Компа́ктное простра́нство — определённый тип топологических пространств, обобщающий свойства ограниченности и замкнутости в евклидовых пространствах на произвольные топологические пространства.

В общей топологии компактные пространства по своим свойствам напоминают конечные множества в теории множеств.

Определение

править

Компактное пространство — топологическое пространство, в любом покрытии которого открытыми множествами найдётся конечное подпокрытие[1].

Изначально такое свойство называлось бикомпактностью (этот термин был введён П. С. Александровым и П. С. Урысоном), а в определении компактности использовались счётные открытые покрытия. Впоследствии более общее свойство бикомпактности оказалось более популярным и постепенно стало называться просто компактностью. Сейчас термин «бикомпактность» употребляется в основном лишь топологами школы П. С. Александрова. Для пространств, удовлетворяющих второй аксиоме счётности, первоначальное определение компактности равносильно современному[2].

Бурбаки и его последователи включают в определение компактности свойство хаусдорфовости пространства[2].

Примеры компактных множеств

править

Связанные определения

править
  • Подмножество топологического пространства T, являющееся в индуцированной T топологии компактным пространством, называется компактным множеством.
  • Множество называется предкомпактным (или компактным относительно T), если его замыкание в T компактно[3].
  • Пространство называется секвенциально компактным, если из любой последовательности в нём можно выделить сходящуюся подпоследовательность.
  • Локально компактное пространство — топологическое пространство, в котором любая точка имеет окрестность, замыкание которой компактно.
  • Ограниченно компактное пространство — метрическое пространство, в котором все замкнутые шары компактны.
  • Псевдокомпактное пространство — тихоновское пространство, в котором каждая непрерывная вещественная функция ограничена.
  • Счётно компактное пространство — топологическое пространство, в любом счётном покрытии которого открытыми множествами найдётся конечное подпокрытие.
  • Слабо счётно компактное пространство — топологическое пространство, в котором любое бесконечное множество имеет предельную точку.
  • H-замкнутое пространство  — хаусдорфово пространство, замкнутое в любом объемлющем его хаусдорфовом пространстве[4].

Термин «компакт» иногда используется для метризуемого компактного пространства, но иногда просто как синоним к термину «компактное пространство». Также «компакт» иногда используется для хаусдорфова компактного пространства[5]. Далее, мы будем использовать термин «компакт» как синоним к термину «компактное пространство».

Свойства

править
  • Свойства, равносильные компактности:
    • Топологическое пространство компактно тогда и только тогда, когда каждое центрированное семейство замкнутых множеств, то есть семейство, в котором пересечения конечных подсемейств не пусты, имеет непустое пересечение[6].
    • Топологическое пространство компактно тогда и только тогда, когда каждая направленность в нём имеет предельную точку.
    • Топологическое пространство компактно тогда и только тогда, когда каждый фильтр в нём имеет предельную точку.
    • Топологическое пространство компактно тогда и только тогда, когда каждый ультрафильтр сходится по крайней мере к одной точке.
    • Топологическое пространство   компактно тогда и только тогда, когда в нём всякое бесконечное подмножество имеет хотя бы одну точку полного накопления в  .
  • Другие общие свойства:
  • Свойства компактных метрических пространств:
    • Метрическое пространство компактно тогда и только тогда, когда любая последовательность точек в нём содержит сходящуюся подпоследовательность.
    • Теорема Хаусдорфа о компактности даёт необходимые и достаточные условия компактности множества в метрическом пространстве.
    • Для конечномерных евклидовых пространств подпространство является компактом тогда и только тогда, когда оно ограничено и замкнуто. Про пространства, обладающие таким свойством, говорят, что они удовлетворяют свойству Гейне — Бореля[8].
    • Лемма Лебега: для любого компактного метрического пространства и открытого покрытия   существует положительное число   такое, что любое подмножество, диаметр которого меньше  , содержится в одном из множеств  . Такое число   называется числом Лебега.

См. также

править

Примечания

править

Литература

править
  • Колмогоров, А. Н., Фомин, С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. — 4-е изд.. — М.: Наука, 1976.
  • Виро, О. Я., Иванов, О. А., Нецветаев, Н. Ю., Харламов, В. М.. Элементарная топология. — 2-е изд., исправл.. — М.: МЦНМО, 2012. — ISBN 978-5-94057-894-9.
  • Протасов, В. Ю. Максимумы и минимумы в геометрии. — М.: МЦНМО, 2005. — 56 с. — (Библиотека «Математическое просвещение», выпуск 31).
  • Шварц, Л. Анализ. — М.: Мир, 1972. — Т. I.
  • Келли, Дж. Л.. Общая топология. — М.: Наука, 1968.
  • Энгелькинг, Р.. Общая топология. — М.: Мир, 1986. — 752 с.
  • Архангельский, А.В. Бикомпактное пространство // Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия, 1977-1985.
  • Войцеховский, М. И.. Компактное пространство // Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия, 1977-1985.