Таблица математических символов

(перенаправлено с «Знаки операций»)

В математике повсеместно используются символы для упрощения и сокращения текста. Ниже приведён список наиболее часто встречающихся математических обозначений, соответствующие команды в TeX, объяснения и примеры использования. Список и смысл обозначений соответствует международным стандартам ISO 31-11 и ISO 80000-2[1].

Кроме указанных символов, иногда используются их зеркальные отражения, например, обозначает то же, что и

Знаки операций, или математические символы — знаки, которые символизируют определённые математические действия со своими аргументами.

К самым распространённым относятся:

Математическая логика править

Символ TeX
(Команда TeX)
Символ (Юникод) Название Значение Пример
Произношение
 
(\Rightarrow)
 
(\rightarrow)
 
(\supset)




Импликация, следование   означает «если   верно, то   также верно».
(→ может использоваться вместо или для обозначения функции, см. ниже.)
(⊃ может использоваться вместоили для обозначения надмножества, см. ниже.).
  верно, но   неверно, так как   также является решением.
«влечёт» или «если…, то» или «отсюда следует»
 
(\Leftrightarrow)
Равносильность   означает «  верно тогда и только тогда, когда   верно».  
«если и только если» или «равносильно»
 
(\wedge)
Конъюнкция   истинно тогда и только тогда, когда   и   оба истинны.  , если   — натуральное число.
«и»
 
(\vee)
Дизъюнкция   истинно, когда хотя бы одно из условий   или   истинно.  , если   — натуральное число.
«или»
 
(\neg)
¬ Отрицание   истинно тогда и только тогда, когда ложно  .  
 
«не»
 
(\forall)
Квантор всеобщности   обозначает «  верно для всех  ».  
«Для любых», «Для всех», «Для всякого»
 
(\exists)
Квантор существования   означает «существует хотя бы один   такой, что верно  »   (подходит число 5)
«существует»
  = Равенство   обозначает «  и   принимают одно и то же значение».  
«равно»
 

 
(:\Leftrightarrow)
 
(\stackrel{\rm{def}}{=})
:=

:⇔

Определение   означает «  по определению равен  ».
  означает «  по определению равносильно  »
  (определение гиперболического косинуса)
  (определение исключающего «ИЛИ»)
«равно/равносильно по определению»

Теория множеств и теория чисел править

Символ TeX
(Команда TeX)
Символ (Юникод) Название Значение Пример
Произношение
  { } Множество элементов   означает множество, элементами которого являются  ,   и  .   (множество натуральных чисел)
«Множество…»
  {|} Множество элементов, удовлетворяющих условию   означает множество всех   таких, что верно  .  
«Множество всех… таких, что верно…»
 
(\varnothing)
 
 


{}
Пустое множество   и   означают множество, не содержащее ни одного элемента.  
«Пустое множество»
 
(\in)
 
(\notin)


Принадлежность/непринадлежность к множеству   означает «  является элементом множества  »
  означает «  не является элементом множества  »
 
 
«принадлежит», «из»
«не принадлежит»
 
(\subseteq)
 
(\subset)


Подмножество   означает «каждый элемент из   также является элементом из  ».
  обычно означает то же, что и  . Однако некоторые авторы используют  , чтобы показать строгое включение (то есть  ).
 
 
«является подмножеством», «включено в»
 
(\supseteq)
 
(\supset)


Надмножество   означает «каждый элемент из   также является элементом из  ».
  обычно означает то же, что и  . Однако некоторые авторы используют  , чтобы показать строгое включение (то есть  ).
 
