Ориентация

Эта статья — о математике. Другие значения термина «ориентация» см. на странице Ориентация (значения).

Ориента́ция (от фр. orientation, буквально направление на восток, от лат. oriens — восток) — обобщение и формализация понятий направления обхода и направления на прямой на более сложные геометрические фигуры в пространстве, а также на сами пространства.

Ориентация поверхности на основе векторов нормалей к ней во всех точках

В элементарной математике ориентация часто описывается через понятие направления по и против часовой стрелки.

Для классическом понимании ориентация пространства — это выбор одного из классов систем координат пространства, причём:

• системы координат одного класса положительно связаны между собой;
• каждая система координат задает некоторую ориентацию, тем самым определяя свой класс.

Перечислим типы пространств, в которых можно определить ориентацию:

• многообразие,
• векторное расслоение,
• комплекс Пуанкаре
• и так далее.

Современное состояние формализации ориентации находится в рамках обобщённых теорий когомологий.

Ориентированная прямая

Горизонтальная прямая $AB$

На прямой точка может двигаться в двух противоположных направлениях. Например, если прямая $AB$ расположена горизонтально (см. рисунок справа с горизонтальной прямой), то на ней возможны два движения в противоположных направлениях:

• слева направо,
• справа налево.

Ориентированная прямая, или направленная прямая, или ось — прямая вместе с фиксированным направлением на ней.

Ориентированный отрезок

Ориентированный отрезок как вектор

Основная статья: Вектор (геометрия)

Вектор ${\overrightarrow {AB}}$

Ве́ктор — ориентированный, или направленный, отрезок, то есть отрезок, для которого указано, какая из его граничных точек начало, а какая — конец.

Вектор с началом в точке $A$ и концом в точке $B$ принято обозначать как ${\overrightarrow {AB}}$. Векторы также могут обозначаться малыми латинскими буквами со стрелкой (иногда — чёрточкой) над ними, например ${\vec {a}}$. Другой распространённый способ записи: написание символа вектора прямым жирным шрифтом: $\mathbf {a}$.

Ориентированный отрезок как скаляр

На ориентированной прямой любой отрезок характеризуется не только своей абсолютной величиной (модулем) как скаляром, но ещё и знаком.

Ориентированный, или направленный, отрезок как скаляр — число, равное модулю отрезка со знаком плюс, если направление отрезка как вектора совпадает с направлением прямой, на которой он лежит, и со знаком минус, если эти направления противоположны. Направленные отрезки обозначаются чертой над обозначением обычного отрезка:

• $AB$ — обычный (ненаправленный) отрезок;
• ${\overline {AB}}$ — направленный отрезок.

Два отрезка на ориентированной прямой

Например, на рисунке справа с направленной прямой направленный отрезок ${\overline {AB}}$ положителен, ${\overline {CD}}$ — отрицателен.

Предложение 1. Простые отрезки $AB$ и $BA$ не различаются, но при этом направленные отрезки противоположны:

${\overline {AB}}=-{\overline {BA}}$.

Предложение 2. Произведение и отношение двух направленных отрезков на одной прямой не зависят от направления на прямой.

Доказательство. Пусть $AB$ и $CD$ — два простых отрезка одной прямой. Тогда независимо от направления прямой произведение ${\overline {AB}}\cdot {\overline {CD}}$ и отношение ${\frac {\overline {AB}}{\overline {CD}}}$:

• положительны, если направления отрезков $AB$ и $CD$ как векторов совпадают;
• отрицательны, если направления отрезков $AB$ и $CD$ как векторов противоположны.

Ориентированная кривая

Две ориентированные окружности

Аналогично ориентации прямой любая замкнутая кривая ориентируема двумя способами:

• против часовой стрелки;
• по часовой стрелке.

На рисунке справа показаны две ориентированные окружности: окружность слева ориентирована против часовой стрелки, справа — по часовой стрелке.

Ориентированная, или направленная, кривая — кривая вместе с фиксированным направлением на ней.

Ориентированная плоскость

Ориентированная плоскость — плоскость с выбранной на ней фиксированной ориентацией.

Плоскость можно ориентировать следующими двумя способами:

• различными ориентированными геометрическими фигурами;
• выбором ориентированной системы декартовых координат.

