Тригонометрические функции

(перенаправлено с «Косеканс»)
Запросы «sin» и «синус» перенаправляются сюда; у терминов sin и синус есть также другие значения.

Тригонометри́ческие фу́нкции — элементарные функции[1], которые исторически возникли при рассмотрении прямоугольных треугольников и выражали зависимости длин сторон этих треугольников от острых углов при гипотенузе (или, что равнозначно, зависимость хорд и высот от центрального угла дуги в круге). Эти функции нашли широкое применение в самых разных областях науки. По мере развития математики определение тригонометрических функций было расширено, в современном понимании их аргументом может быть произвольное вещественное или комплексное число.

Рис. 1.
Графики тригонометрических функций:      синуса,      косинуса,      тангенса,      котангенса,      секанса,      косеканса

Раздел математики, изучающий свойства тригонометрических функций, называется тригонометрией.

К тригонометрическим функциям традиционно причисляют:

прямые тригонометрические функции:
  • синус ();
  • косинус ();
производные тригонометрические функции:
  • тангенс ;
  • котангенс ;
  • секанс ;
  • косеканс ;
обратные тригонометрические функции:
  • арксинус, арккосинус и т. д.

В типографике литературы на разных языках сокращённое обозначение тригонометрических функций различно, например, в англоязычной литературе тангенс, котангенс и косеканс обозначаются , , . До Второй мировой войны в Германии и во Франции эти функции обозначались так же, как принято в русскоязычных текстах[2], но потом в литературе на языках этих стран был принят англоязычный вариант записи тригонометрических функций.

Кроме этих шести широко известных тригонометрических функций, иногда в литературе используются некоторые редко используемые тригонометрические функции (версинус и т. д.).

Синус и косинус вещественного аргумента представляют собой периодические, непрерывные и бесконечно дифференцируемые вещественнозначные функции. Остальные четыре функции на вещественной оси также вещественнозначны, периодичны и бесконечно дифференцируемы, за исключением счётного числа разрывов второго рода: у тангенса и секанса в точках , а у котангенса и косеканса — в точках .
Графики тригонометрических функций показаны на рис. 1.

Способы определенияПравить

Определение для острых угловПравить

 
Рис. 4.
Тригонометрические функции острого угла

В геометрии тригонометрические функции острого угла определяются отношениями сторон прямоугольного треугольника[3]. Пусть   — прямоугольный, с острым углом   и гипотенузой  . Тогда:

  •   (синусом угла   называется отношение противолежащего катета к гипотенузе);
  •   (косинусом угла   называется отношение прилежащего катета к гипотенузе);
  •   (тангенсом угла   называется отношение противолежащего катета к прилежащему);
  •   (котангенсом угла   называется отношение прилежащего катета к противолежащему);
  •   (секансом угла   называется отношение гипотенузы к прилежащему катету);
  •   (косекансом угла   называется отношение гипотенузы к противолежащему катету).

Данное определение имеет некоторое методическое преимущество, так как не требует введения понятия системы координат, но также и такой крупный недостаток, что невозможно определить тригонометрические функции даже для тупых углов, которые необходимо знать при решении элементарных задач о тупоугольных треугольниках. (См.: теорема синусов, теорема косинусов).

Определение для любых угловПравить

 
Рис. 2.
Определение тригонометрических функций

Обычно тригонометрические функции определяются геометрически[4]. В декартовой системе координат на плоскости построим окружность единичного радиуса ( ) с центром в начале координат  . Всякий угол станем рассматривать как поворот от положительного направления оси абсцисс до некоторого луча   (точку   выбираем на окружности), при этом направление поворота против часовой стрелки считаем положительным, а по часовой стрелке — отрицательным. Абсциссу точки   обозначим  , а ординату  (см. рисунок 2).

 
Рис. 3.
Численные значения тригонометрических функций угла   в тригонометрической окружности с радиусом, равным единице

Определим функции следующим образом:

  •  ,  ;
  •  ,  ;
  •  ,  .

Нетрудно видеть, что такое определение так же основывается на отношениях прямоугольного треугольника, с тем отличием, что учитывается знак ( ). Поэтому тригонометрические функции можно определить и по окружности произвольного радиуса  , однако формулы придётся нормировать. На рисунке 3 показаны величины тригонометрических функций для единичной окружности.

В тригонометрии удобным оказывается вести счёт углов не в градусной мере, а в радианной. Так, угол в   запишется длиной единичной окружности  . Угол в   равен, соответственно   и так далее. Заметим, что угол на   отличающийся от   по рисунку эквивалентен  , вследствие чего заключим, что тригонометрические функции периодичны.

Наконец, определим тригонометрические функции вещественного числа   тригонометрическими функциями угла, радианная мера которого равна  .