 
«является надмножеством», «включает в себя»
 
(\subsetneq)
Собственное подмножество   означает   и  .  
«является собственным подмножеством», «строго включается в»
 
(\supsetneq)
Собственное надмножество   означает   и  .  
«является собственным надмножеством», «строго включает в себя»
 
(\cup)
Объединение   означает множество, содержащее все элементы из   и    
«Объединение … и …», «…, объединённое с …»
 
(\cap)
Пересечение   означает множество одинаковых элементов, принадлежащих и  , и  .  
«Пересечение … и …», «…, пересечённое с …»
 
(\setminus)
\ Разность множеств   означает множество элементов, принадлежащих  , но не принадлежащих  .  
«разность … и …», «минус», «… без …»
 
(\to)
Функция (отображение)   означает функцию   с областью определения   и областью значений  . Функция  , определённая как  
«из … в …»,
 
(\mapsto)
Отображение   означает, что образом   после применения функции   будет  . Функцию, определённую как  , можно записать так:  
«отображается в»
 
(\mathbb N)
N или ℕ Натуральные числа   означает множество   или реже   (в зависимости от ситуации).  
«Эн»
 
(\mathbb Z)
Z или ℤ Целые числа   означает множество    
«Зет»
 
(\mathbb Q)
Q или ℚ Рациональные числа   означает    
 
«Ку»
 
(\mathbb R)
R или ℝ Вещественные (действительные) числа   означает множество всех пределов последовательностей из    
  (  — мнимая единица:  )
«Эр»
 
(\mathbb C)
C или ℂ Комплексные числа   означает множество    
«Це»
 
(\mathbb H)
H или   Кватернионы   означает множество    
«Аш»

Элементарная алгебра и арифметика править

Символ TeX
(Команда TeX)
Символ (Юникод) Название Значение Пример
Произношение
  + Сложение   означает «сложение   и  »; «прибавить к   число  ».  
«плюс»
  Вычитание   означает «вычитание из   числа  ».  
«минус»
      × · * Умножение   (  или  ) означает «  умножить на  ».  
«умножить на»
      ÷ : / Деление   (  или  ) означает «  разделить на  ».  
«разделить на»
  = Равенство   означает «  и   принимают одно и то же значение».  
«равно»
  (\ne) Неравенство   означает, что   не равен  .  
«не равно»
   <> Сравнение   означает, что   строго меньше  .

  означает, что   строго больше  .

 
«меньше чем», «больше чем»
  или  (\leqslant или \leq)  или  (\geqslant или \geq) ⩽ или ≤

⩾ или ≥

Сравнение   означает, что   меньше или равен  .

  означает, что   больше или равен  .

 

 

«меньше или равно»; «больше или равно»
 (\approx) Приблизительное равенство   с точностью до 10−3 означает, что 2,718 отличается от   не больше чем на 10−3.   с точностью до 10−7.
«приблизительно равно»
 (\propto) Пропорциональность   означает, что есть такое число k, что   (тогда говорят, что   — коэффициент пропорциональности).  
«пропорционально»
 (\sqrt{}) Арифметический квадратный корень   означает неотрицательное действительное число, которое в квадрате даёт   (равнозначно записи  ).  ;  
«корень квадратный из …»

Кубический корень

Корень четвёртой степени

 , если   (то есть   );

 , если   (аналогично  ).

 ;

 .

 (\infty) Бесконечность   и   суть элементы расширенного множества действительных чисел. Эти символы обозначают числа, большие/меньшие всех действительных чисел.  
«плюс/минус бесконечность»

Общая алгебра править

Символ TeX
(Команда TeX)
Символ (Юникод) Название Значение Пример
Произношение
  Нормальная подгруппа, идеал кольца   означает «  является нормальной подгруппой группы  », если   — группа, и «  является (двусторонним) идеалом кольца  », если   — кольцо.
«нормальна в», «… является идеалом …»
  [ : ] Индекс подгруппы, размерность поля   означает «индекс подгруппы   в группе  », если   — группа, и «размерность поля   над полем  », если   и   — поля.
«индекс … в …», «размерность … над …»
  × Прямое произведение групп   означает «прямое произведение групп   и  ».
«прямое произведение … и …»
  Прямая сумма подпространств   означает «пространство   разлагается в прямую сумму подпространств   и  ».
«прямая сумма … и …»
  [ , ] Коммутатор элементов группы   означает «коммутатор элементов   и   группы  », то есть элемент  .
«коммутатор … и …»
  G' Коммутант   означает «коммутант группы  ».
«коммутант …»
  ⟨ ⟩n Циклическая группа   означает «циклическая группа порядка  , порождённая элементом  ».
«Циклическая группа порядка  , порождённая  »
  * Мультипликативная группа поля   означает «мультипликативная группа поля  », если   — поле.
«мультипликативная группа …»