Ориентация простых замкнутых кривых

Простую замкнутую кривую на плоскости ориентируется двумя разными способами: по часовой стрелке и против часовой стрелки. Ориентация такой кривой автоматически ориентирует ограниченную кривой часть плоскости.

Две правых и левая координатные системы

Одинаковая ориентация двух простых замкнутых кривых — нахождение с одной и той же стороны частей плоскости, ограниченных кривыми, при обходе кривых в направлении, заданном их ориентацией (слева при обходе против часовой стрелки, справа — по часовой стрелке). Например, на рисунке справа две первые окружности ориентированы одинаково, а последняя — противоположно с первыми.

Предложение 1. Выбор ориентации одной простой замкнутой кривой на плоскости определяет ориентацию всех остальных простых замкнутых кривых на плоскости.

Ориентированная плоскость — плоскость с выбранной фиксированной ориентацией простых замкнутых кривых, лежащих на ней.

Предложение 2. Простая замкнутая кривая, зеркально симметричная ориентированной простой замкнутой кривой, получает ориентация, противоположную ориентации исходной кривой.

Два класса систем координат на плоскости

Декартовые системы координат на плоскости

Ориентация плоскости — выбор осей декартовой системы координат $Ox$ и $Oy$, при которой ориентацию окружности с центром в начале координат определяют направлением от положительного направления оси $Ox$ к положительному направлению оси $Oy$ через меньший угол.

Плоскость можно ориентировать двумя способами, при этом получается два класса систем координат: класс правых систем и класс левых..

Правая система координат — декартова система координат, у которой направление вращения с центром в начале координат $O$ от положительного направления оси $Ox$ к положительному направлению оси $Oy$ через меньший угол есть направление вращения против часовой стрелки.

Левая система координат — декартова система координат, у которой направление вращения с центром в начале координат $O$ от положительного направления оси $Ox$ к положительному направлению оси $Oy$ через меньший угол есть направление вращения по часовой стрелке.

Две правых и левая координатные системы

Например, на рисунке справа сначала показаны две правые системы координат, а последней показана левая система координат.

Матрица замены декартовых систем

Рассмотрим две произвольные декартовы система координат $Oxy$ и $O'x'y'$. Координаты $(x,y)$ и $(x',y')$ одной и той же точки на плоскости в этих системах координат связаны соотношениями

$x'=a_{11}x+a_{12}y+b_{1},$

$y'=a_{21}x+a_{22}y+b_{2},$

где определитель матрицы, составленной из коэффициентов этой системы уравнений,

$\Delta ={\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{vmatrix}}$

отличен от нуля.

Матрица замены — матрица ${\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{pmatrix}}$, составленная из коэффициентов системы уравнений, связывающей координаты фиксированной точки в двух разных декартовых системах координат.

Предложение 1. Две декартовы система координат $Oxy$ и $O'x'y'$ ориентированы одинаково и принадлежат одному классу, если определитель их матрицы замены $\Delta >0$, и противоположно, если $\Delta <0$.

Это утверждение используется для построения строгой аналитической теории ориентации плоскости.

Положительный переход из одной системы координат в другую — переход, при котором определитель матрицы замены положителен.

Предложение 2. Две декартовы системы координат $Oxy$ и $O'x'y'$ ориентированы одинаково и принадлежат одному классу, если одну из них можно перевести в другую непрерывно, то есть существует такое семейство координатных систем $O_{t}x_{t}y_{t}$, которое:

• непрерывно зависит от параметра $t\in [0,1]$;
• связывает системы $Oxy$ и $O'x'y'$, то есть $O_{0}x_{0}y_{0}$ совпадает с $Oxy$, а $O_{1}x_{1}y_{1}$ — с $O'x'y'$.

Предложение 3. Декартова система координат переходит в другой класс при зеркальном отражении плоскости.

Множество всех декартовых систем

Рассмотрим множество $S$ всех декартовых систем координат на плоскости. Это множество состоит из двух непересекающихся подмножеств $S'$ и $S''$ — классов — таких, что:

• в пределах $S'$, равно как и в пределах $S''$, декартовы системы координат связаны преобразованиями с $\Delta >0$;
• каждая декартова система координат из $S'$ связана с декартовой системой координат из $S''$ преобразованием с $\Delta <0$, и наоборот.

Ориентация плоскости — выбор одного из двух классов декартовых систем координат.

