснования приведённых утверждений (хотя ВП:ПРОВ никто не отменял), но и чтобы показать, что википедия не является первичным источником указанных нетривиальных фактов, а также чтобы показать значимость этих фактов. Например, чтобы показать не просто то, что группы могут быть представлены как множества, но и то, что кто-то действительно рассматривает их с этой точки зрения. Некоторые упомянутые мной места остались без ссылок и я всё ещё считаю, что они там нужны. Убрать лишние (если они на самом деле будут лишними) мы всегда успеем.
    «Начала Евклида. Книги I—VI», кстати, очень расплывчатая ссылка — в избранных статьях лучше делать ссылки с точностью хотя бы до главы. Есть ещё какие-то чисто оформительские вопросы, например то, что по формату ссылки стоит привести к единообразию к тому, как они уже используются в статье (выделить крупные в Основания математики#Литература и ссылаться на них через ш:sfn-текст или подобный шаблон и в целом использовать шаблоны ш:книга и ш:статья для оформления ссылок). Но таким, наверно, можно уже и после внесения изменений заняться… adamant (обс./вклад) 22:57, 10 ноября 2019 (UTC)

• Adamant.pwn, Ваша неожиданно пробудившаяся гиперосторожность выглядит очень странной. Вот, например:

  чтобы показать не просто то, что группы могут быть представлены как множества, но и то, что кто-то действительно рассматривает их с этой точки зрения.

  Как прикажете к этому относиться? Что, есть учебники, где группы описываются иначе? То есть наверное в учебниках по логике можно увидеть упоминание теории групп как пример теории 1 порядка. Но никакой теории групп там не развивается. Только пример. А везде, где эта теория развивается, то есть в учебниках по алгебре, группы определяются как множества. И что означает эта Ваша щепетильность? Eozhik (обс.) 02:22, 11 ноября 2019 (UTC)
• Об остальном: 1. Проблему с избранностью статьи, на которую Вы все время ссылаетесь, я думаю, логично решить сняв со статьи эту избранность. Вы можете объяснить, как это делается? 2. Вы обещали помочь со ссылками. Поскольку остались только ссылки на очевидные факты, я думаю, Вы вполне можете тут поучаствовать, если считаете это важным. 3. И Вы можете установить хотя бы приблизительный срок, когда это Ваше участие проявится, а мнение сформируется? Eozhik (обс.) 02:39, 11 ноября 2019 (UTC)
  • Снимать статью с избранной здесь. Только учтите, что там некоторые статьи с 2018 года предлагают снять со статуса и это в принципе дело не очень популярное, так что запрос может там повиснуть. Может произойти и противоположная ситуация — номинацию быстро закроют с вердиктом об оставлении статуса, тут уж предсказывать не берусь.
    На счёт групп — в учебниках их описывают именно как «множество с заданной на нём операцией», а не как «множество с дополнительной структурой в виде ещё одного множества». Утверждение о том, что группу можно так интерпретировать предполагает указание на какой-нибудь АИ, который прямым текстом так её интерпретирует. Если группы действительно везде определяются как множества, то, думаю, проставить какой-нибудь источник, который так их определяет не составит труда. «Эта моя щепетильность» означает, что я нахожу разумными некоторые местные правила относительно ссылок на источники.
    Да, я обещал помочь со ссылками, я этим займусь. Если я смогу выделить на это время, моё участие проявится в ближайшие ~три дня. Иначе в ближайшие ~восемь дней. adamant (обс./вклад) 03:43, 11 ноября 2019 (UTC)

• Да, вот это

  «множество с заданной на нём операцией», а не как «множество с дополнительной структурой в виде ещё одного множества».

  — иллюстрация к тому, что я писал тут:

  Это как если бы кто-то написал в тексте, что $365\times 12=4380$ (делая из этого какие-то важные выводы), но этот абзац выбросили бы из статьи, потому что авторитетного источника, где было бы написано, что действительно $365\times 12=4380$, найти не удалось.

  Есть источники на утверждение, что группа — это пара, состоящая из множества и операции на нем, есть источники, что любая пара и любая операция — это множества, но сделать вывод, что группа — множество, нельзя. Потому что правила этого междусобойчика случайным людям такое не позволяют. Формально это закрыло бы возможность вообще что-то писать, но ситуация разрешается тем, что неслучайным людям, собственно участникам этого междусобойчика, можно гораздо больше, чем другим, в частности, правила на них распространяются только в той мере, в какой они сами считают это допустимым. В 2014 под впечатлением от этого абсурда я предложил изменить правила, чтобы автору было позволено хотя бы самостоятельно производить арифметические вычисления и элементарные действия из аристотелевой логики. Но тут в дополнение ко всем красотам обнаружилась некомпетентность участников самого междусобойчика, не давшая им возможности вообще понять, о чем речь. И как же, Adamant.pwn, нам решать эту проблему сейчас? Eozhik (обс.) 04:16, 11 ноября 2019 (UTC)
  • Да я сам не так давно подобное обсуждение поднимал на фоне того, что мне заявили, что раздел «Пример» в статье Метод Берлекэмпа — это ОРИСС… :)
    На счёт как решать проблему — сейчас нам всё же стоит поискать источники на все эти утверждения. Я этим, скорее всего, займусь или в середине этой, или в начале следующей недели, как я уже писал. Вот если поищем и не найдём, тогда и подумаем, что с этим делать. adamant (обс./вклад) 04:26, 11 ноября 2019 (UTC)