Линейная алгебра править

Символ TeX
(Команда TeX)
Символ (Юникод) Название Значение Пример
Произношение
  Тензорное произведение   означает «тензорное произведение тензоров   и  ».
«тензорное произведение … и …»
  AT Транспонированная матрица   означает «транспонированная матрица  ».
«транспонированная матрица …»
  Ei, j Матричная единица   означает «матричная  -единица», то есть матрица, у которой на месте   стоит единица, а на остальных местах — нули.
«матричная единица …»
  * Сопряжённый оператор

Сопряжённое пространство

  означает «линейный оператор, сопряжённый к  », если   — линейный оператор.

  означает «линейное пространство, сопряжённое к   (дуальное к  )», если   — линейное пространство.

«оператор, сопряжённый к …»; «пространство, сопряжённое к …»;

Анализ править

Символ TeX
(Команда TeX)
Символ (Юникод) Название Значение Пример
Произношение
 (\infty) Бесконечность   и   суть элементы расширенного множества действительных чисел. Эти символы обозначают числа, большие/меньшие всех действительных чисел.  
«Плюс/минус бесконечность»
 (\int dx) Интеграл   означает «интеграл от   до   функции   от   по переменной  ».  ; 
«Интеграл (от … до …) функции … по (или d)…»
  df/dx

f'(x)

Производная   или   означает «(первая) производная функции   от   по переменной  ».  
«Производная … по …»
 (\partial для ∂) ∂f/∂y Частная производная   означает «(первая) частная производная функции   от переменных   по переменной  ».  
«Частная производная … по …»
  dnf/dxn

f(n)(x)

Производная  -го порядка   или   означает « -я производная функции   по переменной  » (при втором способе записи, если   — фиксированное число, то оно пишется либо арабскими цифрами в круглых скобках, либо римскими цифрами без скобок)  .
« -я производная … по …»

Другое править

Символ TeX
(Команда TeX)
Символ (Юникод) Название Значение Пример
Произношение
Раздел математики
 (\left| \right|) | | Абсолютная величина (абсолютное значение) числа или длина (модуль) вектора. В контексте теории множеств может иметь другой смысл — мощность множества   обозначает абсолютную величину  .

  обозначает мощность множества   и равняется, если   конечно, числу элементов  .

 
«Модуль»; «мощность»
Числа и Теория множеств
 (\sum) Сумма (набора чисел), сумма ряда   означает «сумма  , где   принимает значения от 1 до  », то есть  .

  означает сумму ряда, состоящего из  .

 
«Сумма … по … от … до …»
Арифметика, Математический анализ
 (\prod) Произведение (набора чисел), произведение ряда   означает «произведение   для всех   от 1 до  », то есть    
«Произведение … по … от … до …»
Арифметика, Математический анализ
  ! Факториал   означает произведение всех натуральных чисел от 1 до   включительно, то есть    ;

 ;

 ;

«  факториал»
Комбинаторика

См. также править

Примечания править

Литература править

  • Выгодский М. Я. Справочник по элементарной математике. — М.: АСТ, 2003. — ISBN 5-17-009554-6.

Ссылки править

  • Арифметические знаки // Энциклопедический словарь Брокгауза и Ефрона : в 86 т. (82 т. и 4 доп.). — СПб., 1890—1907.