Правая и левая координатные системы

Правило задания класса системы координат с помощью окружности. Начало декартовой системы координат лежит в центре окружность с фиксированным направлением обхода, ось $Ox$ выбирается произвольно, а ось $Oy$ — так, чтобы вращение от $Ox$ к $Oy$ через меньший угол происходило в направлении, заданном на окружности (см. рисунок справа с двумя разными классами систем координат).

Знак площадей и углов на плоскости

Знак площадей, ограниченных ориентируемыми замкнутыми кривыми, и углов на плоскости зависит от выбора ориентации на этой плоскости.

Две ориентированные окружности

Рассмотрим, например, величину площади

$S={\frac {1}{2}}\int _{C}xdy-ydx$

фигуры, ограниченной ориентированной замкнутой кривой $C$, заданной параметрически. Получим два случая:

• в правой системе координат площадь фигуры положительна, если она ограничена кривой, ориентированной против часовой стрелки (см. первую фигуру на рисунке справа), и отрицательна для противоположной ориентации кривой (см. вторую фигуру на рисунке справа);
• в левой системе координат наоборот, площадь фигуры отрицательна, если она ограничена кривой, ориентированной против часовой стрелки (см. первую фигуру на рисунке справа), и положительна для противоположной ориентации кривой (см. вторую фигуру на рисунке справа).

Ориентированный угол

Знак ориентированного угла

На ориентированной плоскости любой угол между обычными (ненаправленными) прямыми характеризуется не только своей абсолютной величиной как скаляром, но ещё и знаком.

Ориентированный, или направленный, угол на ориентированной плоскости — число, равное обычному углу между прямыми $a$ и $b$ со знаком плюс, если направление вращения от $a$ к $b$ совпадает с направлением ориентации плоскости, и со знаком минус в противном случае. Направленные углы обозначим следующим образом:

• $\angle ab$ — обычный (ненаправленный) угол;
• $\sphericalangle ab$ — направленный угол.

Направленные углы

Например, на рисунке справа показаны два направленных угла:

• положительный угол между прямыми $a$ и $b$;
• отрицательный угол между прямыми $c$ и $d$.

Предложение 1. Простые углы $\angle ab$ и $\angle ba$ не различаются, но при этом направленные углы противоположны:

$\sphericalangle ab=-\sphericalangle ba$.

Абсолютная величина ориентированного угла

Направленные углы

Подобно обычному (ненаправленному) углу направленный угол однозначно не определён. Например, на рисунке справа изображены направленные углы $\alpha$, $\beta$ и $\gamma$, для которых при правой ориентации плоскости выполняются следующие равенства:

• $\alpha =\sphericalangle ab=\angle AOB$,
• $\beta =\sphericalangle ab=-\angle AOC$,
• $\beta =-\angle AOC=\angle AOB-\pi$,
• $\gamma =\angle AOB+\pi$.

Эти равенства иллюстрируют следующее предложение.

Предложение 1. Две прямые определяют направленный угол с точностью до произвольного кратного угла $\pi$.

Как правило, под направленным углом между прямыми $a$ и $b$ подразумевают минимальный по модулю направленный угол.

Минимальный по модулю направленный угол — направленный угол $\sphericalangle ab$ между прямыми $a$ и $b$, взятыми в указанной последовательности, наименьший по абсолютной величине. Для перпендикулярных прямых принимается $\sphericalangle ab=+{\frac {\pi }{2}}$.

Равенство направленных углов — совпадение по абсолютной величине и знаку минимальных по модулю направленных углов между прямыми $a$ и $b$ и между прямыми $c$ и $d$:

$\sphericalangle ab=\sphericalangle cd$.

Произведение и отношение ориентированных углов

Свойство независимости от ориентации плоскости произведения и отношения направленных углов подобно аналогичному свойству направленных отрезков.

Предложение 1. Произведение и отношение двух направленных углов на плоскости не зависят от выбора ориентации плоскости.

Доказательство. Пусть $\angle ab$ и $\angle cd$ — два простых угла на плоскости. Тогда независимо от ориентации плоскости произведение $\sphericalangle ab\cdot \sphericalangle cd$ и отношение ${\frac {\sphericalangle ab}{\sphericalangle cd}}$:

• положительны, если направления углов $\sphericalangle ab$ и $\sphericalangle cd$ совпадают;
• отрицательны, если направления углов $\sphericalangle ab$ и $\sphericalangle cd$ противоположны.

Следствие 1. Равенство или неравенство двух направленных углов на плоскости также не зависит от ориентации плоскости.

Доказательство. Отношение двух равных направленных углов $\sphericalangle ab$ и $\sphericalangle cd$ равно единице:

${\frac {\sphericalangle ab}{\sphericalangle cd}}=1.$

Ориентированная поверхность

Ориентация произвольной поверхности

Ориентация произвольной поверхности, разбивающей трёхмерное пространство на две части (например, сферы), аналогична ориентации плоскости.

Ориентация части поверхности, ограниченной простой замкнутой кривой — ориентация данной простой замкнутой кривой.

Поверхности двух кубов ориентированы противоположно друг другу

Одинаковая ориентация двух частей поверхности — нахождение с одной и той же стороны частей поверхности, ограниченных замкнутыми кривыми, при обходе кривых в направлении, заданном их ориентацией (слева при обходе против часовой стрелки, справа — по часовой стрелке). Например, на рисунке справа поверхности двух кубов ориентированы противоположно друг другу.

Ориентированная поверхность — поверхность, разбивающая трёхмерное пространство на две части, на которой имеется ориентированная часть поверхности. Поверхность ориентирована соответственно ориентации кривой, ограничивающей часть поверхности (на рисунке справа поверхность первого куба ориентирована правым образом, второго — левым):

• поверхность ориентирована правым (левым) образом, если эта кривая, наблюдаемая снаружи, ориентирована против часовой стрелки (по часовой стрелке).

Бывают ориентируемые и неориентируемые поверхности.

Предложение 1. Поверхность, ограничивающая часть трёхмерного пространства, всегда ориентируема.

Ориентация гладкой поверхности

Рассмотрим в трёхмерном пространстве гладкую поверхность $S$. Пусть:

• $M_{0}\in S$ — любая точка на поверхности $S$;
• ${\vec {n_{0}}}$ — нормаль к поверхности $S$ в точке $M_{0}$;
• $l\subset S$ — любая замкнутая кривая на поверхности $S$ такая, что $M_{0}\in l$ и $l$ не имеет общих точек с границей поверхности $S$.

Обойдём кривую $l$, перемещая при этом вектор ${\vec {n_{0}}}$ вдоль $l$ непрерывно как нормаль к поверхности $S$.

Ориентируемая, или двусторонняя, поверхность — поверхность $S$, на которой после обхода кривой $l$ нормаль возвращается в исходную точку $M_{0}$ с выбранным вначале направлением нормали ${\vec {n_{0}}}$ при любой точке $M_{0}\in S$ и любой замкнутой кривой $l\subset S$.

Неориентируемая, или односторонняя, поверхность — поверхность $S$, на которой после обхода кривой $l$ нормаль возвращается в исходную точку $M_{0}$ с направлением нормали, противоположным выбранному вначале ${\vec {n_{0}}}$, для некоторой точки $M_{0}\in S$ и некоторой замкнутой кривой $l\subset S$.

Ориентация поверхности на основе векторов нормалей к ней во всех точках

Сторона двусторонней поверхности — двусторонняя поверхность с указанием для всех её точек направлений нормали. Для другой стороны поверхности нормали противоположны (см. рисунок справа с векторами нормалей).

Ориентация двусторонней поверхности — выбор стороны двусторонней поверхности.

Ориентированная двусторонняя поверхность — двусторонней поверхности с выбранной стороной.

Выбрать сторону двусторонней поверхности можно следующими способами:

• указанием нормали в любой точке поверхности;
• надлежащим описанием:

• верхняя — нижняя,
• левая — правая,
• ближняя — дальняя,
• внутренняя — внешняя;

Ориентация простых замкнутых кривых на поверхности

• выбором знака плюс или минус во всех следующих формулах:

$\cos \alpha ={\frac {A}{\pm {\sqrt {A^{2}+B^{2}+C^{2}}}}},$

$\cos \beta ={\frac {B}{\pm {\sqrt {A^{2}+B^{2}+C^{2}}}}},$

$\cos \gamma ={\frac {C}{\pm {\sqrt {A^{2}+B^{2}+C^{2}}}}}.$

Предложение 1. Ориентация двусторонней поверхности задаёт также ориентацию всех простых замкнутых кривых на этой поверхности (см. на рисунке справа ориентацию замкнутых кривых).