Определение как решений дифференциальных уравненийПравить

Синус и косинус можно определить как единственные функции, вторые производные которых равны самим функциям, взятым со знаком минус:

 
 

То есть задать их как чётное (косинус) и нечётное (синус) решения дифференциального уравнения

 

с дополнительными условиями:   для косинуса и   для синуса.

Определение как решений функциональных уравненийПравить

Функции косинус и синус можно определить[5] как решения (  и   соответственно) системы функциональных уравнений:

 

при дополнительных условиях:

    и   при  .

Определение через рядыПравить

Используя геометрию и свойства пределов, можно доказать, что производная синуса равна косинусу, и что производная косинуса равна минус синусу. Тогда можно воспользоваться теорией рядов Тейлора и представить синус и косинус в виде степенны́х рядов:

 
 

Пользуясь этими формулами, а также равенствами       и   можно найти разложения в ряд и других тригонометрических функций:

 
 
 
 

где

  — числа Бернулли,
  — числа Эйлера.

Значения тригонометрических функций для некоторых угловПравить

Значения синуса, косинуса, тангенса, котангенса, секанса и косеканса для некоторых углов приведены в таблице. (« » означает, что функция в указанной точке не определена, а в её окрестности стремится к бесконечности).

 
Значения косинуса и синуса на окружности
Радианы                
Градусы                
                 
                 
                 
                 
                 
                 

Значения тригонометрических функций нестандартных угловПравить

Радианы                  
Градусы                  
                   
                   
                   
                   
                   
                   


Радианы                
Градусы                
                 
                 
                 
                 
                 
                 


Свойства тригонометрических функцийПравить

Простейшие тождестваПравить

Поскольку синус и косинус являются соответственно ординатой и абсциссой точки, соответствующей на единичной окружности углу α, то, согласно уравнению единичной окружности ( ) или теореме Пифагора, имеем:

 

Это соотношение называется основным тригонометрическим тождеством.

Разделив это уравнение на квадрат косинуса и синуса соответственно, получим:

 
 

Из определения тангенса и котангенса следует, что

 

Любую тригонометрическую функцию можно выразить через любую другую тригонометрическую функцию с тем же аргументом (с точностью до знака из-за неоднозначности раскрытия квадратного корня). Нижеприведённые формулы верны для  :

  sin cos tg ctg sec cosec
             
             
             
             
             
             

НепрерывностьПравить

ЧётностьПравить

Косинус и секанс — чётные. Остальные четыре функции — нечётные, то есть:

 
 
 
 
 
 

ПериодичностьПравить

Функции   — периодические с периодом  , функции   и   — c периодом  .

Формулы приведенияПравить

Формулами приведения называются формулы следующего вида:

 
 
 
 

Здесь   — любая тригонометрическая функция,   — соответствующая ей кофункция (то есть косинус для синуса, синус для косинуса, тангенс для котангенса, котангенс для тангенса, секанс для косеканса и косеканс для секанса),   — целое число. Перед полученной функцией ставится тот знак, который имеет исходная функция в заданной координатной четверти при условии, что угол   острый, например:

  или что то же самое:  

Некоторые формулы приведения:

               
               
               
               
               

Интересующие формулы приведения так же могут легко быть получены рассмотрением функций на единичной окружности.

Формулы сложения и вычитанияПравить

Значения тригонометрических функций суммы и разности двух углов:

 
 
 
 

Аналогичные формулы для суммы трёх углов:

 
 

Формулы для кратных угловПравить

Формулы двойного угла:

 
 
 
 

Формулы тройного угла:

 
 
 
 

Прочие формулы для кратных углов:

 
 
 
 
 
 
 
 
  следует из формулы дополнения и формулы Гаусса для гамма-функции.

Из формулы Муавра можно получить следующие общие выражения для кратных углов:

 
 
 
 

где   — целая часть числа  ,   — биномиальный коэффициент.

Формулы половинного угла:

 
 
 
 
 
 

ПроизведенияПравить

Формулы для произведений функций двух углов:

 
 
 
 
 
 

Аналогичные формулы для произведений синусов и косинусов трёх углов:

 
 
 
 

Формулы для произведений тангенсов и котангенсов трёх углов можно получить, поделив правые и левые части соответствующих равенств, представленных выше.

СтепениПравить

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Иллюстрация равенства  

СуммыПравить

 
 
 
 
 
 
 

Существует представление:

 

где угол   находится из соотношений:

 
 

Универсальная тригонометрическая подстановкаПравить

Все тригонометрические функции можно выразить через тангенс половинного угла:

 

 

 

 

 

 


Исследование функций в математическом анализеПравить

Разложение в бесконечные произведенияПравить

Тригонометрические функции могут быть представлены в виде бесконечного произведения многочленов:

 
 

Эти соотношения выполняются при любом значении  .

Непрерывные дробиПравить

Разложение тангенса в непрерывную дробь: