Алгебраическая система

(перенаправлено с «Алгебраические системы»)

Алгебраическая система в универсальной алгебре — непустое множество (носитель) с заданным на нём набором операций и отношений (сигнатурой). Алгебраическая система с пустым множеством отношений называется алгеброй, а система с пустым множеством операций — моделью.

-арная операция на  — это отображение прямого произведения экземпляров множества в само множество . По определению, нульарная операция — это просто выделенный элемент множества. Чаще всего рассматриваются унарные и бинарные операции, поскольку с ними легче работать, но в связи с нуждами топологии, алгебры, комбинаторики постепенно накапливается техника работы с операциями большей арности, здесь в качестве примера можно привести теорию операд (клонов полилинейных операций) и алгебр над ними (мультиоператорных алгебр).

Понятие возникло из наблюдений за общностью конструкций, характерных для различных общеалгебраических структур, таких как группы, кольца, решётки; в частности, таковы конструкции подсистемы (обобщающей понятия подгруппы, подкольца, подрешётки соответственно), гомоморфизма, изоморфизма, факторсистемы (обобщающей соответственно конструкции фактогруппы, факторкольца, факторрешётки). Эта общность изучается в самостоятельном разделе общей алгебры — универсальной алгебре, при этом получен ряд содержательных результатов, характерных для любых алгебраических систем, например, такова теорема о гомоморфизме, которая в случае алгебраической системы без заданных отношений — алгебры — уточняется до теорем об изоморфизме, известных ранее из теории групп и теории колец.

В математике с той или иной степенью строгости также используется понятие «алгебраической структуры». В частности, у Бурбаки оно формализовано как множество, наделённое операциями; при этом множество, наделённое отношениями (наличие которых возможно для алгебраической системы), уже рассматривается как математическая структура другого рода — структура порядка. Однако и не все алгебраические структуры описываются алгебраическими системами без дополнительных конструкций, в качестве примера таковых можно упомянуть коалгебры, биалгебры, алгебры Хопфа и комодули над ними; кроме того, даже для определения таких классических структур, как модуля над кольцом или алгебры над полем, в универсальной алгебре используются такие искусственные конструкции, как определение для каждого элемента кольца (поля) унарной операции умножения на этот элемент.

Основные классы алгебраических систем

править
  • Множество можно считать вырожденной алгебраической системой с пустым набором операций и отношений[1].

Группоиды, полугруппы, группы

править
  • Группоид — множество с одной бинарной операцией  , обычно называемой умножением.
  • Правая квазигруппа — группоид, в котором возможно правое деление, то есть уравнение   имеет единственное решение для любых   и  .
  • Квазигруппа — одновременно правая и левая квазигруппа.
  • Лупа — квазигруппа с нейтральным элементом  , таким, что  .
  • Полугруппа — группоид, в котором умножение ассоциативно:  .
  • Моноид — полугруппа с нейтральным элементом.
  • Группа — моноид, в котором для каждого элемента a группы можно определить обратный элемент a−1, такой, что  .
  • Абелева группа — группа, в которой операция коммутативна, то есть  . Операцию в абелевой группе часто называют сложением ('+').

Кольца

править
  • Кольцо — структура с двумя бинарными операциями (абелева группа по сложению с заданной второй ассоциативной бинарной операцией — умножением), в которой выполняется закон дистрибутивности:  .
  • Коммутативное кольцо — кольцо с коммутативным умножением.
  • Целостное кольцо — кольцо, в котором произведение двух ненулевых элементов не равно нулю.
  • Тело — кольцо, в котором ненулевые элементы образуют группу по умножению.
  • Поле — коммутативное кольцо, являющееся телом.
  • Полукольцо — похоже на кольцо, но без обратимости сложения.
  • Почтикольцо — также обобщение кольца, отличающееся от обычного кольца отсутствием требования коммутативности сложения и отсутствием требования дистрибутивности умножения по сложению (левой или правой)

Алгебры

править

Решётки

править

Примечания

править
  1. Курош А. Г. Общая алгебра. — М.: Наука, 1974. С.15

Литература

править
  • Артамонов В. А. . Глава VI. Универсальные алгебры // Общая алгебра / Под общ. ред. Л. А. Скорнякова. — М.: Наука, 1991. — Т. 2. — С. 295—367. — 480 с. — (Справочная математическая библиотека). — 25 000 экз. — ISBN 5-9221-0400-4.
  • Кон П. Универсальная алгебра. — М.: Мир, 1969. — 351 с.
  • Мальцев А. И. Алгебраические системы. — М.: Наука, 1970. — 392 с. — 17 500 экз.