Ориентированное трёхмерное пространство

Ориентированное трёхмерное пространство — трёхмерное пространство с выбранной в нём фиксированной ориентацией.

Многомерные пространства также можно ориентировать.

Трёхмерное пространство можно ориентировать следующими двумя способами:

• различными ориентированными геометрическими фигурами;
• выбором ориентированной системы декартовых координат.

Ориентация замкнутых поверхностей без самопересечений

Поверхность первого куба ориентирована правым образом, второго — левым

Замкнутая поверхность без самопересечений в трёхмерном пространстве ориентирована соответственно ориентации кривой, ограничивающей её поверхности (на рисунке справа поверхность первого куба ориентирована правым образом, второго — левым).

Ориентация поверхности правым (левым) образом — ориентация кривой, которая ограничивает часть поверхности, при наблюдении снаружи против часовой стрелки (по часовой стрелке).

Ориентация трёхмерного пространства — выбор фиксированной ориентации замкнутых поверхностей без самопересечения.

Правая (левая) ориентация трёхмерного пространства — выбор ориентации правым (левым) образом замкнутых поверхностей без самопересечения.

Два класса систем координат в трёхмерном пространстве

Два противоположно ориентированных трёхмерных пространства

Ориентация трёхмерного пространства — выбор осей декартовой системы координат $Ox$, $Oy$ и $Oz$, при которой треугольник $ABC$ ориентируется в порядке $ABC$, то есть от оси $Ox$ к оси $Oy$ и потом к оси $Oz$ (см. рисунок справа с ориентацией треугольника $ABC$). Этот треугольник $ABC$ лежит на поверхности тетраэдра $OABC$ с вершиной $O$ в начале координат и вершинами $A$, $B$ и $C$ на положительных лучах осей $Ox$, $Oy$ и $Oz$ соответственно.

Ориентация трёхмерного пространства зависит от выбора его координатный осей.

Правая (левая) ориентация трёхмерного пространства — такой выбор осей декартовой системы координат $Ox$, $Oy$ и $Oz$, при которой треугольник $ABC$, наблюдаемый снаружи тетраэдра $OABC$, ориентируется против часовой стрелки (по часовой стрелке).

Положительный переход из одной системы координат в другую — переход, при котором определитель матрицы замены положителен.

Предложение 1. Две декартовы системы координат $Oxyz$ и $O'x'y'z'$ ориентированы одинаково и принадлежат одному классу, если одну из них можно перевести в другую непрерывно, то есть существует такое семейство координатных систем $O_{t}x_{t}y_{t}z_{t}$, которое:

• непрерывно зависит от параметра $t\in [0,1]$;
• связывает системы $Oxyz$ и $O'x'y'z'$, то есть $O_{0}x_{0}y_{0}z_{0}$ совпадает с $Oxyz$, а $O_{1}x_{1}y_{1}z_{1}$ — с $O'x'y'z'$.

Предложение 2. Декартова система координат переходит в другой класс при зеркальном отражении трёхмерного пространства.

Задание правой ориентации системы координат с помощью правила винта. Координатная ось $Ox$ следует по направлению ввинчивания, вращение от положительного направления оси $Oy$ к положительному направления оси $Oz$ совпадает с вращением при ввинчивании. При этом все винты должны находиться в положительной связи друг с другом.

Правило правой руки

Задание правой ориентации системы координат с помощью правила трёх первых пальцев правой руки. Указанное правило достаточно хорошо известно и поэтому здесь не описывается (см. рисунок справа с правилом правой руки).

Выбор ориентации трёхмерного пространства определяет:

• знак объёмов, ограниченных ориентированными поверхностями;
• смысл векторно произведения двух векторов
• и так далее

Конечномерное векторное пространство

Пусть $V$ — конечномерное векторное пространство над упорядоченным полем. Два базиса этого пространства называются одинаково ориентированными, если определитель матрицы перехода от одного из них к другому положителен. Классы эквивалентности одинаково ориентированных базисов называются ориентациями пространства $V$. Нетрудно проверить, что у любого такого пространства есть ровно две ориентации.