• Я думаю, что легче было бы просто проявить честность и согласиться, что это так. Но как хотите. Eozhik (обс.) 04:31, 11 ноября 2019 (UTC)

• Прошу дать указание на конкретную страницу в издании Евклида 1948 года, на которой говорится, что «Предельная идеализация объектов математики должна казаться препятствием к их изучению, однако еще в древности было замечено[2], что, вопреки этим ожиданиям, одним из следствий этой идеализации является, наоборот, возможность установления многочисленных связей между рассматриваемыми объектами вплоть до построения иерархии между ними с выделением элементарных объектов, из которых строятся все остальные.»[2] К сожалению, пока мне ничего подобного в этой книге найти не удалось. -- АлександрЛаптев (обс.) 07:24, 11 ноября 2019 (UTC)

• АлександрЛаптев если Вы ищете такую цитату у Евклида, то ее там нет. Я привел его как первичный источник. Eozhik (обс.) 06:05, 12 ноября 2019 (UTC)

• Тогда сноска некорректная, текст она не подтверждает, прошу её убрать. -- АлександрЛаптев (обс.) 07:05, 12 ноября 2019 (UTC)

• АлександрЛаптев мне эта сноска не нравится по другим причинам: потому что ее пришлось несколько раз повторить по просьбе присутствующих. И из-за этого я пока не хочу ее удалять в повторах. Но один раз сослаться в этом абзаце на Евклида полезно. И формально первичные источники указывать можно. Eozhik (обс.) 07:22, 12 ноября 2019 (UTC)

• Можно указывать те источники, которые подтверждают текст. Источники, которые текст не подтверждают, указывать нельзя. См. ВП:ЧД и Шаблон:Нет в источнике. -- АлександрЛаптев (обс.) 07:27, 12 ноября 2019 (UTC)

• АлександрЛаптев вот как это понимать:

  Можно указывать те источники, которые подтверждают текст. Источники, которые текст не подтверждают, указывать нельзя.

  ? Евклид построил аксиоматическую систему, выделив в ней первичные объекты, как это всегда бывает в аксиоматических системах, и я сказать об этом и сослаться на него не имею право? Eozhik (обс.) 07:39, 12 ноября 2019 (UTC)

• Евклид ничего не говорил о том, что «предельная идеализация объектов математики должна казаться препятствием к их изучению, однако еще в древности было замечено, что, вопреки этим ожиданиям, одним из следствий этой идеализации является, наоборот, возможность установления многочисленных связей между рассматриваемыми объектами вплоть до построения иерархии между ними с выделением элементарных объектов, из которых строятся все остальные», поэтому просьба не ссылаться на него для подтверждения этих слов. -- АлександрЛаптев (обс.) 08:15, 12 ноября 2019 (UTC)

• Убрал. Контрольный вопрос: Вы по-прежнему с этим заявлением не согласны? Eozhik (обс.) 08:25, 12 ноября 2019 (UTC)

• Оно мне кажется не вполне корректным. Это как если бы в избранной статье «Комплексные числа» было написано, что «извлечение корня чётной степени из отрицательного числа должно показаться невозможным, однако ещё в Средние века было показано, что, вопреки ожиданиям, это можно сделать». С тех пор, как в 1968 году комплексные числа исключили из школьной программы, это и в самом деле должно показаться неожиданным большинству населения. ) -- АлександрЛаптев (обс.) 08:47, 12 ноября 2019 (UTC)

• Да, это аргумент. Надо подумать как поправить. Если у Вас есть соображения на этот счет — поделитесь. Eozhik (обс.) 08:53, 12 ноября 2019 (UTC)

АлександрЛаптев, так нормально будет?

Предельная идеализация объектов математики может казаться препятствием к их изучению, однако еще в древности было замечено, что одним из следствий этой идеализации является, наоборот, возможность установления многочисленных связей между рассматриваемыми объектами вплоть до построения иерархии между ними с выделением элементарных объектов, из которых строятся все остальные.

Eozhik (обс.) 09:00, 12 ноября 2019 (UTC)

• В такой редакции возражений нет. -- АлександрЛаптев (обс.) 09:10, 12 ноября 2019 (UTC)

• Поправил. Совсем убирать упоминание об интуитивных ожиданиях мне кажется, будет неправильным, потому что здесь имеется нетривиальная мысль. Как показывает обсуждение этой статьи, даже авторам википедии глубоко неочевидно (было, по крайней мере), что в математике можно выделять элементарные объекты из которых все остальные математические объекты строятся, и тем более неочевидны детали этих построений. Eozhik (обс.) 09:23, 12 ноября 2019 (UTC)

• В такой редакции текст не вызывает никаких возражений и на него нетрудно найти источник, я поставил ссылку. -- АлександрЛаптев (обс.) 11:54, 12 ноября 2019 (UTC)

• Спасибо. Книга, я смотрю, недавно вышедшая, мне понадобится время, чтобы найти ее. Eozhik (обс.) 12:26, 12 ноября 2019 (UTC)