Распределение Коши

Распределе́ние Коши́ в теории вероятностей (также называемое в физике распределе́нием Ло́ренца и распределе́нием Бре́йта — Ви́гнера) — класс абсолютно непрерывных распределений. Случайная величина, имеющая распределение Коши, является стандартным примером величины, не имеющей математического ожидания и дисперсии.

Распределение Коши
Зелёная кривая соответствует стандартному распределению КошиПлотность вероятности
Цвета находятся в соответствии с графиком вышеФункция распределения
Обозначение	$\mathrm {C} (x_{0},\gamma )$
Параметры	$x_{0}$ — коэффициент сдвига $\gamma >0$ — коэффициент масштаба
Носитель	$x\in (-\infty ;+\infty )$
Плотность вероятности	${\frac {1}{\pi \gamma \,\left[1+\left({\frac {x-x_{0}}{\gamma }}\right)^{2}\right]}}$
Функция распределения	${\frac {1}{\pi }}\mathrm {arctg} \left({\frac {x-x_{0}}{\gamma }}\right)+{\frac {1}{2}}$
Математическое ожидание	не существует
Медиана	$x_{0}$
Мода	$x_{0}$
Дисперсия	не существует
Коэффициент асимметрии	не существует
Коэффициент эксцесса	не существует
Дифференциальная энтропия	$\ln(4\,\pi \,\gamma )$
Производящая функция моментов	не определена
Характеристическая функция	$\exp(x_{0}\,i\,t-\gamma \,|t|)$

Определение

Пусть распределение случайной величины $X$ задаётся плотностью $f_{X}(x)$, имеющей вид:

$f_{X}(x)={\frac {1}{\pi \gamma \left[1+\left({\frac {x-x_{0}}{\gamma }}\right)^{2}\right]}}={1 \over \pi }\left[{\gamma \over (x-x_{0})^{2}+\gamma ^{2}}\right]$,

где

• $x_{0}\in \mathbb {R}$ — параметр сдвига;
• $\gamma >0$ — параметр масштаба.

Тогда говорят, что $X$ имеет распределение Коши и пишут $X\sim \mathrm {C} (x_{0},\gamma )$. Если $x_{0}=0$ и $\gamma =1$, то такое распределение называется станда́ртным распределением Коши.

Функция распределения

Функция распределения Коши имеет вид:

$F_{X}(x)={\frac {1}{\pi }}\,\mathrm {arctg} \,\left({\frac {x-x_{0}}{\gamma }}\right)+{\frac {1}{2}}$.

Она строго возрастает и имеет обратную функцию:

$F_{X}^{-1}(x)=x_{0}+\gamma \,\mathrm {tg} \,\left[\pi \,\left(x-{1 \over 2}\right)\right].$

Это позволяет генерировать выборку из распределения Коши с помощью метода обратного преобразования.

Моменты

Так как интеграл Лебега

$\int \limits _{-\infty }^{\infty }\!x^{\alpha }f_{X}(x)\,dx$

не определён для $\alpha \geqslant 1$, ни математическое ожидание (хотя интеграл 1-го момента в смысле главного значения равен: $\lim \limits _{c\rightarrow \infty }\int \limits _{-c}^{c}x\cdot {1 \over \pi }\left[{\gamma \over (x-x_{0})^{2}+\gamma ^{2}}\right]\,dx=x_{0}$ ), ни дисперсия, ни моменты старших порядков этого распределения не определены. Иногда говорят, что математическое ожидание не определено, а дисперсия бесконечна.

Другие свойства

• Распределение Коши бесконечно делимо.
• Распределение Коши устойчиво. В частности, выборочное среднее выборки из стандартного распределения Коши само имеет стандартное распределение Коши: если $X_{1},\ldots ,X_{n}\sim \mathrm {C} (0,1)$, то

${\overline {X}}={\frac {1}{n}}\sum \limits _{i=1}^{n}X_{i}\sim \mathrm {C} (0,1)$

Связь с другими распределениями

• Если $U\sim U[0,1]$, то

$x_{0}+\gamma \,\mathrm {tg} \,\left[\pi \left(U-{1 \over 2}\right)\right]\sim \mathrm {C} (x_{0},\gamma )$.

• Если $X_{1},X_{2}$ — независимые нормальные случайные величины, такие что $X_{i}\sim \mathrm {N} (0,1),\;i=1,2$, то

${\frac {X_{1}}{X_{2}}}\sim \mathrm {C} (0,1)$.

• Стандартное распределение Коши является частным случаем распределения Стьюдента:

$\mathrm {C} (0,1)\equiv \mathrm {t} (1)$.

Появление в практических задачах

• Распределением Коши характеризуется длина отрезка, отсекаемого на оси абсцисс прямой, закреплённой в точке на оси ординат, если угол между прямой и осью ординат имеет равномерное распределение на интервале (−π; π) (то есть направление прямой изотропно на плоскости). По сути это означает следующее:

Если $U\sim U[0,1]$, то $\pi \ \left(U-{1 \over 2}\right)\sim$ $U$(−$\pi /2,\pi /2$), поэтому $\mathrm {tg} \,\left[\pi \left(U-{1 \over 2}\right)\right]\sim \mathrm {C} (0,1)$. В силу периодичности тангенса равномерность на интервале (−π/2; π/2) одновременно означает равномерность на интервале (−π; π).

• В физике распределением Коши (называемым также формой Лоренца) описываются профили равномерно уширенных спектральных линий.
• Распределение Коши описывает амплитудно-частотные характеристики линейных колебательных систем в окрестности резонансных частот.