• Для пространств размерности $1$ ориентация есть то же самое, что и направление — класс сонаправленных векторов.
• Для пространств размерности $2$ ориентация отождествляется с направлением поворота. Под направлением поворота, соответствующим ориентации базиса $e_{1},e_{2}$, понимается то направление поворота, в котором угол поворота от вектора $e_{1}$ до $e_{2}$ меньше. Благодаря этому можно часто услышать, что ориентациями плоскости являются направления по часовой стрелке и против часовой стрелки.
• Для пространств размерности $3$ ориентация отождествляется с понятиями левой и правой тройки векторов.

В пространстве без каких-то дополнительных структур обе ориентации являются равнозначными, однако часто бывает полезным предпочитать одну ориентацию другой. Для этого вводится понятие ориентированного пространства как упорядоченная пара $(V,w)$, где $V$ — векторное пространство, а $w$ — одна из его ориентаций. Ориентация $w$ для такого пространства называется положительной, а противоположная ей — отрицательной. Таким образом, ориентированное пространство — это пространство, на котором выбрано, какую из ориентаций считать положительной, а какую отрицательной.

При изображении ориентированной плоскости положительной ориентацией обычно считают направление против часовой стрелки. Поэтому понятия положительной ориентации плоскости и направления против часовой стрелки часто отождествляют, несмотря на то, что направления поворота по и против часовой стрелки зависят от конкретного рисунка и ничто не мешает изобразить эту же плоскость, зеркально отразив её. Внутренние характеристики плоскости не поменяются, однако направления по и против часовой стрелки для наблюдателя поменяются местами. Аналогично обстоит дело и с пространством. В трёхмерном пространстве положительной ориентацией обычно считают правые тройки векторов и часто отождествляют эти понятия.

Замечания

Для общего поля определение ориентации представляет трудности. Например, в комплексном пространстве $\mathbb {C} ^{n}$ комплексный базис $e_{1},e_{2},...,e_{n}$ определяет вещественный базис $e_{1},e_{2},...,e_{n},ie_{1},ie_{2},...,ie_{n}$ в том же пространстве, рассматриваемом как $\mathbb {R} ^{2n}$, и все такие базисы связаны попарно положительными переходами (иначе говоря, комплексная структура задаёт ориентацию в $\mathbb {R} ^{2n}$).

Аффинное пространство

На прямой, плоскости и вообще в вещественном аффинном пространстве $A$ системы координат состоят из точки (начала $O$) и репера $\{e_{i}\}$, переход определяется вектором переноса начала и заменой репера. Этот переход положителен, если положителен определитель матрицы замены (например, при чётной перестановке векторов репера).

Две системы координат определяют одну и ту же ориентацию, если одну из них можно перевести в другую непрерывно, то есть существует непрерывно зависящее от параметра $t\in [0,1]$ семейство координатных систем $O(t)$, $\{e_{i}(t)\}$, связывающее данные системы $O$, $\{e_{i}\}$ и $O'$, $\{e'_{i}\}$.

При отражении в гиперплоскости системы двух классов переходят друг в друга.

Ориентация может быть задана порядком вершин $n$-мерного симплекса (треугольника в двумерном случае, тетраэдра в трёхмерном), Репер определяется условием: в первую вершину помещается начало, в остальные из первой направляются векторы репера. Два порядка задают одну ориентацию, тогда и только тогда, когда они отличаются на чётную перестановку. Симплекс с фиксированным с точностью до чётной перестановки порядком вершин называется ориентированным. Каждая $(n-1)$-грань ориентированного симплекса получает индуцированную ориентацию: если первая вершина не принадлежит грани, то порядок остальных принимается для неё за положительный.

Ориентированное многообразие

Ориентируемое связное многообразие

Рассмотрим координатную систему связного многообразия — атлас, то есть набор карт, покрывающих многообразие $M$.

Ориентирующий атлас — атлас многообразия, для которого все координатные преобразования положительны. Другими словами, степени координатных преобразований равны $+1$, а если многообразие дифференцируемо, то положительны якобианы преобразования во всех точках.

Ориентируемое многообразие — многообразие $M$ с ориентирующим атласом.

Ориентация связного многообразия

Рассмотрим ориентируемое многообразие. Все его ориентирующие атласы распадаются на два класса ориентации, следовательно, переход от карт одного атласа к картам другого положителен тогда и только тогда, когда оба атласа принадлежат одному классу ориентации.

Ориентация многообразия — выбор одного из двух ориентирующих классов.

Выбор ориентации многообразия делается также ещё двумя способами:

• выбором одной из карт одного из ориентирующих классов;
• выбором локальной ориентации в точке $x_{0}$, поскольку связные карты, содержащие точку $x_{0}$, естественным образом также распадаются на два ориентирующих класса.

Кроме того, для дифференцируемого многообразия локальная ориентация определяется выбором репера в касательной плоскости в точке $x_{0}$. Например, вращение на окружности определяется только одним касательным вектором.

Ориентация края связного многообразия

Если связное ориентированное многообразие $M$ имеет край, то этот край также ориентируем.

Ориентирующий репер края многообразия — второй и последующие векторы репера, ориентирующего многообразие, которые лежат в касательной плоскости края, при первом векторе репера, направленном из многообразия.

Дезориентирующий путь

Любой путь $q:[0,1]\to M$ в многообразии $M$ обладает тем свойством, что вдоль него можно выбрать такую цепочку карт, что две соседние карты связаны положительно. Следовательно, ориентация в точке $q(0)$ посредством цепочки карт определяет ориентацию в точке $q(1)$, причём эта связь зависит от пути $q$ с фиксированными концами лишь с точностью до его непрерывной деформации. Для замкнутого пути $q(0)=q(1)=x_{0}$.

Дезориентирующий путь — замкнутый путь в многообразии, при обходе которого локальная ориентация меняет знак, то есть ориентации в точках $q(0)$ и $q(1)$ противоположны.

Предложение 1. Дезориентирующий путь существует только в неориентируемом многообразии $M$.

Ориентирующее накрытие

Для дезориентирующего пути однозначно определён некоторый гомоморфизм фундаментальной группы $\pi _{1}(M,x_{0})$ многообразия $M$ на кольцо вычетов по модулю 2 порядка 2 $\mathbb {Z} _{2}$ с ядром, состоящим из классов замкнутых не дезориентирующих путей, другими словами, гомоморфизм $\pi _{1}(M,x_{0})$ в группу порядка 2, при котором дезориентирующие пути переходят в $-1$, а остальные замкнутые пути — в $+1$.

Ориентирующее двулистное накрытие листа Мёбиуса

Предложение 1. Накрывающее пространство накрытия, построенного по описанному гомоморфизму, ориентируемо.

Ориентирующее накрытие — накрытие, имеющее ориентируемое нарывающее пространство. В случае неориентируемого многообразия это накрытие двулистно (см. анимацию справа с двулистным накрытие листа Мёбиуса).

Ориентирующий цикл

Этот же гомоморфизм из предыдущего раздела определяет над многообразием $M$ одномерное расслоение, тривиальное тогда и только тогда, когда $M$ ориентируемо.

Для дифференцируемого многообразия $M$ это расслоение определяется как расслоение $\Omega ^{n}(M)$ дифференциальных форм порядка $n=\operatorname {dim} M$. Это расслоение имеет ненулевое сечение только в ориентируемом случае и при этом задаёт как форму объёма на $M$, так и ориентацию.

На языке гомологий

Ориентация может быть определена на гомологическом языке: для связного ориентируемого многообразия без края группа гомологий $H^{n}(M,\mathbb {Z} )$ (с замкнутыми носителями) изоморфна $\mathbb {Z}$, и выбор одной из двух образующих задаёт ориентацию — отбираются карты с положительными степенями отображений. Для связного многообразия с краем то же верно и для $H^{n}(M,\partial M,\mathbb {Z} )$. В первом случае ориентируемость есть гомотопический инвариант M, а во втором — пары $(M,\partial M)$. Так, лист Мёбиуса и кольцо имеют один и тот же абсолютный гомотопический тип, но разный — относительно края.

Локальная ориентация многообразия может быть также задана выбором образующей в группе $H^{n}(M,M\backslash x_{0},\mathbb {Z} )$, изоморфной $\mathbb {Z}$ Гомологическая интерпретация ориентации позволяет перенести это понятие на обобщённые гомологические многообразия.

Псевдомногообразия

Триангулированное многообразие $M$ (или псевдомногообразие) ориентируемо, если можно ориентировать все $n$-мерные симплексы так, что два симплекса с общей $(n-1)$-мерной гранью индуцируют на ней противоположные ориентации. Замкнутая цепочка $n$-мерных симплексов, каждые два соседа в которой имеют общую $(n-1)$-грань, называется дезориентирующей, если эти симплексы могут быть ориентированы так, что первый и последний симплексы индуцируют на общей грани совпадающие ориентации, а остальные соседи — противоположные.

Расслоения

Пусть над пространством $B$ задано расслоение $p:E\to B$ со стандартным слоем $F$. Если ориентацию всех слоев можно выбрать так, что любое (собственное) отображение, определённое путём в $B$ однозначно с точностью до собственной гомотопии, сохраняет ориентацию, то расслоение называется ориентированным, а указанный выбор ориентации слоёв — ориентацией расслоения. Например, лист Мёбиуса, рассматриваемый как векторное расслоение над окружностью, не обладает ориентацией, в то время как боковая поверхность цилиндра — обладает.

Бесконечномерные пространства

Понятие ориентации допускает естественное обобщение и для случая бесконечномерного многообразия, моделированного при помощи бесконечномерного банахова или топологического векторного пространства. При этом необходимы ограничения на линейные операторы, являющиеся дифференциалами функций перехода от карты к карте: они должны не просто принадлежать общей линейной группе всех изоморфизмов моделирующего пространства, которая гомотопически тривиальна (в равномерной топологии) для большинства классических векторных пространств, а содержаться в некоторой линейно несвязной подгруппе общей линейной группы. Тогда компонента связности данной подгруппы и будет задавать «знак» ориентации. В качестве такой подгруппы обычно выбирается фредгольмова группа, состоящая из тех изоморфизмов моделирующего пространства, для которых разность с тождественным изоморфизмом есть вполне непрерывный оператор.

См. также

• Преобладающая рука
• Хиральность
• Фундаментальный класс

Источники

• Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б., Позняк Э. Г., Юдина И. И. Геометрия. 7—9 классы : учебник для общеобразовательных организаций. 2-е изд. М.: Просвещение, 2014. 383 с., ил.
• Колмогоров А. Н. Ориентация // Математический энциклопедический словарь / Гл. ред. Ю. В. Прохоров; Ред. Кол.: С. И. Адян, Н. С. Бахвалов, В. И. Битюцков, А. П. Ершов, Л. Д. Кудрявцев, А. Л. Онищик, А. П. Юшкевич. М.: «Советская энциклопедия», 1988. 847 с., ил. С. 436—437.
• Ориентация 1 // Большая советская энциклопедия. (В 30 томах) Гл. ред. А. М. Прохоров. Изд. 3-е. М.: «Советская энциклопедия», 1974. Т. 18. Никко — Отолиты. 1974. 632 с. с илл., 24 л. илл., 6 л. карт, 1 карта — вкладка. С. 509. Ориентация 1. 2022 // БСЭ 3-е издание. Основной вариант Архивная копия от 29 сентября 2024 на Wayback Machine
• Ориентация 2 // Большая советская энциклопедия. (В 30 томах) Гл. ред. А. М. Прохоров. Изд. 3-е. М.: «Советская энциклопедия», 1974. Т. 18. Никко — Отолиты. 1974. 632 с. с илл., 24 л. илл., 6 л. карт, 1 карта — вкладка. С. 509—510. Ориентация 2. 2022 // БСЭ 3-е издание. Основной вариант Архивная копия на Wayback Machine
• Ориентация в математике. 2022 // Большая российская энциклопедия Архивная копия на Wayback Machine
• Ориентация поверхности // Воднев В. Т., Наумович А. Ф., Наумович Н. Ф. Математический словарь высшей школы: Общая часть / Под. ред. Ю. С. Богданова. Минск: Высшая школа, 1984. 527 с., ил. С. 284—285.
• Рудяк Ю. В., Чернавский А. В. Ориентация // Математическая энциклопедия: Гл. ред. И. М. Виноградов, т. 4 Ок—Сло. М.: «Советская Энциклопедия», 1984. 1216 стб., ил. Стб. 69—73.
• Чернавский А. В. Дезориентирующий путь // Математическая энциклопедия: Гл. ред. И. М. Виноградов, т. 2 Д—Коо. М.: «Советская Энциклопедия», 1979. 1104 стб., ил. Стб. 68.
• Яглом И. М. Окружности // Энциклопедия элементарной математики, книга четвёртая — геометрия / Гл. ред. П. С. Александров, А. И. Маркушевич, А. Я. Хинчин. Ред. книги 4: В. Г. Болтянский, И. М. Яглом. М.: Физматгиз, 1963. 568 с., ил. С. 448—517.